Распределения фасонных эффектов на полотне из фасонной нити: математическая модель
и классификация
, ,
ГОУ ВПО «РосЗИТЛП»
Аннотация. В статье рассмотрена и проанализирована математическая модель, которая описывает распределение фасонных эффектов на готовом полотне при условии постоянного интервала между центрами соседних эффектов на уточной нити. Такое распределение названо стандартным распределением.
Ключевые слова: распределение, фасонные эффекты, уточная нить, полотно, модель.
Abstract. The paper reviewed and analyzed a mathematical model that describes the distribution of effects on the finished shaped canvas provided a constant spacing between the centers of neighboring effects on the weft. Such a distribution is called the standard distribution.
Keywords: distribution, shapes effects, weft thread is lotno, model.
Введение
В настоящей статье предлагается математическая модель для описания распределений фасонных эффектов (ФЭ) на готовом полотне при условии постоянного интервала между центрами соседних ФЭ на уточной нити. Такое распределение ФЭ на нити назовем стандартным распределением. Соответственно, распределение ФЭ (рисунки) на полотне, полученном из такой нити (без использования гладких нитей) будем также называть стандартным распределением ФЭ (рисунком) на полотне.
Будем полагать, что уточные нити и нити основы располагаются по прямым, перпендикулярно друг другу и введем систему координат ZY, ось абсцисс которой, Z, направлена параллельно нитям основы, соответственно ось ординат, Y, параллельна уточным нитям. При укладке первой уточной нити в полотно уток движется в направлении противоположном направлению оси Y. Введем «абсолютную» систему измерений длины, в которой ординаты ФЭ на полотне выражаются целыми числами. Практически это всегда достижимо за счет выбора достаточно малого масштаба измерения длин. Абсциссы ФЭ в ZY выражаем номером прокидки, на которой данный ФЭ расположен. Отсчет прокидок начинаем с 1. Ордината у = 0 соответствует нижнему краю полотна. Таким образом, точка пересечения осей Z и Y имеет координаты (1; 0). Под координатами ФЭ понимаются координаты их центров. В настоящей статье не исследуется влияние размеров и формы ФЭ на восприятие сформированного ими на полотне рисунка. Таким образом ФЭ рассматриваются как точки в заданной системе координат.
Расстояние между центрами соседних ФЭ на одной прокидке обозначим n1. Разность ординат центров любых двух ФЭ, лежащих на одной нити при стандартном распределении ФЭ на ней, кратна n1. Следовательно, все значения ординат ФЭ, лежащих на одной прокидке будут принадлежать одному классу вычетов по модулю n1. Таким образом можно установить соответствие между номерами прокидок и классами вычетов по модулю n1. При фиксированном n1 рисунки, сформированные ФЭ на полотне будут различаться видом этого соответствия, т. е. тем, какой именно класс вычетов по модулю n1 будет сопоставлен той или иной прокидке. Однако, из условия непрерывности фасонной нити, а именно из того, что все прокидки сформированы одной нитью, следует, что это соответствие не может быть произвольным. Предположим, сначала, что значение ширины полотна в абсолютных единицах равно числу, принадлежащему классу вычетов по модулю n1, соответствующему первой прокидке. Технологически это означает, что фасонная нить, зарабатываемая в полотно, начинается с ФЭ, т. е. ордината первого ФЭ совпадает с ординатой верхнего края полотна. Тогда соответствие между множеством прокидок и классами вычетов по модулю n1 определяется тем, какой из этих классов сопоставлен первой прокидке.
Обозначим минимальное значение ординаты ФЭ на i-ой прокидке ri. И выберем это значение в качестве представителя класса вычетов, к которому принадлежат ординаты ФЭ на этой прокидке. Тогда для случая односторонней прокидки выполняется:
, (1)
где 
означает умножение по модулю n1. В случае двусторонней прокидке уранение (1) справедливо для нечетных, i, номеров прокидок, для четных же i выполняется:
, (2)
т. е. класс вычетов ординат ФЭ на четной прокидке однозначно определяется классом вычетов ординат ФЭ, лежащих на предшествующей ей нечетной прокидке. Функция, заданная уравнением (1) и сопоставляющая i-ой прокидке класс вычетов [ri], циклична, поскольку для любого i справедливо:
. (3)
Следовательно, стандартные рисунки цикличны в продольном направлении (по оси Z). Причем, если n1 и r1 взаимно простые числа (т. е. не имеют общих сомножителей), то длина цикла стандартного распределения ФЭ на полотне при односторонней прокидке равна L = n1, а при двусторонней прокидке зависит от четности n1: для n1 нечетных - L = 2n1, а для четных - L = n1.
