Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
5. ЦЕПИ С ИНДУКТИВНО СВЯЗАННЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ
5.1. Основные понятия и определения
Если при изменении тока в одном элементе цепи в другом возникает ЭДС, то такие элементы называются индуктивно связанными, а наведенная ЭДС носит название ЭДС взаимной индукции.
Рассмотрим две обмотки, находящиеся на крайних стержнях ненасыщенного магнитопровода (рис. 5.1,а). Пусть 
тогда магнитные потоки самоиндукции 
и взаимоиндукции 
окажутся пропорциональными току 
равно как и потокосцепления соответствующих обмоток с потоками, их пронизывающими,
Коэффициенты пропорциональности
носят названия собственной индуктивности первой обмотки и взаимной индуктивности второй обмотки по отношению к первой (прилагательное «собственная» обычно опускают).
Разумеется, при 
и наличии тока 
(рис. 5.1,б) магнитные потоки само - и взаимоиндукции 
и соответствующие потокосцепления будут пропорциональны этому току:
Здесь 
(собственная) индуктивность второй обмотки, а 
взаимная индуктивность первой обмотки по отношению ко второй.
В линейных цепях справедлив принцип взаимности, поэтому
и говорят просто о взаимной индуктивности двух обмоток М.
При наличии обоих токов (рис. 5.2,а) по принципу наложения
Если изменить направление одного из токов или иначе намотать одну из обмоток, то изменятся знаки перед потокосцеплениями взаимной индукции. Для облегчения решения вопроса об этих знаках вводится понятие одноименных зажимов.
Два зажима, принадлежащие двум разным индуктивно связанным элементам, называются одноименными и помечаются одинаковыми значками (звездочками * или точками ·), если при одинаковой ориентации токов по отношению к этим зажимам потоки само - и взаимоиндукции складываются.
Согласно этому определению на рис. 5.2,а одноименными являются зажимы b и d, помеченные (*), а также зажимы a и c. Теперь нет нужды изображать магнитопровод, поэтому на схеме индуктивно связанные элементы обозначаются, как показано на рис. 5,2,б.
Степень индуктивной связи оценивается коэффициентом связи
Нетрудно убедиться, что значение 
не может превышать 1.
Если токи изменяются во времени, то в индуктивно связанных элементах, наряду с ЭДС самоиндукции, возникают и электродвижущие силы взаимной индукции
которые компенсируются соответствующими напряжениями 
Поэтому падение напряжения на каждом из элементов складывается из двух составляющих:
В комплексной форме
где 
сопротивление взаимной индукции, 
комплексное сопротивление взаимной индукции. Эта величина обозначается на комплексных схемах с индуктивной связью (рис. 5.3,б и 5.4,б).
При составлении уравнений второго закона Кирхгофа для цепей с индуктивной связью нужно учитывать правило знаков для напряжений само - и взаимоиндукции: если токи ориентированы одинаково по отношению к одноименным зажимам, то знаки этих напряжений должны быть одинаковы, если ориентация различна, то и знаки противоположны.
5.2. Последовательное соединение
индуктивно связанных элементов
Рассмотрим последовательное соединение двух катушек, индуктивно связанных между собой. Возможны два случая: ток ориентирован одинаково по отношению к одноименным зажимам катушек (такое включение называется согласным – схемы на рис. 5.3,а, б) и по-разному (это встречное включение – схемы на рис. 5.4,а, б).
Найдем параметры эквивалентного двухполюсника. По второму закону Кирхгофа для схем, показанных на рис. 5.3,а и 5.4,а,
где 
знак «плюс» соответствует согласному включению, «минус» – встречному.
Для комплексных схем (рис. 5.3,б и 5.4,б)
в свою очередь, 
Таким образом, за счет индуктивной связи эквивалентные индуктивность, индуктивное сопротивление, а значит, и полное сопротивление ветви увеличиваются при согласном включении и уменьшаются при встречном. Отсюда вытекает способ экспериментального определения одноименных зажимов катушек.
Если при одном значении напряжения и различном включении элементов измерить токи, то в том случае, где ток больше, включение встречное и катушки соединены друг с другом одноименными зажимами. Если же при одном токе и различном включении элементов измерить напряжение, то оно будет больше при согласном включении.
Убедимся в этом на примере 5.1.
Пример 5.1
Построить векторные диаграммы цепи с последовательным соединением индуктивно связанных катушек при их согласном (рис. 5.3) и встречном (рис. 5.4) включении. Найти напряжения на каждом из элементов и на входе цепи.
Дано: в обеих схемах
Решение
Вычислим напряжения на активных сопротивлениях, а также напряжения само - и взаимоиндукции каждого из индуктивно связанных элементов.
