Муниципальное общеобразовательное учреждение
основная общеобразовательная школа села Докторово
Лебедянского муниципального района Липецкой области
Исследовательская работа
по математике
Болдина Александра
ученика 7 класса
Тема: «Золотое сечение»
Руководитель:
2011 год
Оглавление
Введение ………………………………………………………………... Теоретическая часть …………………………………………………… Понятие о золотом сечении в математике …………………….. Развитие взглядов на золотую пропорцию ……………………. Золотое сечение в растительном мире…………………………. Золотое сечение в животном мире …………………………….. Золотое сечение в анатомии ……………………………………. Золотое сечение в искусстве …………………………………… Практическая часть ……………………………………………………. Библиография …………………………………………………………... Приложения …………………………………………………………….. | 3 4 4 5 7 8 9 10 12 14 15 |
Введение
В курсе математики 6 класса после изучения темы «Отношения и пропорции» мы познакомились с понятием о золотом сечении, но говорили об этом мало, а мне захотелось изучить и на практике увидеть применение этого понятия.
Тема исследования: золотое сечение в анатомии человека.
Цель работы: оценить применимость знаний о золотом сечении к антропометрическим данным современного школьника.
Объект: данные измерений тел школьников, учащихся МОУ ООШ с. Докторово Лебедянского муниципального района
Предмет исследования: изменение пропорций тел школьников в зависимости от возраста.
Задачами своей работы я считаю следующие:
- изучить историю развития математического понятия «золотое сечение»;
- обнаружить золотые пропорции в проявлениях растительного, животного мира, проверить их практическими измерениями;
- провести измерения тел учащихся нашей школы, составить соответствующие пропорции, сделать выводы об изменении пропорций человеческого тела с возрастом, о близости пропорций тела к «золотому» в зависимости от пола (мальчики или девочки).
Оборудование: ростомер, метр портновский.
Теоретическая часть
Понятие о золотом сечении в математике
Золотое сечение (золотая пропорция, деление в крайнем и среднем отношении, гармоническое деление) – это такое пропорциональное деление отрезка на неравные части, при котором весь отрезок так относится к большей части, как сама большая часть относится к меньшей; или другими словами, меньший отрезок так относится к большему, как больший ко всему отрезку [2]. a : b = b : c или с : b = b : а.
Геометрическое построение. Золотое сечение отрезка AB можно построить следующим образом: в точке B восстанавливают перпендикуляр к AB, откладывают на нём отрезок BC, равный половине AB, на отрезке AC откладывают отрезок AD, равный AC − CB, и наконец, на отрезке AB откладывают отрезок AE, равный AD. Тогда 
[4].
Отрезки золотой пропорции выражаются бесконечной иррациональной дробью AE = 0,618..., если АВ принять за единицу, ВЕ = 0,382... Для практических целей часто используют приближенные значения 0,62 и 0,38. Если отрезок АВ принять за 100 частей, то большая часть отрезка равна 62, а меньшая – 38 частям [1].
Развитие взглядов на золотую пропорцию
В дошедшей до нас античной литературе золотое деление впервые упоминается в «Началах» Евклида. Во 2-й книге «Начал» дается геометрическое построение золотого деления. После Евклида исследованием золотого деления занимались Гипсикл (II в. до н. э.), Папп (III в. н. э.) и др. В средневековой Европе с золотым делением познакомились по арабским переводам «Начал» Евклида. Переводчик Дж. Кампано из Наварры (III в.) сделал к переводу комментарии. Секреты золотого деления ревностно оберегались, хранились в строгой тайне. Они были известны только посвященным [3].
В эпоху Возрождения усиливается интерес к золотому делению среди ученых и художников в связи с его применением как в геометрии, так и в искусстве, особенно в архитектуре Леонардо да Винчи. Он задумал и начал писать книгу по геометрии, но в это время появилась книга монаха Луки Пачоли, и Леонардо оставил свою затею. По мнению современников и историков науки, Лука Пачоли был настоящим светилом, величайшим математиком Италии в период между Фибоначчи и Галилеем[5].
