Переходные процессы в электрических цепях

ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ

Цель работы: Исследование процессов, происходящих в электрических цепях, содержащих R, L, C - элементы при условии квазистационарности токов.

Сведения из теории

Квазистационарными называются переменные токи, мгновенные значения которых во всех сечениях цепи практически одинаковы, а распространяемые в цепи электромагнитные возмущения имеют скорость, равную скорости света. К мгновенным значениям таких токов применяют закон Ома и вытекающие из него правила Кирхгофа.

Достаточным условием квазистационарности является:

<< T, (1)

где L - линейные размеры системы,

T - период,

с- скорость света.

Рассмотрим электрическую цепь простейшего вида, состоящую из последовательно соединенных R, L, C - элементов и источника переменного напряжения e (t) (рис.1).

Р и с. 1

Полагая, что токи в цепи (рис.1) квазистационарны, из закона Ома и правила Кирхгофа получаем

UR + UC + UL = e (t) (2)

Учитывая, что

I = dq/dt , UR = IR ,

UL = - eсамоинд. = z × dI/dt (3)

UC = q (c)

для электрической цепи квазистационарного тока запишем дифференциальное уравнение

L + R + = e (t) . (4)

Типичными примерами квазистационарных процессов являются переходные процессы в R, L, C - цепях при включении и выключении в них постоянной э. д.с.

Переходные процессы в RС и RL - цепях.

Переходные процессы в электрических цепях возникают при включении или выключении э. д.с., а также при изменении одного или нескольких параметров цепи.

Переходные процессы в электрических линейных цепях описываются линейными дифференциальными уравнениями, составленными согласно правил Кирхгофа.

Рассмотрим переходные процессы в электрической цепи, изображенной на рис.2.

Р и с. 2 Р и с. 3

При включении RC - цепи под постоянное напряжение e (t) = U0 полагаем, что при t = 0, Uc = 0 (конденсатор незаряжен). Исходя из второго правила Кирхгофа, получаем:

Uc + UR = U0 или IR + Uc = U0 . (5)

Подставляя выражение I = c×dUc /dt получаем выражение вида

RC× dUc/dt + Uc = U0 . (6)

Решение этого дифференциального уравнения первого порядка можно записать в виде:

Uc = U0 × (1 - e-t/tc), (7)

где tc = RC - постоянная времени электрической цепи, равная промежутку времени, по истечении которого напряжение в цепи изменяется в e = 2,7 раз по сравнению U0 .

Ток заряда в RC-цепи при переходном процессе определяется

(I0 = c×dUc /dt).

Iз =(U0/R) × e-t/tc. (8)

Напряжение на активном сопротивлении (UR =Iз R)

UR = U0× e-t/tc. (9)

Анализ полученных временных зависимостей Uc(t) и Iз(t) в RC - цепи во время переходного процесса показывает, что с течением времени напряжение на конденсаторе Uc возрастает, стремясь к U0 (рис.4), а ток убывает от значения, равного U0 /R , до нуля (рис. 5). При этом изменении напряжения на конденсаторе и тока в цепи при переходном режиме происходит тем быстрее, чем меньше постоянная времени цепи tc = RC .

Р и с. 4 Р и с. 5

Короткое замыкание RC - цепи, т. е. разряд конденсатора С на активное сопротивление R, можно описать уравнением:

Uc + UR = 0 , (10)

где Ip = CdUc /dt ; UR = IpR ;

Получим однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

Uc + RCdUc /dt = 0 , (11)

Решение этого уравнения имеет вид:

Uc = U0× e-t/tc , (12)

где U0 = Uc (0)

Для тока разряда можно записать

Ip = -(U0/R) × e-t/tc , (13)

а для напряжения UR - соответственно

UR = - U0× e-t/tc. (14)

Временные зависимости для тока и напряжения во время переходного процесса представлены на рис. 6, 7, из которых видно, что напряжение Uс и ток Ip убывают по экспоненциальным законам в соответствии с постоянной времени tc = RC .