Но при стандартном распределении ФЭ на нити разность ординат соседних ФЭ, лежащих на каждой прокидке постоянно и равно n1, следовательно, рисунок на полотне не изменится при его сдвиге на n1 вдоль оси Y.
Поэтому раппорт стандартного рисунка представляет собой прямоугольник с размерами L х n1. В него войдут ФЭ, координаты которых попадают в интервал: 0 ≤ у ≤ n1 - 1, 1 ≤ z ≤ L. Следовательно, на каждой, i-й, прокидке раппорта стандартного распределения лежит один и только один ФЭ, ордината которого равна ri. Рисунок любого размера может быть получен сдвигом этого прямоугольника на L прокидок вдоль оси Z и на n1 единиц вдоль оси Y. И так как рисунок, сформированный ФЭ, полностью определяется его раппортом, то, любое стандартное распределение ФЭ на полотне полностью определяется двумя параметрами: n1 и r1 (при заданном способе прокидки).
Зафиксируем способ прокидки и назовем n1 типом стандартного распределения. Размеры раппортов рисунков одного типа равны друг другу в дискретной системе координат ZY. Значения же ординат ФЭ в раппорте рисунка однозначно определяются значением r1 – ординатой ФЭ, лежащего на первой прокидке раппорта. Тогда и любой рисунок данного типа однозначно характеризуется значением r1 (при условии, что n1 и r1 взаимно простые числа). Но ордината ФЭ, лежащего на первой прокидке раппорта стандартного распределения заданного типа n1, может принимать любое целое значение от 0 до nСледовательно, различные виды рисунков одного типа однозначно характеризуется целым положительным числом r из интервала [1; n1 - 1] взаимно простым с n1. Этот параметр, r , назван нами видом распределения. Им определяются ординаты всех фасонных эффектов в раппорте стандартного распределения (в том числе и ордината, r1, ФЭ, лежащего на первой прокидке раппорта, которая равна: r1 = 1 ∙ r).
Таким образом, любое стандартное распределение ФЭ на полотне полностью определяется значениями двух натуральных взаимно простых чисел: n1 и r (r < n1). И обратно, любой упорядоченной паре взаимно простых натуральных чисел (n1, r), из которых второе меньше первого, может быть поставлен в соответствие единственный стандартный рисунок на полотне. Этим взаимно однозначным соответствием определяется классификация стандартных рисунков, каждый из которых может быть отнесен к определенному типу и виду стандартного распределения.
Из условия, что n1 и r - взаимно простые числа следует, что количество различных видов рисунков, v, соответствующих одному и тому же типу n1, равно:
, (4)
где φ(х) – функция Эйлера. Если же учитывать и способ прокидки, то любое стандартное распределение ФЭ может быть однозначно описано (или закодировано) упорядоченной тройкой: (n1, r, ξ), где ξ = 1 соответствует одно - а ξ = 2 - двусторонней прокидке. Уравнение (4) задает количество различных видов, соответствующих типу n1 при заданном способе прокидки (ξ).