Лука Пачоли прекрасно понимал значение науки для искусства. В 1496 г. по приглашению герцога Моро он приезжает в Милан, где читает лекции по математике. В Милане при дворе Моро в то время работал и Леонардо да Винчи. В 1509 г. в Венеции была издана книга Луки Пачоли «Божественная пропорция» с блестяще выполненными иллюстрациями, ввиду чего полагают, что их сделал Леонардо да Винчи. Книга была восторженным гимном золотой пропорции. Среди многих достоинств золотой пропорции монах Лука Пачоли называл и ее «божественную суть» как выражение божественного триединства бог сын, бог отец и бог дух святой (подразумевалось, что малый отрезок есть олицетворение бога сына, больший отрезок – бога отца, а весь отрезок – бога духа святого).
Леонардо да Винчи также много внимания уделял изучению золотого деления. Он производил сечения стереометрического тела, образованного правильными пятиугольниками, и каждый раз получал прямоугольники с отношениями сторон в золотом делении. Поэтому он дал этому делению название золотое сечение. Так оно и держится до сих пор как самое популярное.
В то же время на севере Европы, в Германии, над теми же проблемами трудился Альбрехт Дюрер. Он делает наброски введения к первому варианту трактата о пропорциях.
Судя по одному из писем Дюрера, он встречался с Лукой Пачоли во время пребывания в Италии. Альбрехт Дюрер подробно разрабатывает теорию пропорций человеческого тела. Важное место в своей системе соотношений Дюрер отводил золотому сечению.
Великий астроном XVI в. Иоган Кеплер назвал золотое сечение одним из сокровищ геометрии. Он первый обращает внимание на значение золотой пропорции для ботаники (рост растений и их строение).
В 1855 г. немецкий исследователь золотого сечения профессор Цейзинг опубликовал свой труд «Эстетические исследования», в которой описал результаты множества измерений в живой природе: растения, животные, пропорции человеческого тела, - везде ученый искал «золотые пропорции».
Золотое сечение в растительном мире
В нашей местности широко распространено непримечательное растение – цикорий. Но и к нему можно подойти с точки зрения математики и заметить интересные свойства. От основного стебля образовался отросток. Тут же расположился первый листок.
Отросток делает сильный выброс в пространство, останавливается, выпускает листок, но уже короче первого, снова делает выброс в пространство, но уже меньшей силы, выпускает листок еще меньшего размера и снова выброс [6].
Если первый выброс принять за 100 единиц, то второй равен 62 единицам, третий – 38, четвертый – 24 и т. д. Длина лепестков цикория тоже подчинена золотой пропорции.
Золотое сечение в животном мире
В некоторых проявлениях животного мира также можно найти образцы золотого сечения, например, размеры птичьего яйца:
У многих бабочек соотношение размеров грудной и брюшной части тела отвечает золотой пропорции. Сложив крылья, ночная бабочка образует правильный равносторонний треугольник. Но стоит развести крылья, и вы увидите тот же принцип членения тела на 2, 3, 5, 8.
Стрекоза также создана по законам золотой пропорции: отношение длин хвоста и корпуса равно отношению общей длины к длине хвоста.
Золотые пропорции в анатомии
Рост человека делится в золотых пропорциях линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижняя часть лица – ртом и т. д.
Деление тела точкой пупа – показатель золотого сечения. Пропорции мужского тела колеблются в пределах среднего отношения 13 : 8 = 1,625 и несколько ближе подходят к золотому сечению, чем пропорции женского тела, в отношении которого среднее значение пропорции выражается в соотношении 8 : 5 = 1,6. У новорожденного пропорция составляет отношение 1 : 1, к 13 годам она равна 1,6, а к 21 году равняется мужской. Пропорции золотого сечения проявляются и в отношении других частей тела – длина плеча, предплечья и кисти, кисти и пальцев и т. д.
Золотое сечение в искусстве
Мастера Древней Греции, умевшие сознательно пользоваться золотой пропорцией, умело применяли ее гармонические величины во всех видах искусства и достигли совершенства строения форм. Вся античная культура прошла под знаком золотой пропорции.
Одним из красивейших произведений древнегреческой архитектуры является Парфенон (V в. до н. э.), в архитектуре которого просматриваются законы золотого сечения.
Золотое соотношение мы можем увидеть и в здании собора Парижской Богоматери (Нотр-дам де Пари):
Золотая пропорция применялась многими античными скульпторами. Известна золотая пропорция статуи Аполлона Бельведерского: рост изображенного человека делится пупочной линией в золотом сечении.