Р и с. 6 Р и с. 7

Рассмотрим RL - цепь, изображенную на рис.3. При включении U0 под постоянное напряжение переходный процесс описывается дифференциальным уравнением:

UR + UL = U0 , (15)

где UR = IзR ; UL = LdIз /dt;

т. е. IзR + LdIз /dt = U0 . (16)

Решение этого линейного дифференциального уравнения первого порядка является уравнением типа

Iз = U0/R(1 - e-t/tL), (17)

где tL = L/R - постоянная времени RL - цепи, равная промежутку времени, по истечении которого ток в цепи изменяется в e = 2,7 раз по сравнению со своим исходным значением I0. Напряжение переходного процесса на индуктивности L можно записать в виде

UL = LdIз /dt;

UL = U0 e-t/tL . (18)

На рис. 8, 9 представлены динамические характеристики тока в цепи и напряжения UR , UL при переходном процессе. Во время переходного процесса ток в цепи постепенно возрастает от нуля до I0 = U/R, в это время напряжение на индуктивности убывает от U0 = UL(0) до нуля.

Р и с. 8 Р и с. 9

При коротком замыкании RL - цепи, происходит разряд катушки индуктивности на активное сопротивление R.

Можно записать

UL + UR = 0, (19)

(L/R)(dIp/dt) + Ip = 0. (20)

Решение уравнения (20) имеет вид

Ip = (U0/R) e-t/tL. (21)

Соответственно

UL = - U0 e-t/tL , (22)

UR = U0 e-t/tL . (23)

Из анализа временных зависимостей тока и напряжений следует, что ток в RL - цепи уменьшается по экспоненциальному закону от I0 = U0/R до нуля. Аналогично изменяется и UL (рис. 10, 11).

Р и с. 10 Р и с. 11

Теоретически переходные процессы длятся неограниченно долго. Практически принято считать переходной процесс оконченным, если разность между изменяющейся величиной и ее предельным значением составляет 5%. Например, из выражения (3) имеем

t = tпер, Uc (tпер) = 0,95 U0 , 0,95 U0 = U0 (1- e-tпер/tc),

e-tпер/tc = 0,05; tпер = 3t (24)

где tпер - время переходного процесса.

Физический смысл постоянной времени t

Постоянная времени электрической цепи может быть определена графически как длина подкасательной, проведенной в любой точке к кривой, соответствующей рассматриваемой показательной функции времени (рис.12), например

Uc = U0 e-t/tc,

Р и с. 12

Скорость измерения напряжений Uc

Vc = dUc / dt = (U0 /tc) e-t/tc,

При t = 0

Vc= Vmax = dUc / dt ,

tc = U0 |(dUc / dt)|t=0 = dU0 / tga . (25)

Можно показать, что подкасательная MN экспотенциальной функции не зависит от выбора точки на кривой и от начального значения функции. Величина, соответствующая отрезку MN на оси абсцисс и имеющая размерность времени, называется постоянной времени t.

Дифференцирующие и интегрирующие RC - цепи

Рассмотренные выше случаи заряда и разряда конденсатора аналогичны ситуации в цепи, когда на вход RC - цепи подается одиночный прямоугольный импульс длительности tu>>t. Процессы, происходящие в такой электрической цепи (рис.13 а, б) при подаче на вход ее в момент t = 0 идеального прямоугольного импульса напряжения с амплитудой U0 от генератора с внутренним сопротивлением R2 = 0, иллюстрируется временными диаграммами на рис.14.

а б

Р и с. 13

С момента t = t1 (положим t1 = 0), начинается процесс заряда конденсатора, описываемый уравнениями рис.14 а, 14 б).

При t = t2 = tu напряжения на конденсаторе и резисторе описываются уравнениями (12), (14) и начинается разряд конденсаторов на сопротивление R (рис.14 а, 14 б). При этом полярность напряжения на резисторе меняется на противоположную в соответствии с направлением тока разряда конденсатора (ф-ла 13). Следует заметить, что форма напряжения Uc, UR существенно зависит от соотношения между постоянной времени цепи tс и длительностью импульса tu = t2 - t1. На рис. 14 представлены следующие соотношения между tс и tu:

tс / tu = 1 ; tс / tu >> 1; tс / tu << 1.

В случае tс / tu >> 1 конденсатор за время действия импульса почти не заряжается и напряжение на резисторе R практически повторяет по форме и амплитуде импульс на входе. В течение действия импульса в электрическом поле конденсатора накапливается незначительное количество энергии и поэтому после окончания действия импульса (t = t2) в цепи практически не возникает переходный процесс. Такая RC - цепь называется переходной (разделительной).