Точки 
и 
на схеме отсутствуют. На диаграмме они будут разделять векторы напряжений само - и взаимоиндукции.
Построим топографические диаграммы напряжений (рис. 5.5,а, б).
Напомним, что падения напряжения на активных сопротивлениях совпадают по фазе с током, напряжения самоиндукции опережают ток на 90 градусов, а напряжения взаимной индукции либо отстают от тока на тот же угол (встречное включение – рис. 5.5,б), либо его опережают (согласное включение – рис. 5.5,а).
Округленные значения напряжений на входе цепи и на каждом из индуктивно связанных элементов равны:
● при согласном включении 
● при встречном включении 
Интересно, что в последнем случае напряжение на второй катушке отстает от тока (так называемый «емкостный» эффект). Это возможно, если собственная индуктивность одной из катушек меньше взаимной индуктивности (в данном примере 
Разумеется, от общего напряжения ток отстает.
5.3. Параллельное соединение
индуктивно связанных элементов
Найдем параметры эквивалентной комплексной схемы замещения для двух параллельно соединенных катушек при их согласном и встречном включении (рис. 5.6 и 5.7, соответственно).
По законам Кирхгофа
где знак «плюс» соответствует согласному включению, знак «минус» – встречному, 
Отсюда легко найти эквивалентное сопротивление
Знак «минус» в знаменателе соответствует согласному включению, «плюс» – встречному. Таким образом, и при параллельном соединении эквивалентное сопротивление за счет индуктивной связи увеличивается при согласном включении, уменьшается – при встречном.
5.4. Расчет сложных цепей
с индуктивно связанными элементами
Законы Кирхгофа справедливы и в этих цепях, поэтому порядок расчета методом уравнений Кирхгофа не отличается в принципе от рассмотренного выше. Нужно только при составлении уравнений по второму закону учесть наряду с напряжениями самоиндукции и напряжения взаимной индукции, применяя «правило знаков» (см. п. 5.1).
Введение в расчет контурных токов автоматически удовлетворяет первому закону Кирхгофа, а при составлении уравнений по второму закону действует вышеупомянутое «правило знаков». Поэтому порядок расчета методом контурных токов сохраняется, но наличие индуктивной связи с учетом вышеупомянутого правила вносит две особенности в составление уравнений с контурными токами.
1. Если один контурный ток протекает по обоим индуктивно связанным элементам, то в собственное сопротивление этого контура нужно добавить 
со знаком «плюс», если ток ориентирован одинаково по отношению к их одноименным зажимам, и со знаком «минус», если ориентация различна.
2. Если два контурных тока протекают по двум индуктивно связанным элементам (каждый в своем), то в общее сопротивление этих контуров нужно добавить 
со знаком «плюс», если токи ориентированы одинаково по отношению к одноименным зажимам своих элементов, и со знаком «минус», если по-разному.
Разность потенциалов на зажимах каждой из двух ветвей, в которых имеются индуктивно связанные элементы, выражается через токи обеих ветвей. Поэтому в общем случае нельзя достаточно просто выразить эти токи через потенциалы соответствующих узлов. Следовательно, метод узловых потенциалов в канонической форме неприменим.
Мы рассматриваем линейные цепи с индуктивной связью, поэтому метод наложения применим без ограничений (фактически сами понятия индуктивности и взаимной индуктивности введены в соответствии с принципом наложения). Следует, однако, учесть, что формулы для эквивалентных преобразований существенно усложняются и их комбинация с методом наложения теряет перспективу применения в расчетах.
Метод эквивалентного генератора, очевидно, применим лишь в том случае, когда нет индуктивной связи между выделенной ветвью и одной из ветвей остальной части цепи, которая рассматривается как активный двухполюсник.
Пример 5.2 (схема на рис. 5.8)
Записать независимые уравнения по законам Кирхгофа (для мгновенных и комплексных значений токов и напряжений), рассчитать токи в ветвях, составить баланс мощностей, построить векторную диаграмму.
Решение
Составляем уравнения второго закона Кирхгофа для двух независимых контуров (среднего и левого), обходя их по часовой стрелке.
«dbfd»: 
;
«daba»: 
Заметим, что согласно «правилу знаков» напряжения само - и взаимоиндукции каждого из элементов имеют одинаковые знаки (токи ориентированы одинаково по отношению к одноименным зажимам).
По первому закону Кирхгофа для двух верхних узлов имеем:
«b»: 
; «f»: 
Итого четыре уравнения с четырьмя неизвестными токами.