Еще в эпоху Возрождения художники открыли, что любая картина имеет определенные точки, невольно приковывающие наше внимание, так называемые зрительные центры. При этом абсолютно неважно, какой формат имеет картина - горизонтальный или вертикальный. Таких точек всего четыре, они делят величину изображения по горизонтали и вертикали в золотом сечении, т. е. расположены они на расстоянии примерно 3/8 и 5/8 от соответствующих краев плоскости.
В шедеврах великого Леонардо также можно найти золотое сечение.
Практическая часть
Измерения
Мы провели измерения антропометрических данных всех 44 учащихся нашей школы, моей сестры 16 лет и мамы 38 лет и вычислили следующие отношения:
- деление тела точкой пупка;
- пропорциональность длины рук (отношение расстояния от макушки до кончиков пальцев рук к расстоянию от кончиков пальцев до пола);
- деление длины верхней конечности локтевым сгибом;
- деление высоты головы линией бровей;
- деление нижней части лица (от кончика носа до подбородка) линией губ.
Полученные результаты представлены в таблице 1 в приложении:
Расчет пропорций
Затем мы рассчитали пропорции следующим образом:
1) Деление тела точкой пупка:
из роста вычесть расстояние от макушки до пупка, найти отношение:
расстояние от пола до пупка |
расстояние от макушки до пупка |
Для меня это следующие цифры: 
= 
= 1,766.
2) Пропорциональность длины рук:
расстояние макушки до кончиков пальцев рук |
расстояние от пола до кончиков пальцев рук |
Моя пропорция: 
= 
= 1,723
3) Деление длины верхней конечности локтевым сгибом:
расстояние от плечевого сгиба до кончиков пальцев |
расстояние от ключицы до плечевого сгиба |
Моя пропорция: 
= 
= 1,563
4) Деление высоты головы линией бровей:
расстояние от бровей до подбородка |
расстояние от макушки до бровей |
Моя пропорция: 
= 
= 1,556
5) Деление нижней части лица линией губ:
расстояние от линии губ до подбородка |
расстояние от кончика носа до линии губ |
Моя пропорция: 
= 
= 1,667
Для остальных участников эксперимента расчеты представлены в таблице 2 в приложении.
Мы составили отдельные таблицы с данными мальчиков и девочек, анализ этих данных позволяет сделать выводы:
· чем старше ребенок, тем ближе пропорции его тела к золотому сечению;
· у мальчиков и девочек, не достигших подросткового возраста пропорции приблизительно одинаковые; в дальнейшем пропорции девочек ближе к золотому сечению, возможно, это объясняется тем, что девочки физически развиваются раньше мальчиков.
Библиография
1. Атанасян [Текст]: учебник для 7-9 классов общеобразовательных учреждений. М.: Просвещение, 19с.
2. Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия [Электронный ресурс]. 3 CD
3. Википедия электронная энциклопедия [Электронный ресурс]. Режим доступа: ru. wikipedia. org, свободный.
4. , , Шварцбурд . [Текст]: учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2003. – 304 с.
5. Сайт компании SPOservice [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://www. *****/reklama/articles&ex=27, свободный.
6. Яндекс народ. ру [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://goldsech. *****/, свободный.
Приложения
Таблица 1.
