Окружная научно-практическая конференция
учащихся Заринского образовательного округа
«Шаг в науку»
Что мы знаем о цифрах и числах
Исследовательский проект по математике
Подготовила:
Нестерова Анастасия
МБОУ Дмитро-Титовская СОШ
Руководитель:
учитель математики
МБОУ Дмитро-Титовской СОШ
Дмитро-Титово 2014
Содержание:
1. Введение..................................................................................... 3
2 . Теория цифр и чисел:
1. Понятие цифры и числа……………………………… 4
2. Как люди научились считать. ………………………. 5-6
3. Как люди научились записывать цифры …………….. 7
4. Цифры древних народов……………………………….. 8-9
5. Буквенная цифирь……………………………………… 10-12
6. История нуля……………………………………………..13
3. Заключение................................................................................ 14
4. Список литературы…………………………………………… 15
5. Приложения ………………………………………………….. 16-18
ВВЕДЕНИЕ:
Пользуясь в настоящее время для обозначения чисел современными знаками 1,2,3.. и т. д. я не задумывалась, каково их происхождение, почему они, непохожий ни на буквы, ни на что-либо знакомое и привычное, для нашего взгляда? Честно говоря, в наш век компьютеров и новейших технологий - нужно ли нам знать происхождение чисел, какая будет выгода, и польза, если мы попытаемся разгадать эту загадку тысячелетия?
И все - таки мне стало интересно, как же люди научились считать? Какие цифры были у разных народов? Зачем и как произошло открытие нуля? Как развивалось представление о числе, и что о числа знают мои одноклассники и ученики нашей школы?
Я провела опрос учеников нашей школы по интересующим меня вопросам и получила такие результаты: Только 10 % всех опрошенных учащихся уверены, что цифры пришли к нам из Индии. (Приложение )
Ещё одно свое исследование я связала с числами и цифрами.
Ученикам с 3 по 7 класс была поставлена задача: Объяснить, числа и цифры – это одинаковые понятия или разные? (Приложение )
33% опрошенных учеников считают, что это одно и то же, оставшиеся 67% считают, что цифры и числа разные понятия. Я бы отметила, что не все ученики, понимают, что «цифра и число» - понятия разные.
А на вопрос: Какими цифрами для написания чисел в настоящее время мы пользуемся? Только 40% ответили арабскими. (Приложение )
Поэтому я решила расширить свои знания о некоторых страницах истории цифр и чисел, подготовить презентацию для расширения знаний по данному вопросу среди учащихся школы.
Основная проблема данной работы заключается в поиске и обобщении информации, позволяющей раскрыть данную тему, подборе интересных фактов.
Цель: расширить свои знания о некоторых страницах истории цифр и чисел, подготовить презентацию для расширения знаний по данному вопросу среди учащихся своего класса и школы.
Задачи:
1. Определить причины и последствия событий, приведшие к возникновению цифр и чисел.
2. Обобщить информацию, связанную с историей возникновения чисел.
3. Собрать, проанализировать и обработать материалы анкетирования учащихся по теме: «История цифр и чисел».
4. Оформить работу
Объектом данной работы является разрозненная информация о числах
Проектный продукт: Презентация на тему «История цифр и чисел»
Методы работы:
o анализ литературы;
o анкетирование учащихся;
o статистическая обработка результатов.
1. Понятие цифры и числа
Цифры – знаки, с помощью которых записывают числа. Записывать числа с помощью цифр человек начал в глубокой древности. Самой простейшей записью числа была вертикальная палочка или зарубка. Наиболее древними из известных являются вавилонские и древнеегипетские цифры. Записи чисел древних народов были громоздкими, а иногда и непонятными. И лишь только с изобретением позиционной системы счисления упростилась и запись чисел, и вычислительная работа.
Интересно само происхождение самого слова «цифра». Индийские математики вместо отсутствующего разряда в числе употребляли кружок. Такой кружок назывался «сунья». На языке хинди «сунья» значит «пусто», «пустое место». Арабские математики перевели это слово по смыслу на свой язык. Вместо слова «сунья» они стали говорить «сифр», а уж в Европе это слово зазвучало как «цифра». И долго под цифрой понимали единственный значок – 0.
Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения.
2. Как люди научились считать
Давным-давно, многие тысячи лет назад, наши далекие предки жили небольшими племенами. Они бродили по полям и лесам, по долинам рек и ручьев, разыскивая себе пищу. Питались листьями, плодами и корнями - различных растений. Иногда ловили рыбу, собирали ракушки или охотились. Одевались в шкуры убитых зверей. Жизнь первобытных людей мало, чем отличалась от жизни животных. Да и сами люди отличались от животных только тем, что владели речью и умели пользоваться простейшими орудиями труда: палкой, камнем или камнем, привязанным к палке.
Первобытные люди, так же как и современные маленькие дети, не знали счета. Но теперь детей учат считать родители и учителя, старшие братья и сестры, товарищи. А первобытным людям не у кого было учиться. Их учителем была сама жизнь. Поэтому и «обучение» шло медленно.
Наблюдая окружающую природу, от которой полностью зависела его жизнь, наш далекий предок из множества различных предметов сначала научился выделять отдельные предметы. Из стаи волков - вожака стаи, из стада оленей - одного оленя, из выводка плавающих уток - одну птицу, из колоса с зернами - одно зерно.
Поначалу они определяли это соотношение как «один» и «много».
Частые наблюдения множеств, состоявших из пары предметов (глаза, уши, рога, крылья, руки), привели человека к представлению о числе. Наш далекий предок, рассказывая о том, что видел двух уток, сравнивал их с парой глаз. А если он видел их больше, то говорил: «Много». Лишь постепенно человек научился выделять три предмета, ну а затем четыре, пять, шесть и т. д.
Учиться считать требовала жизнь. И пальцы ног, кстати сказать, сыграли немалую роль в истории счета, особенно когда люди начали обмениваться друг с другом предметами своего труда. Так, например, желая обменять сделанное им копье с каменным наконечником на пять шкурок для одежды, человек клал на землю свою руку и показывал, что против каждого пальца его руки нужно положить шкурку. Одна пятерня означала 5, две - 10. Когда рук не хватало, в ход шли и ноги. Две руки и одна нога - 15, две руки и две ноги - 20.
Следы счета на пальцах сохранились во многих странах. Так, в Китае и Японии предметы домашнего обихода (чашки, тарелки и др.) считают не дюжинами и полудюжинами, а пятерками и десятками. Во Франции и в Англии и поныне в ходу счет двадцатками.
Специальные названия чисел имелись - поначалу только для одного и двух. Числа же больше двух называли с помощью сложения: 3 - это два и один, 4 - это два да два, 5 - это два, еще два и один.
Названия чисел - у многих народов указывают на их происхождение.
Так, у индейцев два - глаза, у тибетцев – крылья. У других народов один - луна, пять - рука и т. д.
Пальцевой счет постепенно приводил к упорядочению счета, и человек стихийно приходил к упрощению словесного выражения чисел. Так, например, выражение, которое должно соответствовать числу 11 – «десять пальцев на обеих руках и один палец на одной ноге» - упрощалось в «палец на ноге»; для выражения числа 23 вместо слов «десять пальцев на обеих руках, десять пальцев на обеих ногах и три пальца на руке другого человека» говорилось просто: «три пальца другого человека».
Подобного рода сокращения в то же время приводили как бы к выделению единиц из высшего разряда. В самом деле, такие называния, как «рука» - для обозначения пяти, «две руки» - для обозначения десяти, «нога» - для обозначения пятнадцати «человек» - для обозначения двадцати и т. п., служили для обозначения единиц высшего разряда, чем пальца, а пальцы играли роль единиц низшего разряда.
В этом смысле выражение «один на другой руке», означающее «шесть» можно рассматривать как «один из второго пятка» или как «пять и один», т. е. «рука» - единица высшего разряда. Точно также наименование «два на ноге», означающее «двенадцать», указывало на то, что две единицы взяты из второго десятка; это можно было бы передать и такой фразой: «две руки и два пальца», где «две руки» играют роль единицы высшего порядка по отношению к пальцам.
