УДК 621.961
, ,
моделирование числа абразивных зерен, участвующих в процессе
формирования поверхности детали при резании сверхзвуковой
гидроабразивной струей
Разработана математическая модель числа абразивных зерен, участвующих в процессе формирования поверхности детали при резании сверхзвуковой гидроабразивной струей, что позволяет в зависимости от давления истечения струи, скорости подачи сопла, размеров абразивного зерна и физико-механических свойств материала определить необходимую концентрацию абразива.
Ключевые слова: гидроабразивная струя; резание; абразив; моделирование; разрушение.
Влияние технологических факторов гидроабразивного резания на финишное состояние поверхности детали можно объяснить изменением числа абразивных зерен, участвующих в процессе резания. Количество единичных актов контактного взаимодействия абразива с поверхностью детали обусловлено расходом абразива в единицу времени через сопло, скоростью истечения струи, диаметром сопла и скоростью его подачи относительно обрабатываемого материала. Так, чем больше давление истечения струи и меньше подача сопла, тем большее число зерен участвует в работе, что в конечном счете приводит к уменьшению шероховатости.
Трехкомпонентную гидроабразивную струю (воздух, жидкость, абразив) будем рассматривать упрощенно - в виде однокомпонентного потока невзаимодействующих абразивных частиц.
Количество актов контактного взаимодействия абразивного зерна с материалом является последовательностью независимых испытаний. Примем, что наступлением элементарного события А является контакт абразивного зерна с материалом. Очевидно, что в последовательных испытаниях интересующее нас событие А может как наступить, так и не наступить.
Отнесем наступление события А к единице, а ненаступление - к нулю. Тогда элементарным событием для n абразивных зерен будет последовательность из n нулей и единиц.
Множество всех элементарных событий при этом состоит из 2n элементов.
Введем вероятностную меру на множестве элементарных событий. Вероятность наступления события А при падении k-го абразивного зерна равна p, а ненаступления - 
. Согласно схеме Бернулли, при падении абразивных зерен с разными номерами наступление и ненаступление события А независимы.
Согласно теореме умножения вероятностей, вероятность того, что событие А наступит при прохождении m определенных абразивных зерен (например, при прохождении зерен с номерами 
), а при остальных 
не наступит (рис. 1), равна
. (1)
Эта вероятность не зависит от очередности взаимодействия абразивных частиц с номерами 
.
Определим вероятность того, что из общего числа абразивных зерен в струе n в формировании состояния поверхностного слоя детали участвует m зерен (
).
По теореме сложения искомая вероятность равна сумме вычисленных по зависимости (1) вероятностей для всех возможных m контактов абразива с поверхностью материала и непоявлений этого события среди общего количества абразива в струе n.
Число таких контактов можно определить из теории сочетаний:
. (2)
С учетом зависимости (1) искомая вероятность равна
. (3)
Вероятность участия в формировании состояния поверхности k-го абразивного зерна р определим как геометрическую вероятность попадания абразива на выделенную на поверхности реза площадку (
).
Для определения искомой вероятности предположим следующее.
Распределение вероятностей расположения абразивного зерна на уровне h, где h – непрерывная случайная величина (
, Н – толщина обрабатываемого материала), подчиняется экспоненциальному закону
,
где 
- постоянная положительная величина.
Выделим на боковой поверхности реза на уровне h квадратную поверхность со сторонами 2d, заключенную между двумя сечениями на уровнях h1 и h2 (рис. 1).
,
,
где d – диаметр зерна.
Вероятность попадания абразивного зерна на периферию струи между сечениями h1 и h2:
.
Отсюда получим уравнение для определения параметра l:
.
Из этого уравнения получим
, (4)
откуда будем иметь условие ограничения для величины вероятности P2d:
.
Для вычисления параметра l по формуле (4) следует определить вероятность P2d, исходя из того, что абразивные зерна, расположенные в периферии гидроабразивной струи, имеют неправильную форму. Вследствие этого в качестве d следует иметь в виду его среднее значение 
для группы периферийных абразивных зерен в течение промежутка времени Dt (при Dt ® 0).
Тогда на уровне 
выражение (4) будет иметь вид
, (5)
где P2 - вероятность попадания абразивного зерна, усредненного по форме, на периферию струи между сечениями h1 и h2.
Выражение (5) учитывает размеры абразивной частицы, а именно вероятность ее попадания на поверхность шириной 2d, хотя в большинстве вероятных моделей абразивная частица трактуется как материальная точка.