Раппортом определяется лишь рисунок, и на полотне шириной n1 этот рисунок реализовать невозможно. Минимальный размер полотна, на котором может быть реализовано заданное распределение ФЭ, назовем элементарным циклом данного распределения. Ширина, (n2), элементарного цикла равна: (n2) = n1+ r. Если необходимо получить рисунок в виде нескольких, например, k, продольных полос раппортов, то необходимо выбрать полотно шириной n2 = k∙ n1+ r. На полотне шириной n2 < n1 может быть реализован лишь фрагмент раппорта рисунка, соответствующего значениям n1 и r = n2. При n2 = n1 получим r = 0, и рисунок будет представлять собой две полосы, окантовывающие края полотна. При проектировании фасонной нити для реализации заданного распределения ФЭ на полотне необходимо учитывать ее изгиб. Это можно осуществить, вводя коэффициент сжатия (т > 1) для расстояний n1 и n2. Поскольку же предложенная математическая модель для стандартных распределений ФЭ на полотне использует лишь геометрические соотношения между координатами центров ФЭ, то она пригона как для ткани, так и для трикотажного полотна. Необходимо лишь знать т, т. е. отношение длины уточины к ширине ткани или длины, формирующей петельный ряд, к ширине трикотажного полотна. Тогда расстояние между центрами ФЭ на фасонной нити должно быть равно т∙ n1, а длина уточины (нити, формирующей один петельный ряд) – т ∙ n2.
Заметим, что под n2 мы понимаем условную ширину полотна без учета расхода нити на обработку кромок ткани. Если в кромку полотна зарабатывается отрезок нити длиной l, то реальная ширина полотна получается из условной (с учетом сжатия фасонной нити) ограничением последней прямыми: у=l/(2т) и у= n2 - l/(2т). Очевидно, учет нити зарабатываемой в кромки, приведет к изменению рисунка лишь на краях полотна и при достаточно больших n2 (n2 >> l ) не скажется на восприятии этого рисунка.
Назовем расстояние от начальной точки фасонной нити, зарабатываемой в полотно, до первого ФЭ начальной фазой процесса, Δ. До сих пор мы предполагали, что Δ = 0. Теперь рассмотрим влияние отличной от нуля Δ на распределении ФЭ на полотне для типов n1>2 (для типов n1=1 и n1=2 это было сделано в работах [1,2]).Пусть Δ, изменяясь в диапазоне 0 < Δ < n1, принимает лишь целые значения. Такое допущение оправдано тем, что в большинстве случаев величина абсолютной единицы много меньше n1.
Можно показать, что в случае односторонней прокидки (ξ = 1), а также для двусторонней прокидки (ξ = 2) и нечетных n1 отличное от нуля Δ приведет к смещению исходного рисунка (соответствующего Δ = 0) на несколько прокидок вдоль оси Z. Следовательно, раппорт рисунка останется прежним, а полотно будет начинаться с неполного цикла. Тогда можно уточнить, какая именно прокидка раппорта должна считаться первой: это та прокидка, ординаты ФЭ которой эквивалентны по модулю n1 значению ширины полотна.
Все, сказанное выше, справедливо и для случая двусторонней прокидки (ξ = 2) и четных n1, но только при четных значениях Δ. Нечетная начальная фаза в данном случае перевернет рисунок на полотне «вверх ногами».
Выводы
Разработана математическая модель для описания стандартных распределений ФЭ на полотне, которая сохраняет силу для любых видов переплетений ткацкого и трикотажного полотна и для любой линейной плотности пряжи. На основании этой модели разработан метод и простой алгоритм расчета координат ФЭ на полотне. Необходимым и достаточным условием цикличности рисунков, сформированных ФЭ на полотне, является соизмеримость интервалов между центрами соседних ФЭ, лежащих на одной прокидки и шириной полотна, т. е. отношение этих двух праметров должно выражаться рациональным числом. Разработаны классификация и способ кодирования стандартных рисунков, сформированных ФЭ на полотна. Предложенная классификация определяет методику исследования стандартных рисунков, которая заключаются в построении и описании распределений ФЭ, соответствующих заданным упорядоченным парам натуральных чисел. При этом перебираются все возможные варианты стандартных распределений ФЭ на полотне.
Литература
1. , , Мовшович распределения фасонных эффектов на полотне. Сборник материалов международной научно-технической конференции «Инновационность научных исследований в текстильной и легкой промышленности. - М. 2010. С.
2. , , Мовшович распределения фасонных эффектов на полотне. Эксперимент Сборник материалов международной научно-технической конференции «Инновационность научных исследований в текстильной и легкой промышленности. М. 2010. С. 50 – 52.