Для комплексной схемы (рис. 5.9) те же уравнения принимают вид:
Подстановка числовых значений коэффициентов дает:
Решение этой системы позволяет найти комплексные токи:
Напряжение на зажимах источника тока
Комплексная, активная и реактивная мощности источников:
Активная и реактивная мощности потребителей:
Таким образом, баланс активных и реактивных мощностей выполняется: 
Примечание. Входящее в выражение реактивной мощности потребителя слагаемое
представляет собой реактивную мощность, связанную с явлением взаимной индукции (о ней речь ниже).
Построение векторной диаграммы начинается с построения осей комплексной плоскости (рис. 5.10) и выбора масштабов напряжения и тока: 
Затем строим лучевую диаграмму токов, проводя соответствующие токам векторы из начала координат. Штриховыми линиями показаны параллелограммы (в данном случае прямоугольники), иллюстрирующие выполнение первого закона Кирхгофа. Для построения топографической диаграммы напряжений подсчитаем комплексные потенциалы узлов (в том числе устранимых). Узлов 
и 
нет на схеме. На диаграмме они разделяют векторы напряжений само - и взаимоиндукции каждого из элементов.
Пусть 
Тогда 
Естественно, значения потенциалов узлов f и b, вычисленные различными способами, совпадают.
Теперь наносим точки a, b, , d, f, , k, на комплексную плоскость и соединяем векторами так, чтобы они указывали своими стрелками точки предполагаемого более высокого потенциала и чтобы их взаимное положение на диаграмме соответствовало взаимному расположению элементов в схеме. Напряжения само - и взаимоиндукции показаны пунктиром. Нетрудно видеть, что второй закон Кирхгофа также выполняется.
5.5. Передача энергии между индуктивно
связанными элементами
Индуктивно связанные элементы имеют общее магнитное поле, через которое и происходит передача энергии от одного элемента к другому. Покажем это на примере схемы, изображенной на рис. 5.11, в которой токи ориентированы одинаково по отношению к одноименным зажимам элементов. Уравнения второго закона Кирхгофа имеют вид:
где 
Комплексные, активные и реактивные мощности элементов:
где 
где 
Равенство 
говорит о передаче энергии от второго элемента к первому, если 
(при этом 
потребление энергии, 
высвобождение энергии). Вместе же они могут только накапливать энергию и возвращать ее источнику: 
Что касается реактивной мощности, то за счет наличия индуктивной связи 
Очевидно, если изменить направление одного из токов, то изменятся знаки активных и реактивных мощностей, связанных с явлением взаимной индукции.
Поэтому в общем случае 
где знак «плюс» соответствует одинаковой ориентации токов по отношению к одноименным зажимам катушек, «минус» – противоположной. Добавку 
нужно учитывать в реактивной мощности потребителей при составлении баланса мощностей, что и было сделано в примере 5.2. Передачу энергии между индуктивно связанными элементами позволяет реализовать трансформатор.
5.6. Эквивалентная замена индуктивно связанных элементов
(«развязка» индуктивной связи)
Рассмотрим схему, где от общего узла, к которому подключены две ветви с индуктивно связанными элементами, отходит еще только одна ветвь (рис. 5.12,а). По законам Кирхгофа
Отсюда
Легко видеть, что последние формулы описывают и состояние схемы рис. 5.12,б (без индуктивной связи), следовательно, эти схемы эквивалентны. Обратим внимание, что изменение направления одного из токов (например, 
), не приводит к изменению параметров эквивалентной схемы. Меняется лишь знак перед во всех уравнениях.
Правило развязки в данном случае можно сформулировать так:
если индуктивно связанные элементы подключены к общему узлу одноименными зажимами, то в эквивалентной схеме без индуктивной связи последовательно с каждым из них включается сопротивление 
, а в третью ветвь 
.
Аналогично доказывается переход от схемы рис. 5.13,а с индуктивной связью к схеме рис. 5.13,б без нее.
Правило развязки на этот случай:
если индуктивно связанные элементы подключены к общему узлу разноименными зажимами, то в эквивалентной схеме без индуктивной связи последовательно с каждым из них включается сопротивление , а в третью ветвь .
Напоминаем, что способ включения катушек (согласное или встречное) на результат развязки не влияет!
Если от общего узла, кроме ветвей с индуктивной связью, отходит две или большее количество ветвей, то прежде, чем производить развязку, схему следует так перерисовать, чтобы привести к одному из вышерассмотренных случаев.
Например, перечертив часть схемы рис. 5.9 вблизи узла d, расщепленного на 
и 
(рис. 5.14,а), так, как показано на рис. 5.14,б, можем заменить ее эквивалентной (рис. 5.14,в). А уже эквивалентную схему без индуктивной связи в дальнейшем можно рассчитать и методом узловых потенциалов, и методом эквивалентного генератора, и методом преобразований.