3. Как люди научились записывать цифры
Древний человек хотел учитывать вещи, которыми владел. Сколько у него оружия? Сколько инструментов? Для этого он делал зарубки на палках и костях животных. В большой мешок он клал столько камешков, сколько у него было животных. Чем больше камешков, тем больше животных. Слово «калькулятор» произошло от латинского «калькулюс». Что означает «камень». Многие древние народы при счете завязывали узелки на шнурках разной длины и цвета. У индейцев это узелковое письмо называлось «кипу». У каждого узелка было точное значение. Желтый, например, обозначал золото, зеленый – хлеб, черный – смерть. Если узел был не цветной, то он означал числа: простые узлы – десятки, двойные – сотни, а тройные узлы – тысячи. У некоторых богачей скапливалось по несколько метров этой веревочной «счетной книги». Попробуй, вспомни через год, что означают четыре узелка на зеленом шнурке. Поэтому того, кто завязывал узелки, называли вспоминателем.
Арабские цифры 1,2,3,4,5… придумали вовсе не арабы, они пришли к нам из Индии. Просто арабы принесли оттуда эту форму записи чисел, которая потом распространилась через Северную Африку и Испанию в Европу.
Арабские цифры происходят от индийских символов для записи чисел. В Индии в V веке было открыто и формализовано понятие нуля («шунья»), которое позволило перейти к позиционной записи чисел. В позиционной системе счисления «вес» цифры определяется ее положением. Так, 5 в числе 15 означает всего лишь пятерку, а в числе 2523 - пять сотен (ведь 2523 - это 2 раза по тысяче, 5 раз по сто, 2 раза по десять и 3).
Индийская система счисления и первые арифметические алгоритмы были заимствованы арабами. Самый ранний из дошедших до нас арабских учебников арифметики был написан аль-Хорезми около 825. В нем широко используются и объясняются индийские цифры. Позднее этот учебник был переведен на латынь и оказал значительное влияние на Западную Европу. Искаженный вариант имени аль-Хорезми дошел до нас в слове «алгоризм», которое при дальнейшем смешении с греческим словом аритмос превратилось в термин «алгоритм».
Арабские цифры — традиционное название набора из десяти знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; ныне использующийся в большинстве стран для записи чисел в десятичной системе счисления.
4. Цифры древних народов
Трудно представить, что в древние времена, люди вместо привычных для нас цифр, пользовались, например, рисунком. В древнем Египте вместо цифр, писали на папирусах различные знаки – иероглифы. Десять обозначалось скобочкой в виде подковы. Чтобы написать шестнадцать, надо было написать шесть палочек и одну подкову. И так до сотни. Для сотни был придуман крючок, для тысячи – значок в виде цветка. Десять тысяч обозначали рисунком пальца, сто тысяч – лягушкой.
|
В Вавилоне писали палочкой на глине. Сложные фигуры
изображать было трудно, поэтому писали, чередуя различные
комбинации клинышков (рисунок 2).
Эту письменность называют клинописью. Не очень-то удобно было записывать таким способом большие числа, и совсем неудобно было их складывать, вычитать, умножать и делить. Тяжело приходилось древним математикам, которые жили в Месопотамии.
А как непросто было хранить хрупкие и тяжелые
глиняные таблички, веревки с узелками, рулоны папируса.
Китайская система записи чисел – одна из самых древнейших.
В Китае считали при помощи палочек, которые
выкладывали на стол или доску. Числа от одного до пяти
при записи обозначались вертикальными палочками, а
десятки – горизонтальными. (рис. 3)
Древнейший народ майя, живший на территории
центральной Америки, записывал цифры от одного
до девятнадцати черточками и точками. Точками
они обозначали цифры от одного до четырех, черточкой – пять (рис. 4)
Греки число десять тысяч называли «мириа», а словом «мириада» обозначали огромные,
не поддающиеся счету количества. Мы до сих пор используем это слово, когда хотим сказать как много на небе звезд.
Люди трудно и медленно накапливали те знания, которыми мы пользуемся в наши дни. До наших дней сохранились такие выражения, как «тьма тьмущая» или «тьма народу», а ведь древние славяне называли этим словом десять тысяч.