При t = tu конденсатор успевает зарядиться до Uc(tс / tu) = 0,63U0 ,

UR(t) = UR(tс) = 0,37U0. После окончания действия импульса в цепи возникает переходный процесс, обусловленный рассеянием энергии, запасенной в конденсаторе. В цепи появляется разрядный ток, направление которого противоположно направлению зарядного тока. При

tс / tu << 1 конденсатор успевает зарядиться уже в начале импульса

(U0 = Uc). На сопротивлении появится короткий импульс положительной полярности, обусловленный протеканием зарядного тока. В момент окончания входного импульса (t = t2) в цепи возникает ток разряда конденсатора и на резисторе появится отрицательный импульс (рис.15 б).

а б

Р и с. 14

Выходным элементом RC -цепи может быть как конденсатор С (рис.15), так и резистор R (рис.1 6). Как следует из приведенных выше временных диаграмм Uc(t), UR(t) форма выходного сигнала будет зависеть от соотношения между длительностью импульса tu и постоянной времени tс.

Р и с. 15 Р и с. 16

Рассмотрим цепь, изображенную на рис.15, т. е. с емкостным выходом:

UR(t) = I(t)R = Uвх(t) - Uc(t), (26)

так как

Uc(t) = q(t) / С = 1/С ò I(t)dt = 1/С ò [Uвх(t) - Uc(t)] R dt ,

если Uc(t) << Uвх(t), то Uc(t) = 1/С ò Uвх(t) , (27)

т. е. выходное напряжение пропорционально интегралу от входного. Поэтому RC - цепь с емкостным выходом (tс / tu >> 1) называется интегрирующей.

Рассмотрим RC - цепь, изображенную на рис. 16, т. е. с резистивным выходом:

I(t) = dq(t) / dt = C dUc(t) / dt

где q(t) - заряд на конденсаторе.

Напряжение на резисторе

UR(t) = I(t)R = RC × dUc / dt = RC d/dt × [Uвх(t) - UR(t)] ,

так как Uc(t) - UR(t) = Uвх(t).

Если UR(t) << Uвх(t) , то UR(t) = RC × dUвх(t) / dt,

т. е. выходное напряжение пропорционально производной входного. Такую RC - цепь называют дифференцирующей (укорачивающей). Обычно длительность выходных (укороченных) импульсов такой RC - цепи определяют на уровне 0,5 U0, т. е.

0,5 U0 = U0 e-tu/tc , (28)

Имеем: ln 0,5 = - tu / t , или tu = 0,7tc .

Выражение (28) может быть использовано для экспериментального определения tс = RC.

Экспериментальная часть

Экспериментальные исследования проводятся на макете монтажной платы, на которой размещаются: батарея конденсаторов - С1 = 6800 пФ, С2 = 0,01 мкФ, С3 = 0,1 мкФ; катушка индуктивности L = 0,1 Г; магазин сопротивлений R (рис. 17).

Р и с. 17

Исследуемые RLC - цепи составляются из отдельных элементов, расположенных на макете.

Генератор типа Г3-112 обеспечивает сигналы: прямоугольные импульсы амплитудой U0 = 1¸5 В различной длительности. Для наблюдения формы тока и напряжения используется осциллограф С1-73.

Порядок выполнение работы

1. Определить период прямоугольных импульсов генератора.

С выхода генератора 3Г подать сигнал на вход “Y” осциллографа (рис.18).

Р и с. 18

При минимальной синхронизации получить на экране 1-2 периода в режиме непрерывной развертки. Определить период сигнала T, длительность импульса tu, скважность Q = T/t u, используя калибровку развертки осциллографа. Результат записать в таблицу 1.

Т а б л и ц а 1

№	tu, c	T, c	Q
1
2
3

Повторить определение параметров прямоугольного импульса для трех значений tu . Результаты занести в таблицу 1.

2. Изучение процесса заряда катушки индуктивности через сопротивление.

Собрать электрическую схему (рис.19) с катушкой индуктивности L. Сопротивление цепи R подобрать так, чтобы на экране осциллографа наблюдалась картина изменения напряжения UL.

Р и с. 19

Рассчитать tz цепи, используя оценки UL(tL) » 0,63 U0 и UL(tL) » 0,37 U0.

