D-робастное управление нестационарным объектом

D-робастное управление нестационарным объектом

В данной статье рассмотрена задача робастного управления линейной нестационарной системой в условиях неполной информации о ее параметрах. Поставлены задачи робастной и d-робастной стабилизации объекта и найдены условия существования их решения.

1. Робастное управление нестационарным линейным объектом. Постановка задачи

Пусть управляемый и наблюдаемый линейный нестационарный динамический объект описывается системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений:

(1)

где

На управление наложены ограничения вида

. (2)

Начальное условие принадлежит заранее известному подмножеству

. (3)

Матрицы содержат параметры, подверженные неконтролируемым возмущениям. (Для определенности будем считать, что размерности матриц и - и соответственно.)

Предполагается, что нестационарные матрицы

измеримы по Лебегу на всем конечном интервале управления объектом (1) в множестве и почти всюду на удовлетворяют включению

, (4)

где - заданные матрицы, а символ “co” обозначает выпуклую оболочку.

Выпуклые многогранники в (4) задают структуру параметрической неопределенности в описании системы (1). Ее частным случаем является интервальная неопределенность

(5)

Задача управления объектом (1) заключается в построении такой стратегии , при которой минимизируется функционал

. (6)

Определение 1. Робастным будем считать управление, которое обеспечивает решение поставленной задачи (1)-(6) при начальных условиях из заданного подмножества , любых неизвестных значениях параметрических возмущений из определенной параметрической области и удовлетворяющее наложенным на него ограничениям .

Рассмотрим задачу робастного управления (1)-(6).

2. Робастная стабилизация линейных нестационарных систем

Определение 2. Будем называть систему робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (1) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого к при .

Рассмотрим задачу робастной стабилизации системы (1)-(6).

Управление для объекта (1) будем синтезировать на модели

(7)

с функционалом

, (8)

где задан интервал управления , матрицы и – положительно определены, а положительно определенная матрица является решением уравнения Риккати – Лурье:

. (9)

Оптимальное управление для модели (8) определяется соотношением

, (10)

где матрица , соответствует решению уравнения Риккати

Учитывая (9), положим, что , т. е. для .

Матрицы и назначаются так, чтобы управление (10) обеспечивало бы приемлемое поведение модели на интервале управления и соответствующее этому поведению значение функции качества.

Оптимальное значение функционала будет определяться соотношением

.

Определим множество значений матриц при открытом интервале управления, при которых объект (1) стабилизируем с управлением

, (11)

где матрица является решением уравнения (9). Для этого введем в рассмотрение функцию Ляпунова

. (12)

Тогда

Пусть таковы, что

(13)

т. е. множество значений матриц образуют границу замыкания множества . Тогда для всех , при которых матрица отрицательно определена, система (1), (11) стабилизируема.

Учитывая, что третье слагаемое в (13) принимает минимальное значение при , а первые два слагаемых принимают максимальное значение при , то можно сделать следующее заключение.

Вывод: Система (1) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением

, (14)

где матрица является решением уравнения (9), робастно стабилизируема, если матрица

(15)

отрицательно определена.

Замечание. Существенно, что должно быть таким, чтобы .

Определение 3. Будем называть систему d-робастно стабилизируемой, если для нестационарного объекта вида (1) найдется регулятор с постоянными параметрами, который обеспечит асимптотическое движение системы "объект-регулятор" при любых неизвестных значениях параметрических возмущений , из любого , при заданных для некоторых компонент вектора состояния системы целевых условиях и заданном интервале управления . Здесь - фиксированные неотрицательные постоянные. Очевидно, что в общем случае время должно зависеть от начального состояния и параметров системы.

Рассмотрим задачу d-робастной стабилизации с заданным интервалом управления и заданной областью возможных терминальных значений состояния системы. Пусть состояние системы на правом конце должно подчиняться условию

. (16)

Пусть , образуют границу замыкания множества , на котором выполняется условие (16), т. е. , где : . Тогда уравнение динамики системы с управлением (11) будет иметь вид

(17)

Запишем решение уравнения (17):

. (18)

Применим к обеим частям уравнения (18) оператор такой, что . В явном виде представляет собой умножение слева на матрицу размерности , у которой на главной диагонали с первой до -й строки стоят единицы, а все остальные элементы – нули.

