Неопределенный интеграл

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет
им.

Неопределенный интеграл

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК
для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки
010400 «Прикладная математика и информатика

Нижний Новгород

2014

УДК 517(076.1)

ББК 22..161я73

К-89

К-89 Неопределенный интеграл. Составители: ,
. Учебно-методическое пособие. - Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 20с.

Рецензент: кандидат физ.-мат. наук, доцент

В учебно-методическом пособии содержатся разработки практических занятий по предмету «Математический анализ» для студентов первого курса, обучающихся по направлению «Прикладная математика и информатика». Материал состоит из практических занятий по теме «Неопределенный интеграл» и включает в себя изложение основных методов и приемов решения задач, образцы решенных примеров и задания для самостоятельного решения.

Работа будет полезна преподавателям при проведении практических занятий, а студентам первого курса факультета ВМК при подготовке к контрольным и зачетным работам по математическому анализу.

Ответственный за выпуск:
заместитель председателя методической комиссии факультета ВМК ННГУ,
к. т.н., доцент

	УДК	517(076.1)
	ББК	22.161я73

Содержание

Введение………………………………..………………………………..…………..…………..4

1. Понятие неопределенного интеграла…………………………………….………….....…..5

2. Интегрирование простейших неопределенных интегралов…………………………...….6

3. Интегрирование методом преобразования…….………...……………….…………..…....6

4. Интегрирование с применением подходящей подстановки…………….......................…7

5. Решение интегралов вида , , , ……….……….9

6. Интегрирование с применением тригонометрической подстановки............................…11

7. Интегрирование по частям……………………..…………………………………….……12

8. Интегрирование с помощью выделения полного квадрата………………...………..…13

9. Интегрирование методом неопределенных коэффициентов………………...……….…15

10. Интегрирование иррациональных выражений……………………………….……….…16

11. Интегрирование дифференциального бинома………………………………..……….....17

12. Интегрирование тригонометрических функций………………………………..…….....19

13. Интегрирование с помощью универсальной тригонометрической подстановки.…….20

14. Аудиторная контрольная работа на вычисление неопределенных интегралов……….21

Литература……………………………………………………………………………………..23

Введение

Настоящее учебно-методическое пособие написано на основе многолетнего опыта проведения практических занятий по математическому анализу в Нижегородском госуниверситете на факультете Вычислительной математики и кибернетики. Тематика самостоятельных работ определяется содержанием лекций курса «Математический анализ» по теме «Неопределенный интеграл». В учебно-методическое пособие включены проработки практических занятий по указанной выше теме со студентами первого курса, обучающимися по направлению подготовки 010400 «Прикладная математика и информатика». Даются основные понятия и приемы вычисления неопределенных интегралов.

Систематически подобранные типовые задачи с приведенными подробными решениями помогают раскрыть содержание основных понятий и теорем курса. А указанные для самостоятельного решения задачи – закрепить полученные знания.

Данные в учебно-методическом пособии проработки практических занятий будут полезны преподавателям, ведущим практические занятия по курсу математического анализа, а студентам - для самостоятельной работы при подготовке к коллоквиумам, зачетам и экзаменам.

1. Понятие неопределенного интеграла

Если функция f(x) определена и непрерывна на промежутке (a,b) и F(x) - её первообразная, т. е. F’(x)=f(x) при a<x<b , то

, a<x<b

где C - произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. 1.2.2.

2.

3.

Таблица простейших интегралов:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. , ;

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

2. Интегрирование простейших неопределенных интегралов

Рассмотрим несколько примеров нахождения интегралов с помощью использования основных свойств неопределенного интеграла и таблицы простейших интегралов.

№ 000. =
= = =
= 27 =

№ 000. =
= = =

Аналогично берутся нижеследующие интегралы:
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,

№ 000 , № 000 ,
№ 000. . № 000 ..

3. Интегрирование методом преобразования

Для нахождения следующих интегралов надо выполнить некоторые преобразования подинтегрального выражения. Продемонстрируем этот прием на конкретных примерах.

№ 000 =
= = = - = .

№ 000 =
= = = + = .

№ 000 = = = +С.

