Задача F «Ёлка» (“Fir-tree”)

Задача F «Ёлка» (“Fir-tree”)

Математики из Института новогодних исследований разработали математическую модель новогодней ёлки. В этой модели предполагается, что ёлка имеет форму шара с единичным радиусом. Наибольшую сложность при построении модели вызвало моделирование ёлочной гирлянды.

Ёлочная гирлянда моделируется кривой, расположенной на поверхности шара. Кривая начинается в верхней точке сферы, а заканчивается в нижней точке сферы, при этом кривая делает ровно N оборотов вокруг сферы.

Опишем более подробно, как выглядит кривая. Рассмотрим сферические координаты j (долгота) и q (широта). Начальное значение долготы равно 0, долгота делает ровно N оборотов, и конечное значение снова равно 0. Начальное значение широты равно 90°, конечное значение равно –90°. При этом приращение широты q прямо пропорционально приращению долготы j.

Требуется найти длину кривой, моделирующей ёлочную гирлянду.

Ограничения

1 £ N £ 10

Формат входного файла

Входной файл содержит единственное целое число N.

Формат выходного файла

Требуется вывести в выходной файл длину кривой с точностью до 3-х знаков после запятой.

Решение

Найдём параметрическое представление кривой . В качестве параметра t возьмём количество оборотов. t изменяется от 0 до N.

, , здесь константа C определяется из условия , следовательно, , .

Теперь осталось найти , и . Можно показать, что

.

Итак,

,

,

.

Длина кривой равна

,

,

,

Интеграл можно взять численно по формуле трапеций. Можно было бы не сводить криволинейный интеграл к интегралу от t, а аппроксимировать кривую ломаной.