В России цифры появились только при Петре I. До этого каждой цифре соответствовала своя буква алфавита.
Интересно, что в древнем Риме число один писали вертикальной палочкой, два – двумя вертикальными палочками, три – тремя вертикальными палочками, а чтобы не писать пять палочек, изображали руку. Потом руку стали изображать значком V. Чтобы написать шесть, к V прибавляли одну палочку, семь – две палочки, а десять писалась как X. Можно очень быстро и легко научиться понимать римскую запись цифр: меньшая цифра, стоящая справа от большей, прибавляется к ней. Цифра, стоящая слева – отнимается. Позднее появились значки для обозначения больших чисел, где вместо цифр использовали латинские буквы, например, - сокращенное от латинского слова Centum – 100 (рисунок 5.) Если римские цифры записаны в порядке убывания, то их значения складываются. А вот если слева записана меньшая цифра, а справа большая, то их значения вычитаются. Вот как непросто.
Примерно к шестому веку нашей эры в Индии придумали систему нумерации, которой до сих пор используют во всем мире. В начале индийских цифр было девять: 1,2,3,4,5,6,7,8,9. Эта система была очень неудобной при подсчетах больших чисел. Например, число 305 писали так: 3 5. Вместо ноля ставили пробел и часто при этом ошибались. Чтобы избежать этих трудностей, вместо пустого места ставили точку, потом маленький кружочек, который и превратился в знакомый нам 0. Сначала нулём не пользовались, эту цифру боялись, ненавидели и даже запрещали.
Однако люди ошибались. Припишем к любому числу ноль, получим число в 10 раз большее. 2 и 20 = 2·10; 33 и 330 = 33·10.
Европейцы познакомились с индийской системой счисления благодаря арабам, которые переняли ее у индийцев и перенести в Европу. Поэтому цифры мы называем арабскими.
5. Буквенная цифирь
В Древней Руси числа записываются с помощью букв применявшегося тогда славянского алфавита (поэтому такую систему называли буквенной цифирью). Чтобы отличить буквы-числа от обычных букв, над ними ставился специальный знак «~» - так называемый титлох – в виде ломаной или искривленной линии.
Числа от 1 до 9 записывали так:
Числа от 11 до 19 выглядели так, как показано на рисунке:
Обратите внимание, что числа от 11 до 19 записывали так же, как говорили: «один – над десять», …, «девять над десять», то есть цифру единиц ставили до цифры десятков, знак титло ставился только один – над всем числом. Одно из подтверждений этого – часы на колокольне Суздальского кремля.
Десятки и сотни обозначались так:
Благодаря использованию 27 цифр запись даже трехзначных чисел была достаточно короткой и выглядела так:
Тысячи обозначались теми же буквами с титлами, что и первые девять цифр, но у них слева внизу ставился знак «
» («тысяща»)
Десятки тысяч назывались «тьмы». До XVI в. Их обозначали, обводя знаки единиц кружками, например, числа 10 000, 20 000, 50 000 соответственно записывались следующим образом:
Отсюда и пошли выражения: «тьма народу» (то есть очень много народу); «тьма-тьмущая» (очень много, бесчисленное множество).
10 тем (множественное число от слова «тьма»), или 100 000, было единицей высшего разряда. Ее называли «легионом».
Миллионы называли «леодрами». До XVI в. Их обозначали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых.
В XVI-XVII вв. для записи десятков и сотен тысяч вместо кружочков стал использоваться тысячный знак «», который записывался перед числом десятков тысяч или сотен тысяч.
Описанный способ записи чисел можно рассматривать как зачатки позиционной системы, так как в нем для обозначения единиц разных разрядов применялись одни и те же символы, к которым лишь добавлялись специальные знаки для определения значения разряда.
В России буквенная цифирь активно использовалась до начала XVII в. : в гражданской азбуке Петра I (1710г.) буквенные цифры даны параллельно с арабскими в разделе «Число церковное и арифметическое».
6. История нуля.
