Лицей «Вторая школа». Домашняя олимпиада ВМШ. 2012-20класс

Лицей «Вторая школа». Домашняя олимпиада ВМШ. 2012-20класс.

Кто хочет и может, – пишет решения на двойном листке и сдает учителю в течение 2 недель.

Пишите сверху фамилию, имя, класс и номер листка. Итоги подводятся в декабре и апреле.

Лист 1

1.  Петя полил удобрением помидоры на участке из расчёта 3 лейки на 4 куста, а надо было – 4 лейки на 5 кустов. Из какого расчёта ему нужно дополнительно полить кусты, чтобы исправить ошибку?

2.  Играют двое: они по очереди ставят фишки, среди которых 2 белые, 2 синие, 2 красные и 2 зеленые, в кружочки фигуры, которая изображена на ри­сунке. Как может игрок, делающий ход вторым, добиться того, чтобы любые четыре подряд стоящие фишки были разного цвета?

3.  Одну сторону прямоугольника уменьшили на 99 см, а другую увеличили на 1 см. Может ли площадь прямоугольника увеличиться? Попробуйте найти такой прямоугольник.

4.  Найдите наименьшее четырёхзначное число, у которого сумма цифр больше, чем у любого меньшего числа.

Лист 2

1.  Сколько чисел от 1 до 1000 включительно, которые делятся и на 5 и на 3?

2.  Есть доска 99´99 клеток с шахматной раскраской. Левая верхняя клетка белая. Сколько всего белых клеток на этой доске?

3.  В селе Капелюшки 250 домов. В некоторых домах по одной кошке, в половине остальных домов две кошки, а в оставшихся домах нет кошек. Сколько всего кошек живет в домах села Капелюшки?

4.  В 2002 г. на среднюю зарплату Россиянина можно было купить 300 кг хлеба, либо 150 л молока, либо 20 кг мяса. Почтальон Печкин покупал каждый день 1 кг хлеба, 1 л молока и 0,5 кг мяса. Хватило ли ему средней зарплаты на такое питание на 30 дней?

Лист 3

1.  Сколькими способами можно положить полоску из трех клеток на шахматную доску 8×8, чтобы она закрывала полностью три клетки (вертикально или горизонтально)?

2.  Прямоугольник разрезали на 4 прямоугольника. Периметры трех из них известны (указаны на рисунке). Найдите периметр четвертого. Длины сторон прямоугольников могут выражаться дробными числами.

3.  Когда на колесе обозрения кабина с номером 25 находится в верхней точке колеса, то кабина с номером 8 находится в нижней точке. Сколько кабин на колесе обозрения?

4.  Текст без рисунков и формул занимает 90 полных страниц. На странице 30 строк, в строке 60 знаков. Наборщик изменил размер шрифта так, что на странице стало 45 строк, а в строке 90 знаков. Сколько страниц теперь занимает текст?

Лист 4

1.  Вы смотрите на куб со стороной 100 см, который составлен из кубиков со стороной 1 см, и видите три грани куба, расположенных как на рисунке. Сколько кубиков со стороной 1 см вы увидите? (Не квадратиков, а кубиков.)

2.  Среди 30 поступающих сдали математику 23 человека, физику – 21 человек и русский язык – 17 человек. Можно ли гарантировать, что среди них найдется человек, который сдал все три предмета?

3.  Во фразе “МАТЕМАТИЧЕСКИЙ БОЙ ШЕСТЫХ КЛАССОВ” передвинем в каждом слове первую букву на последнее место: “АТЕМАТИЧЕСКИЙМ ОЙБ ЕСТЫХШ ЛАССОВК”. Сделаем то же самое с полученным текстом и так далее. Через какое число таких операций мы впервые вернемся к исходному тексту?

4.  Трое братьев получили в наследство два одинаковых дома. Двое старших братьев взяли себе по дому, а младшему брату каждый из них заплатил по 600 рублей, да еще за каждый дом они заплатили по 50 рублей налог на недвижимость. В результате все братья получили поровну в денежном выражении. Сколько стоил один дом?

Лист 5

1.  Среди семерых друзей у каждого не менее трех друзей, которые родились в одном месяце вместе с ним. Докажите, что все друзья родились в одном месяце.

2.  Имеется три прямоугольных листа бумаги. Может ли так быть, что никакими двумя из них нельзя полностью накрыть третий?

3.  Кот Базилио предложил игру. Буратино кладёт на стол 10 золотых монет: 5 гербом вверх и 5 гербом вниз. Затем любые 5 монет он закрывает рукой, а Кот Базилио, не глядя, переворачивает несколько оставшихся монет. Если число монет, лежащих гербом вверх, под рукой у Буратино такое же, как среди оставшихся, то Кот забирает себе монеты, а если другое, то Кот даёт Буратино 10 монет. Сколько монет перевернул Кот, чтобы наверняка выиграть?

4.  Имеется 60 гирь массами 1, 2, 3, …, 60 г. Разложите их по трем коробкам, чтобы в каждой коробке было 20 гирь и массы гирь в коробках были одинаковыми.

Лист 6

1.  На поле 5×3 стоят кубики, поставленные один на другой. Мы не видим, какие кубики к нам ближе, а какие дальше. Какое наименьшее число кубиков могло быть? Укажите в клетках поля 5×3 число кубиков.

2.  В городе 4 автобусных маршрута. Любые 3 маршрута содержат все станции города, а любые 2 маршрута содержат не все станции. Нарисуйте такую схему маршрутов и станций.