5.7. Двухобмоточный трансформатор в линейном режиме
Трансформатор представляет собой устройство, предназначенное для преобразования электрической энергии одного напряжения и тока в энергию другого тока и напряжения. Эта энергия передается из одной части цепи в другую за счет явления взаимной индукции.
Обычно трансформатор состоит из двух или нескольких обмоток. Чтобы увеличить коэффициент связи, обмотки помещают на ферромагнитный сердечник. Если сердечник ненасыщен, то его вебер-амперная характеристика линейна. Для работы в схемах с высокочастотными источниками используются трансформаторы без ферромагнитного сердечника (так называемые воздушные трансформаторы – тоже линейные устройства).
Рассмотрим двухобмоточный трансформатор в линейном режиме. Одна из его обмоток, называемая первичной (индекс 1), подключается к источнику, другая – вторичная обмотка (индекс 2) подключается к приемнику. Обмотки можно подключить и наоборот. На рис. 5.15 показаны его принципиальная схема («а») и схема замещения («б»), а на рис. 5.16 – комплексная схема замещения трансформатора с индуктивной связью.
Если в режиме холостого хода напряжение на зажимах вторичной обмотки больше напряжения на входе трансформатора, то он называется повышающим, в противном случае – понижающим. Фактически, каждый трансформатор в зависимости от способа включения может служить как повышающим, так и понижающим. Отношения напряжения на зажимах обмотки высшего напряжения к напряжению на зажимах обмотки низшего напряжения в режиме холостого хода трансформатора принято называть коэффициентом трансформации:
По второму закону Кирхгофа для мгновенных значений токов и напряжений
В комплексной форме
где 
В результате решения системы уравнений можно найти 
и записать его в виде:
где 
вносимое сопротивление, а 
комплексное сопротивление нагрузки.
Вносимым называется такое сопротивление, которое следовало бы внести в первичную цепь, чтобы учесть влияние нагрузки вторичной цепи трансформатора на ток в его первичной цепи. Можно показать, что при уменьшении сопротивления нагрузки активно-индуктивного характера, увеличивается вносимое сопротивление, имеющее активно-емкостный характер (поэтому ток увеличивается).
Если 
то при 
и одинаковом магнитном потоке в обеих обмотках коэффициент трансформации будет равен:
числа витков первичной и вторичной обмоток.
Пример 5.3 (рис. 5.17)
Найти 
построить векторную диаграмму.
Решение
Построение диаграммы (рис. 5.18) начинаем с осей комплексной плоскости и выбора масштабов 
Из начала координат строим вектор 
По закону Ома
Точка с является общей для обеих обмоток (в реальных трансформаторах она заземляется по соображениям техники безопасности). Поместим эту точку в начало координат 
и начертим из нее вектор 
к концу которого пристроим вектор 
Затем отложим векторы 
и 
так же пристраивая начало последующего к концу предыдущего.
Из диаграммы 
Это напряжение взаимной индукции во вторичной обмотке, поэтому
Вектор тока проводим из начала координат. Вычисляем составляющие падения напряжения в первичной обмотке
и строим их по порядку на комплексной плоскости. Теперь можно найти и входное напряжение:
На этом примере удобно продемонстрировать еще один метод расчета простейших цепей синусоидального тока c одним источником – метод пропорционального пересчета.
Предположим, что задано напряжение на входе первичной обмотки трансформатора 
и требуется определить токи. Тогда, выполнив предыдущий расчет, сравним расчетное значение напряжения 
c заданным и найдем комплексный коэффициент пересчета
На этот коэффициент нужно умножить расчетные значения токов, чтобы получить искомые. Таким образом, окажется
Что же касается векторной диаграммы, то ее можно оставить без изменения, увеличив масштабы в 
раз и повернув оси по часовой стрелке на угол 
Эти оси показаны на рис. 5.18 пунктиром.
Отметим также, что при необходимости нетрудно «развязать» схему замещения трансформатора (рис. 5.17), используя прием, проиллюстрированный рис. 5.14. В результате эквивалентная комплексная схема замещения трансформатора без индуктивной связи будет иметь вид, показанный на рис. 5.19.
5.8. Идеальный трансформатор
Идеальный трансформатор представляет собой четырехполюсный элемент схемы (рис. 5.20), который при любых условиях сохраняет неизменным комплексный коэффициент трансформации:
Чтобы свойства реального трансформатора с ферромагнитным сердечником приближались к свойствам идеального, должны выполняться следующие условия:
При наличии нагрузки входное сопротивление трансформатора
а комплексная мощность
Если коэффициент трансформации вещественное число 
то
Основные порталы (построено редакторами)