Нуль бывает разный. Во-первых, нуль - это цифра, которая используется для обозначения пустого разряда; во-вторых, нуль - это необычное число, так как на нуль делить нельзя и при умножении на нуль любое число становиться нулем; в-третьих, нуль нужен для вычитания и сложения, иначе, сколько будет, если из 5 вычесть 5?
Впервые нуль появился в древневавилонской системе счисления, он использовался для обозначения пропущенных разрядов в числах. В их системе нуль выполнял роль пробела в тексте.
Изобретателем формы нуля можно считать великого греческого астронома Птолемея, так как в его текстах на месте знака пробела стоит греческая буква омикрон, очень напоминающая современный знак нуля. Но Птолемей использует нуль в том же смысле, что и вавилоняне.
На стенной надписи в Индии в IX веке н. э. впервые символ нуля встречается в конце числа. Это первое общепринятое обозначение современного знака нуля. Именно индийские математики изобрели нуль во всех его трех смыслах. Например, индийский математик Брахмагупта еще в VII века н. э. активно стал использовать отрицательные числа и действия с нулем. Но он утверждал, что число, деленное на нуль, есть нуль, что конечно ошибка, но настоящая математическая дерзость, которая привела к другому замечательному открытию индийских математиков. И в XII веке другой индийский математик Бхаскара делает еще попытку понять, что же будет при делении на нуль. Он пишет: "количество, деленное на нуль, становится дробью, знаменатель которой равен нулю. Эту дробь называют бесконечностью",
Леонардо Фибоначчи, в своем сочинении "Liber abaci" (1202) называет знак 0 по-арабски zephirum. Слово zephirum - это арабское слово "as-sifr", которое произошло от индийского слова sunya, т. е. пустое, служившего названием нуля. От слова zephirum произошло французское слово zero (нуль) и итальянское слово zero. С другой стороны, от арабского слова "as-sifr" произошло русское слово цифра. Вплоть до середины XVII века это слово употреблялось специально для обозначения нуля. В XVI веке латинское слово nullus (никакой) вошло в обиход для обозначения нуля.
Нуль - единственная цифра, которая имеет памятник. Памятник нулю находится в центре города Будапешт (Венгрия). От этого памятника отмеряются все расстояния в стране. Цифра 0 и надпись "км" внизу означают начало всех дорог по Венгрии.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Считаю, что сведениями из истории математики привлекают внимание учащихся независимо от возраста. Исторические факты и современные исследования истории возникновения чисел и цифр доказывают, что арифметика является старейшей отраслью математики.
В процессе проведенного исследования я пришла к выводу, что зачатки великой науки «Арифметики» были заложены еще в древние времена. Возникновение и развитие арифметики было неизбежным явлением, которое предопределено бытовыми потребностями человека.
Современные исследователи продолжают вести поиски интересных фактов связанных с возникновением чисел и цифр.
Данное моё небольшое исследование не исчерпывает всех аспектов истории возникновения чисел и цифр. Необходимы более глубокие исследования данной темы, так как с множеством чисел мы продолжаем знакомство на уроках. Конечно, осталось много интересных и не затронутых вопросов. В продолжение этой работы хотелось бы, исследовать каким образом в древности вели устный счет (сложение, вычитание, умножение и деление), а также как использовались счетные доски (например, греческий абак). Кроме этого, интересно узнать, как с помощью древних цифр происходило представление дробей.
Литература
1. , История математики, Том 1, М.,1970
2. , История математики в школе, М., «Просвещение», 1964
3. , История арифметики, Минск, 1965
4. Математика (Первое сентября) №10 2011
5. Энциклопедический словарь юного математика. М.: Педагогика, 1989
6. А. Костинский, В. Губайловский, Триединый нуль, М., «Педагогика», 1989
7. , , Математика 6, М., «Мнемозина», 2011
Приложение
9. Результаты опроса учащихся
Вопрос учащимся,: Из какой страны к нам пришли цифры?
Всего было опрошено 30 учащихся 3-7 классов.
Приложение
Вопрос учащимся: цифра = число?
Опрошено 30 человек.
Приложение
Какими числами мы в настоящее время пользуемся?