Данные измерений
Фамилия, имя исследуемого | Возраст, лет | Рост (см) | От макушки до пупка | От макушки до кончиков пальцев рук | От ключицы до локтевого сгиба | От ключицы до кончиков пальцев рук | От макушки до подбородка | От макушки до линии бровей | От кончика носа до подбородка | От края губ до подбородка |
Ученица 1 | 8 | 134 | 53 | 84 | 25 | 58 | 19 | 13 | 7 | 3 |
Ученица 2 | 7 | 131 | 56 | 80 | 22 | 53 | 22 | 13 | 7 | 4 |
… | 7 | 127 | 54 | 79 | 24 | 53 | 22 | 11 | 8 | 4 |
8 | 142,5 | 59 | 91 | 29 | 67 | 26 | 13 | 5,5 | 3 | |
8 | 124 | 53 | 78 | 23 | 55 | 21 | 10 | 5,5 | 3,5 | |
8 | 130,5 | 55 | 87 | 25 | 62 | 22 | 11 | 5,5 | 3,5 | |
8 | 127 | 52 | 83 | 26 | 61 | 20 | 9,5 | 5,5 | 3 | |
8 | 124 | 51 | 80 | 22 | 57 | 22,5 | 11,5 | 5 | 3 | |
9 | 134 | 54 | 79 | 27 | 59 | 23 | 12 | 8 | 4 | |
9 | 124 | 52 | 80 | 22 | 57 | 23 | 11,5 | 6,5 | 3 | |
9 | 131 | 55 | 79 | 26 | 60 | 23 | 11 | 9 | 4 | |
9 | 144 | 57 | 91 | 27 | 66 | 22 | 10 | 6 | 3,5 | |
9 | 135 | 54 | 88 | 26 | 64 | 23 | 11 | 6 | 3,5 | |
10 | 147 | 58 | 95 | 28 | 71 | 25,5 | 11,5 | 6 | 4 | |
10 | 135 | 53,5 | 88 | 25 | 64 | 24 | 11,5 | 6 | 4 | |
10 | 130 | 50 | 85 | 25 | 63 | 22,5 | 10,5 | 6 | 4 | |
10 | 133 | 54 | 85 | 27 | 61 | 22,5 | 11 | 6 | 3,5 | |
10 | 130 | 54 | 86 | 24 | 61 | 23 | 11,5 | 5,5 | 4 | |
10 | 130 | 53 | 83 | 23 | 60 | 20,5 | 10,5 | 5,5 | 3,5 | |
10 | 133 | 51 | 84 | 25 | 61 | 22 | 10,5 | 5 | 4 | |
11 | 157,5 | 59 | 100 | 31 | 76 | 25 | 12 | 6 | 4 | |
11 | 142,5 | 54 | 90 | 26 | 66 | 22 | 10,5 | 5 | 3 | |
11 | 143 | 57 | 91 | 29 | 68 | 23,5 | 12 | 6 | 4,5 | |
12 | 152 | 60 | 99 | 27 | 71 | 23,5 | 11 | 6,5 | 4 | |
12 | 147 | 59 | 92 | 26 | 68 | 24 | 10 | 6 | 4 | |
12 | 163 | 64 | 89 | 31 | 75 | 24 | 12 | 7 | 4,5 | |
12 | 147 | 85 | 92 | 27 | 68 | 24 | 11 | 5,5 | 4 | |
12 | 160 | 61 | 101 | 29 | 74 | 25 | 11,5 | 6 | 3,5 | |
12 | 163 | 64 | 104 | 30 | 74 | 25,5 | 12 | 6,5 | 4 | |
12 | 145 | 55 | 94 | 26 | 68 | 23 | 11,5 | 5,5 | 4 | |
12 | 177 | 64 | 112 | 32 | 82 | 23 | 9 | 8 | 5 | |
13 | 139 | 55 | 92 | 26 | 66 | 21 | 10 | 5 | 3 | |
13 | 169 | 66 | 103 | 29 | 75 | 23,5 | 12 | 6 | 4 | |
13 | 149 | 62 | 94 | 26 | 68 | 24 | 11 | 6,5 | 4 | |
13 | 167 | 65 | 103 | 27 | 75 | 23 | 11 | 6 | 4 | |
13 | 163 | 65 | 103 | 30 | 74 | 23 | 11 | 7 | 4,5 | |
14 | 162 | 64 | 103 | 33 | 77 | 23 | 9 | 5 | 3,5 | |
14 | 145 | 51 | 94 | 28 | 69 | 20 | 9 | 5,5 | 3,5 | |
14 | 164 | 62 | 99 | 29 | 73 | 23 | 12 | 6 | 4 | |
14 | 148 | 64 | 94 | 34 | 74 | 21,5 | 10 | 6,5 | 2,5 | |
15 | 171 | 65 | 109 | 32 | 81 | 24 | 12 | 6,5 | 4,5 | |
15 | 172 | 64 | 105 | 32 | 78 | 24 | 12 | 6 | 4 | |
15 | 160 | 63 | 104 | 30 | 77 | 23 | 11 | 5,5 | 4 | |
16 | 167 | 65 | 110 | 31 | 83 | 22 | 10 | 5,5 | 4 | |
Мама | 16 | 178 | 67,5 | 109 | 33 | 81 | 20 | 14 | 5.5 | 3.5 |
Сестра | 38 | 178 | 70 | 108 | 35 | 81 | 22,5 | 10 | 7 | 4 |
Таблица 2.
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 |
Основные порталы (построено редакторами)