Изменяя сопротивление R (установить R1, R2, R3), зарисовать полученные осциллограммы. Сравнить величины tz (рассчитанные по формуле 17) и экспериментальные данные и записать в таблицу 2.

Таблица 2

№	R	tL , расч	tL , экспер.
1	R1
2	R2
3	R3

3. Изучение процесса заряда конденсатора через сопротивление.

Собрать электрическую цепь по схеме рис. 20 с конденсатором C = 6800 пФ. Сопротивление цепи R подобрать так, чтобы tс << T0 / 2, где T0 - период сигнала.

tс = RC = (0,1 ¸ 0,2)×T0 / 2

Р и с. 20

Определить R по этой формуле. Получить на экране осциллографа в режиме непрерывной развертки картину изменения напряжения при заряде конденсатора. Зарисовать картину в тетради.

Оценить по рисунку tс цепи, используя выражения

Uс(tс) » 0,63 U0 (заряд)

Uс(tс) » 0,37 U0 (разряд)

Результаты занести в таблицу 3.

Таблица 3

№	С	tс заряд	tс разряд
1	С1
2	С2
3	С3

Аналогичные расчеты провести с конденсаторами С2 и С3. Сравнить полученные картины. Изменяя R (в сторону увеличения) зарисовать полученные осциллограммы, отмечая tс .

4. Изучение работы интегрирующей цепи.

Интегрирующая цепь удовлетворительна, если постоянная tс = RC приблизительно равна или больше периода сигнала T0 , т. е. tс = RC = T0.

Собрать схему по рис. 20 с элементами C = 0,01 мкФ, R подобрать, исходя из соотношения R = T0 / C .

Зарисовать полученную на экране осциллографа картину. Зарисовать зависимость Uвх (t); ò Uвх(t) dt .

5. Изучение работы дифференцирующей цепи.

Собрать электрическую цепь по схеме (рис.21) с конденсатором С1 = 0,1 мкФ.

Р и с. 21

Сопротивление R определяем из условия tс = RC = (0,1 ¸ 0,2) T0 /2.

Зарисовать кривую тока заряда конденсатора и оценить tс . Занести результаты в таблицу 4.

Таблица 4

№	С	tс
1	С1 = 0,1 мкФ
2	С2 = 6800 пФ

Для дифференцирования сигнала в виде прямоугольного импульса необходимо выполнение условия tф >> RC = tс, где tф - фрект импульса.

Обычно ограничиваются условием tс = RC = (0,01 ¸ 0,02) T0.

Собрать схему по рис. 21 с конденсатором С = 0,01 мкФ, подобрать сопротивление R, получить на экране осциллографа картину и зарисовать ее.

Внести сопротивление R1 (увеличивая его) и зарисовать графики Uвх(t) и dUвх(t) / dt .

ПРИМЕР РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

Задание 1

Период сигнала Т, с

3.0000e-005

Длительность импульса tи, с

1.0000e-005

Скважность Q

3

Задание 2

Значение индуктивности L, Гн

0.0100

Значение сопротивления R, Ом

10

Расчитанное значение постоянной времени TL, с

Экспериментальное значение постоянной времени TL, с

0.0010

Задание 3

Значение емкости, Ф

6.1000e-006

Значение сопротивления R, Ом

10

Значение постоянной времени TL (заряд), с

1.7000e-004

Значение постоянной времени TL (разряд), с

6.7000e-005

Задание 4

Постоянная времени Т, с

1.6000e-004

Значение емкости конденсатора, Ф

6.1200e-006

Сопротивление R, Ом

75000

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Какие токи называются квазистационарными? Физический смысл постоянной времени t? Принцип работы дифференцирующей цепи? Принцип работы интегрирующей цепи? Переходные процессы в RZ- цепях?

СОДЕРЖАНИЕ

Сведения из теории

Переходные процессы в RС и RL - цепях………………………………………………. 4

Физический смысл постоянной времени t ………………………………………9

Дифференцирующие и интегрирующие RC – цепи…………………………………….10

Экспериментальная часть………………………………………………………………...14

Порядок выполнение работы…………………………………………………………….15

Пример работы программы………………………………………………………………18

Контрольные вопросы……………………………………………………………………21

Содержание……………………………………………….……………………...………..21