МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОНИКИ И МАТЕМАТИКИ
(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)
Кафедра электронно-вычислительной аппаратуры
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«ОСНОВЫ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ»
Выполнил: студент группы С-54
Проверил: преподаватель
Москва 2004
Оглавление
Аннотация
Данная работа описывает анализ сложной линейной системы на устойчивость, проведенный алгебраическим методом и с помощью различных критериев устойчивости.
Техническое задание
Для заданной модели определить коэффициент усиления (K) звена системы с тем, что система будет:
а) устойчивой;
б) неустойчивой.
Построить частотные и временные характеристики.
Анализ устойчивости проводить алгебраическим методом и использовать алгебраические (Льенара-Шипара) и геометрические (Найквиста) критерии.
w1=Ap=0.8p
w2=0.2p/(0.015p+1)
w3=0.002p+1
w4= 0.009p2+0.02p+1
w5=0.04/(0.07p2+0.01p+1)
w6=K
w7=0.3/(0.5p+1)
w8=0.2/p2
w9=0.1/(0.3p2+1)
Алгоритм выполнения работы
 |
Ход работы
Работа с исходной моделью
Для начала необходимо привести исходную модель к рабочему виду. Для этого надо разделить её на SISO-модели (то есть модели вида "1 вход - 1 выход"). Работать с SISO-моделями гораздо легче, чем с многовходовыми, а получить многовходовую можно уже на этапе интегрирования по времени благодаря свойству аддитивности. Таким образом, можно считать, что на z-вход подан нуль, тогда исходная модель превращается в модель следующего вида:
Если же представить нерабочим v-вход, то тогда схема опять же упростится и будет выглядеть вот так:
Теперь рассмотрим каждую систему по отдельности.
Модель по V-входу
Аналитические выкладки
Необходимо произвести с моделью некоторые изменения с тем, чтобы с ней можно было работать наилучшим образом. А именно, требуется перенести сумматор через блок w1 по ходу сигнала. Это поможет нам представить передаточную функцию системы.
Перенос осуществляется согласно доказанным правилам, и таким образом мы получаем систему, изоморфную вышеприведенной. Это дает нам возможность выделить несколько более массивных звеньев.
Видно, что система состоит из трех подсистем: обратной связи и двух прямых - одна из них замкнута подсистемой обратной связи, другая нет. Эта незамкнутость уже не очень хороша для устойчивости системы, а ведь ещё можно вспомнить, что незамкнутая система состоит из дифференцирующих звеньев, то уже становиться понятно, что обратная связь должна быть достаточно сильной, чтобы уравновесить расшатывающий систему эффект от первой её подсистемы.
Однако, в том случае, если мы внимательно рассмотрим замкнутую обратной связью подсистему, мы увидим, что без обратной связи она также не будет являться устойчивой. То есть обратная связь должна уравновешивать также и эффект от данной подсистемы.
Вывод передаточной функции
Передаточная функция первой подсистемы:
wVsub1=(w4/w1) + 1
Вторая подсистема состоит из двух последовательно соединенных звеньев - w2 и w3 - и одного звена, соединенного параллельно им - w5. То есть:
wVsub2=w2*w3+w5
Подсистема обратной связи же состоит из двух параллельно соединенных ветвей. В одну из ветвей входит блок с передаточной функцией w8, в другую - блоки с передаточными функциями w7 и w9. При этом следует учесть, что, если мы хотим представить обратную связь как отрицательную, то w8 мы должны включить в выражение с обратным знаком, так как она представляет собой положительную обратную связь. То есть:
wVsubos=w7*w9-w8
Теперь получим передаточную функцию подсистемы, объединяющей вторую подсистему и подсистему обратной связи. Это будет:
wVsub2os=wVsub2/(1+wVsub2*wVsubos)
Общая же передаточная функция подсистемы, как очевидно, будет состоять из произведения передаточной функции первой подсистемы и предыдущей передаточной функции, то есть:
wV = wVsub2os*wVsub1 =
wVsub2*wVsub1/(1+wVsub2*wVsubos) =
(w2*w3+w5)*(w1+w4)/(1+(w2*w3+w5)*(w9*w7-w8)) =
Анализ передаточной функции.
Как видно из предыдущей записи, у передаточной функции wV в знаменателе есть отрицательный коэффициент (-160.762), который не зависит от K. Это означает, что ни при каких K не будет выполняться необходимое условие устойчивости - все коэффициенты характеристического уравнения должны быть строго положительны (Так как характеристическое (вековое) уравнение основано на знаменателе передаточной функции). А это означает, что система структурно неустойчива и дальнейший анализ не имеет смысла.
Построение графиков
Построим графики работы системы при Kos равной 1. Очевидно, что это неустойчивая система. Это наглядно иллюстирирует последний график.
Первый график частотных характеристик - это диаграмма Боде, АЧХ и ФЧХ системы. Затем следует увеличенная АЧХ системы. Последний график - это диаграмма Найквиста, АЧХ системы в полярных координатах в комплексной плоскости.
Временные характеристики состоят из откликов системы на импульс и шаг.
Последний график наглядно иллюстрирует неустойчивость системы при данном Kos (и вообще при любых Kos).
Частотные характеристики
Вывод
Данная работа наглядно показывает, что указанная в техническом задании система структурно неустойчива и, кроме того, физически нереализуема (так как степень числителя передаточной функции выше степени её знаменателя), при помощи анализа данной системы средствами теории управления.
Хочется отметить, что компьютер на данный момент может решать подобные задачи за считанные минуты, но в основном при условии, что мы задаемся определенными численными формулами передаточной функции. В том же случае, если нам как раз необходимо подобрать численные коэффициенты, то тут компьютер выступает несколько более худшим помощником. Впрочем, это вполне логично, ибо компьютер создан прежде всего для выполнения численных, а не мыслительных операции, и потому может быть только помощником для инженера.
Литература
1.. Matlab 5.x. - К.: Издательская группа BHV, 2000.
2., . MATLAB 5.x. Вычисления, визуализация, программирование. - М.: КУДИЦ-ОБРАЗ, 2000.
3.Воронов теории автоматического управления: Особые линейные и нелинейные системы. - 2-е изд. перераб. - М.: Энергоиздат, 1981.
4.Справочная система программы MatLAB 6.1.
5.Лекции по основам теории управления в электронном виде, 2002.