Аналогично берутся интегралы:
№1640 , №1641 , №1643 , № 000 , №1645 , № 000 ,

4. Интегрирование с применением подходящей подстановки

Метод подстановки: если f(x) непрерывна, то, полагая

,

где непрерывная вместе со своей производной , получим

.

Продемонстрируем этот прием на конкретных примерах.

№ 000 =
= = = = .

№ 000 =
= = = +С.

Аналогично берутся интегралы:
№ 1657 , № 000,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 . № 000 ,
№ 000 .

В следующих номерах формула нового аргумента не является линейной.

№ 000 = = =
= +С.

№ 000 = = = = .

№ 000 = = .

№ 000 = = .

№ 000 = = = -.

№ 000 = = = +С.

№ 000 =
= = = =
= .

Аналогично, подбирая подходящие нелинейные подстановки, можно решить
№ 000 , № 000 ,
№ 1689 , № 000,
№ 000, № 000 ,
№ 000 , № 000
№ 000 , № 000 .

5. Решение интегралов вида

, , ,

Рассмотрим решение этих интегралов в общем виде.
= = .

= = = .

= = = =
= .

= = .

Теперь нетрудно разобрать решение некоторых конкретных интегралов.

№ 000 =
= = = .

№ 000 =
= = .

№ 000 =
= = = = = = .

№ 000 =
= = sgnx = -sgnx =
= -sgnx.

№ 000 =

= = = =

Аналогично берутся следующие интегралы:
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 .

6. Интегрирование с применением тригонометрической подстановки

Тригонометрические подстановки – это подстановки и т. п.
Применяя эти подстановки, надо особенно внимательно следить за их взаимной однозначностью.

№ 000 =
= = = = = =
= = .

№ 000 =
= = = =

= = = =
= - = - =
= - + С = - + С.

Подбирая подходящие тригонометрические подстановки можно решить
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 .

7. Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям: если u и v некоторые дифференцируемые функции от x , то

.

Рассмотрим на нескольких примерах возможности метода интегрирования по частям.

№ 000 =
= = =

Иногда, чтобы взять интеграл, приходится применять интегрирование по частям несколько раз.

№ 000 =

= = =

= = =

=

Бывает, что приходится применять интегрирование по частям несколько раз, чтобы получить уравнение относительно заданного интеграла.

=
= = + =
= = +- Решая полученное относительно заданного интеграла уравнение
= +-, вычисляем интеграл.
= +С

Этим же методом решаются
№ 1797 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 .

8. Интегрирование с помощью выделения полного квадрата

Ранее уже разбиралось решение интегралов вида , , , . Добавим к ним новые: , и . Приведем решение новых интегралов в общем виде.

= = .

= = =
= = , т. о. = .

= = =
= =, т. о. =.

Выделяя полный квадрат и используя полученные формулы, найдем некоторые конкретные интегралы.

№ 000 = = =
= .

№ 000 = = + =
= +.

№ 000 =
= = =

= = = =
= = =
= .

Аналогично решаются указанные ниже интегралы.

№ 000 , № 000 ,
№ 1847 , № 000 ,

№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 .

9. Интегрирование методом неопределенных коэффициентов

Этот метод основан на том, что, как известно из алгебры, любая рациональная дробь представляется в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби. А правильная рациональная дробь раскладывается на сумму элементарных дробей. Т. о., если подинтегральная функция есть рациональная дробь, то, используя аддитивность интеграла, достаточно вычислить сумму интегралов от каждого слагаемого в отдельности.

Продемонстрируем этот метод на решении.

№ 000

Представим рациональную дробь , являющуюся подинтегральной функцией, в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби:
=

Затем разложим получившуюся правильную дробь на сумму элементарных дробей, знаменатели которых есть сомножители получившейся правильной дроби, а числители имеют степень на единицу меньше степени знаменателя и содержат неопределенные коэффициенты.

= = = = . Т. о. = .

Сравнивая числители двух разных представлений одной и той же дроби, точнее говоря, сравнивая коэффициенты при неизвестной в разных её степенях, получаем систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными: a и b.

Получили систему . Её решение есть

Вычислить значения коэффициентов можно и другим способом. Присмотримся к уравнению

Подставляя в него , получаем , или .

При получаем , или .

Т. о. имеем
=
= =
= .

Аналогично решаются нижеследующие интегралы.

№ 1867 , № 1870 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 .