Тогда (18) примет вид

. (19)

Умножим обе части равенства (19) справа на :

. (20)

Если - вектор из : , то

Учитывая, что , получим

. (21)

Прологарифмировав (21), получим выражение, определяющее границу множества :

. (22)

Пусть , тогда

(23)

Из условия (23) видно, что наихудшими возможными значениями параметрических возмущений являются , .

Вывод: Будем называть систему (1) с интервально заданной параметрической неопределенностью и управлением (11) d-робастно стабилизируемой, если выполняется условие: матрица , где

, (24)

отрицательно полуопределена.

Отметим, что если условие отрицательной полуопреденности матрицы не выполняется, следует, учитывая ограничения, наложенные на управляющие воздействия, назначить другие матрицы и в уравнении (9), решением которого является матрица .

Однако робастное управление (11) требует для своей реализации знания всего состояния объекта, что делает его для многих практических задач нереализуемым. Конструирование нестационарной системы с неполной информацией о состоянии системы рассмотрено ниже.

3. Робастное управление стохастическим нестационарным объектом с неполной информацией о состоянии

Нестационарный объект с неполной информацией о параметрах описывается линейным стохастическим дифференциальным уравнением

(25)

где - матрицы параметров, подвергающихся неконтролируемым возмущениям.

Состояние объекта (25) измеряется на фоне шумов:

. (26)

В (25) и (26):

Предполагается, что нестационарные белые шумы имеют следующие интенсивности:

, . (27)

Задан функционал качества

, (28)

где , , – положительно определенные матрицы соответствующих размерностей, интервал управления - задан.

Задана цель управления:

(29)

где .

Требуется построить регулятор с постоянной матрицей усиления, при котором достигается цель управления (29) и минимизируется функционал (28).

Пусть – наихудшие значения параметров объекта, оценки его начального состояния и интенсивности шумов, при которых достигается цель управления. Таким образом, – граница множества возможных значений ,, .

Определим матрицу как решение уравнения типа Риккати-Лурье

. (30)

Такое назначение весовой матрицы штрафа при первом слагаемом позволяет построить робастный регулятор, т. е. регулятор с постоянными параметрами при заданном интервале управления .

В соответствии с теоремой разделения, задача конструирования системы управления разбивается на две подзадачи:

1. построение наблюдателя с функционалом качества

, где ;

2. построение регулятора с функционалом качества

.

Построим робастный наблюдатель (робастный фильтр Калмана):

(31)

где , (32)

. (33)

Робастный регулятор будет иметь вид:

. (34)

Объединим уравнения, описывающие объект и наблюдатель в уравнение:

, (35)

Введем обозначения:

. (36)

Тогда уравнение (35) при наихудших значениях параметров объекта, оценки его начального состояния и интенсивности шумов примет вид:

(37)

где

, . (38)

Найдем второй момент процесса . Определим:

. (39)

Тогда уравнение для вторых моментов будет иметь вид

(40)

где .

Отметим, что уравнение (40) содержит параметры системы, начальные условия и интенсивности шумов, значения которых находятся на границе возможных возмущающих воздействий. Так как матрица вторых моментов содержит матрицу , то будет выполняться следующее равенство:

. (41)

Запишем решение уравнения (40):

,

откуда

. (42)

Для получения каждого из интересующих нас диагональных элементов матрицы необходимо умножить обе части уравнения (42) слева на и справа на , где . После осуществления этой процедуры получаем

, (43)

где нижний индекс означает –ю строку, а верхний индекс - -й столбец.

Полученное соотношение (43) следует использовать для определения границы множества возможных значений ,, .

Вывод: Таким образом, для того, чтобы объект (25) можно было назвать d-робастно стабилизируемым с управлением (34), необходимо и достаточно, чтобы для всех ,, , но выполнялось условие:

. (44)

Список литературы

1.  Афанасьев конструирование детерминированных непрерывных систем управления. Учеб. пособие. – МГИЭМ. М.,2003.–122 с.

2.  Афанасьев конструирование систем управления с неполной информацией. Учеб. пособие. – МГИЭМ. М., 2004. – 148 с.