3.  Когда внук пришел из школы, бабушка испекла 12 блинов. Внук съедает за минуту 3 блина, а бабушка за минуту печет 2 блина. Внук насытился, когда осталось 7 блинов. Сколько блинов съел внук, если он ел целое число минут?

4.  В волейбольном турнире каждая команда сыграла с каждой по одному разу. При этом 25% команд не выиграло ни одной игры. Сколько команд участвовало в турнире? (Ничьих в волейболе не бывает).

Лист 7

1.  В магазине продается шоколад в виде букв английского алфавита. Одинаковые буквы стоят одинаково, а разные – имеют разные цены (возможно, нецелое число долларов). Известно, что слово ONE стоит 6 долларов, слово TWO – 9 долларов, а слово ELEVEN – 16 долларов. Сколько стоит слово TWELVE?

2.  По кругу стоят 12 гномов. Каждый из них произнес фразу: «Следующие 5 гномов, стоящие после меня по часовой стрелке, лжецы». Сколько среди них лжецов? (Каждый гном либо всегда говорит правду, либо всегда лжет).

3.  В выражении *1*2*3*…*25 вместо звездочек поставьте знаки «+» или «–» так, чтобы значение выражения было наименьшим положительным. Чему равно это значение?

4.  Граница поля состоит из 9 отрезков (замкнутая ломаная). Может ли прямое шоссе пересечь все отрезки? (Пересекать отрезки в крайних точках нельзя).

5.   

Лист 8

1.  Чтобы построить типовой домик, Ниф-Нифу не хватило 400 кирпичей, Нуф-Нуфу не хватило 300 кирпичей, а Наф-Нафу не хватило 200 кирпичей. Когда они сложили свои кирпичи вместе, оказалось, что они могут построить только один типовой домик, и кирпичей не останется. Сколько кирпичей нужно для одного домика?

2.  Фигура «летучая ладья» ходит по прямой, как обычная ладья, но за один ход не может встать на соседнее поле. Может ли она обойти изображенную на рисунке фигуру так, чтобы побывать на каждой клетке ровно один раз?

3.  В одной из клеток таблицы 3×3 Петя написал цифру. Затем он пишет цифру в любой клетке по правилу: если клетка не граничит по стороне с клеткой, где уже стоит цифра, то новая цифра должна быть больше всех написанных, а если – граничит, – то меньше всех написанных. Глядя на заполненную таблицу, узнайте, какую первую цифру написал Петя.

4.  Имеется 8 монет, лежащих орлом вверх. За один ход разрешается перевернуть любые 5 монет. Можно ли за несколько ходов перевернуть все монеты орлом вниз?

Лист 9

1.  В клетках таблицы, содержащей 3 строки и 5 столбцов, надо расставить натуральные числа так, чтобы сумма чисел в каждой строке равнялась 30, а в каждом столбце – равнялась 20. Можно ли так заполнить таблицу?

2.  В шахматном турнире играли 6 мальчиков и 4 девочки. Каждый с каждым сыграл по одной партии. За победу давалось 1 очко, за ничью 0,5 очка, за поражение 0 очков. Мальчики набрали 30 очков. Сколько очков набрали девочки?

3.  В квадрате 3×3 цифры поставьте в каждую клетку одну из цифр 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы каждая пара различных цифр (1, 2), (1, 3), … (3,5), (4, 5) встретилась в какой-нибудь паре соседних клеток. Клетки считаются соседними, если у них есть общая сторона.

4.  Расстояние между Ахиллесом и черепахой 18 м. За время, когда Ахиллес проходит 1 м, черепаха проходит 1 дм. Какое расстояние пройдет Ахиллес, когда он догонит черепаху?

Лист 10

1.  Было 10 больших пустых коробок. В некоторые из них положили по две средние пустые коробки. В некоторые из средних пустых коробок положили по 2 маленькие пустые коробки. Всего оказалось 30 коробок. Сколько среди них пустых?

2.  Петя хотел купить 2 тетради, 3 ручки и 6 карандашей, но он перепутал и купил 3 тетради, 6 ручек и 2 карандаша, потратив те же деньги, что планировал. Расположите карандаш, ручку и тетрадь в порядке убывания их цены, если известно, что ручка дороже карандаша.

3.  На плоскости нарисованы Красные, синие и зеленые отрезки, никакие два из которых не лежат на одной прямой. Каждый красный отрезок пересекает ровно 100 синих, каждый синий – ровно 100 зеленых, а каждый зеленый – ровно 100 красных. Укажите наименьшее возможное число нарисованных отрезков.

4.  В тетради нарисована квадратная сетка 5×5 клеток. Расставьте стрелки на всех сторонах клеток так, чтобы из каждого узла сетки выходило нечетное число стрелок.

Лист 11

1.  Король со свитой выехал из столицы со скоростью 5 км/ч. Каждый час он посылает гонцов в столицу, которые движутся со скоростью 10 км/ч. С какими интервалами времени прибывают гонцы в столицу?

2.  Из трех отрезков можно сложить треугольник, если любые два из них в сумме длиннее третьего. Верно ли, что среди любых пяти отрезков всегда найдутся три, из которых можно сложить треугольник?

3.  Три квадрата со сторонами 10, 8, 6 см составили так, как показано на рисунке. Определите площадь закрашенной фигуры.

4.  В ребусе замените буквы числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, используя каждое число один раз.