10. Интегрирование иррациональных выражений

Для интегрирования иррациональных функций необходимо привести их к функциям рациональным. Рассмотрим несколько конкретных примеров, в которых это можно сделать.

№ 000 = = = = =
= .

№ 000 = =
= = = =
= . Аналогично решаются нижеследующие интегралы.

№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 .

Вычисление интегралов вида , , и рассматривалось ранее.

11. Интегрирование дифференциального бинома

Интеграл от дифференциального бинома

где m, n и p - рациональные числа, может быть приведен к интегрированию рациональных функций лишь в следующих трёх случаях (теорема Чебышева):

Случай 1. Пусть p - целое. Тогда полагая , где N - общий знаменатель дробей m и n.

Случай 2. Пусть - целое. Тогда полагаем , где N - знаменатель дроби p.

Случай 3. Пусть - целое. Тогда применяем подстановку , где N - знаменатель дроби p.

Если , то эти случаи эквивалентны следующим:

1) p -целое; 2) m - целое; 3) m+n - целое.

Разберем этот метод на решении конкретного интеграла.

№ 000 = перепишем подинтегральное выражение в виде дифференциального бинома
= теперь понятно, что . Убедимся, что этот дифференциальный бином принадлежит к одному из трех указанных случаев.

Проверка показала, что подинтегральную функцию приведет к рациональному виду подстановка
.
Действительно,
= = = , и задача свелась к нахождению интеграла от правильной рациональной дроби, которую надо представить в виде суммы элементарных дробей.
= = =
®

Поиск интегралов от этих элементарных дробей – задача уже известная.

= =
= + =
= =
= =
= .

Аналогично решаются нижеследующие интегралы.

№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 .

12. Интегрирование тригонометрических функций

Интегралы вида

,

где m и n - целые числа, вычисляются с помощью искусственных преобразований или применения формул понижения.

Рассмотрим несколько конкретных примеров.

№ 000 = = = = =
= = = .

№ 000 = = = =
= =
=
= .

Из приведенных примеров видно, что в случае, когда одна из степеней нечётная, удобно вводить новую переменную. Если же обе степени – четные, то удобно (возможно неоднократно) понижать степени, используя тригонометрические формулы.

Аналогично решаются нижеследующие интегралы.

№ 000 , № 000 ,

№ 000 , № 000 .

Следующие интегралы вычисляются с помощью формул:


.
Рассмотрим конкретный пример.

№ 000 = =
= = .

Двукратным применением формул решаются нижеследующие интегралы.

№ 000 , № 000 .

13. Интегрирование с помощью
универсальной тригонометрической подстановки

Вычисление интегралов вида

,

где R - рациональная функция, в общем виде приводится к интегрированию рациональных функций с помощью универсальной тригонометрической подстановки
.

№ 000 =
(выразим подинтегральную функцию и дифференциал через функцию
и дифференциал )
= =
= = =
(всё подготовлено к выполнению универсальной тригонометрической
подстановки )
= = = =
= = .

Аналогично решаются нижеследующие интегралы.

№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 ,
№ 000 , № 000 .

Разберем на конкретном примере ещё один тип интегралов.

2043(а) = = (найдём неопределенные коэффициенты из системы уравнений:
®
и получим два простых интеграла)
= + =
= =

Аналогично решаются нижеследующие интегралы.

№ 000(б) , № 000 ,
№ 000 , № 000 .

14. Аудиторная контрольная работа на вычисление
неопределенных интегралов

Вариант №1

1) 2) 3)
4) 5) 6)
7) 8) 9)
10)

Вариант №2

1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10)

Вариант №3

1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9) 10)

Вариант №4

1) 2) 3) 4) 5) 6)
7) 8) 9)
10)

Литература

1. , , Садовничий и упражнения по математическому анализу. –
М.: Издательство МГУ, 1988.

2. Демидович задач и упражнений по математическому анализу. – М.:АСТ: Астрель, 2006.

3. , ,
Шабунин задач по математическому анализу. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

4. Фихтенгольц дифференциального и интегрального исчисления. – М.: Наука, 1969

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Составители:

Олег Анатольевич Кузенков

Татьяна Петровна Киселева

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Нижегородский государственный университет
им. Н И Лобачевского»

Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23