Рассмотрим пример.
Геометрическая вероятность попадания абразивного зерна на выделенную площадку контакта струи с материалом
(6)
где dс – диаметр струи в воздухе; r – расстояние от центра струи до поверхности реза.
В нашем примере при Н = 100 мм, h1 = 49 мм, h2 = 51 мм, dс = 1 мм, r = 0,5 мм в соответствии с формулой (6) геометрическая вероятность попадания абразивного зерна на выделенную площадку контакта струи с материалом равна 0,009097.
Тогда в соответствии с формулой (3) вероятность того, что из общего числа абразивных частиц n = 8000 шт. в процессе формирования состояния поверхности на выделенной площадке участвует не более m = 100 зерен, равна
. (7)
Зависимостью (2) удобно пользоваться при небольшой концентрации абразива в струе или малом времени взаимодействия струи с материалом. При больших значениях n и малых m вычисление числа абразивных зерен, формирующих параметры состояния поверхностного слоя при гидроабразивном резании, по формуле (7) превращается в технически сложную задачу.
Поэтому применим локальную предельную теорему Муавра-Лапласа. Если при общем количестве абразива n вероятность попадания абразивной частицы на поверхность контакта периферии струи с материалом постоянна и равна р, то вероятность 
того, что в формировании поверхностного слоя детали при гидроабразивном резании участвует m абразивных зерен, удовлетворяет следующему соотношению:
. (8)
Для всех m, для которых
, (9)
находится в каком-либо конечном интервале.
Тогда для нашего примера необходимо вначале вычислить значение по формуле (9), затем определить табличное значение 
и вероятность участия абразивного зерна в формировании состояния поверхности при гидроабразивном резании.
Установлено, что количество абразивных частиц, воздействующих на микрообъемы материала, уменьшается в радиальном к подаче направлении и определяется не столько концентрацией абразива в струе, сколько скоростью подачи струи, что не учитывается известными зависимостями [1].
Объем стружки, снимаемой единичным абразивным зерном (рис. 2), определим по следующей формуле:
,
где h - проекция осевой составляющей скорости, 
; L - длина царапины от выступов микрорельефа зерна; 
, 
- глубина врезания зерна в поверхность [2].
Объем разрушенного материала в единицу времени можно выразить как
,
где S – скорость подачи сопла; b - ширина реза; t – время воздействия на участок материала.
Отсюда число абразивных зерен, обеспечивающих резание материала, равно
.
За время резания t в направлении подачи сопла S число абразивных частиц, воздействующих на материал в периферийной области реза, будет меньше, чем действующих за то же время в центре зоны реза, т. е. количество воздействий уменьшается в радиальном к подаче направлении.
Рассмотрим пример расчета числа абразивных зерен, формирующих параметры состояния поверхностного слоя детали при гидроабразивном резании на выделенной площадке, расположенной на глубине h.
Если толщина обрабатываемого материала H = 100 мм, то при r = 1000 кг/м3, d = 0,1 мм, v = 600 м/c, с = 1500 м/с, 
= 400 МПа, S = 1м/мин, t = 0,2 мин число абразивных зерен на глубине h, воздействующих на выделенную площадку поверхности детали, вычислим по формуле (8). Вероятность 
попадания абразивных частиц на поверхность контакта периферии струи с материалом представлена на рис. 3.
| |
| |
Рис. 3. Вероятность попадания абразивных зерен на поверхность реза: а - число зерен на выделенной площадке; б – общее число периферийных зерен (mпл = 75 шт., размер площадки - 2´2 мм)
Анализ полученных зависимостей показал, что число абразивных зерен, проходящих через центр реза, примерно в 10 раз больше, чем через периферию. Установлено, что для обеспечения стабильности ширины реза, точности формы и расположения поверхности реза при повышении скорости реза, например с 0,5 до 1 м/мин, необходимо увеличить число абразивных зерен в струе или скорость ее истечения в 2 раза. При критических технологических режимах это условие выполнить невозможно, поэтому наблюдается уменьшение ширины реза.
Полученные зависимости для определения числа абразивных зерен, участвующих в процессе формирования поверхности детали при резании сверхзвуковой гидроабразивной струей, позволяют решить технологические задачи по поиску наиболее выгодных режимов резания на уровне проектирования операции, что особенно важно при освоении новых материалов и деталей.
Используя полученные данные, технолог может оценить влияние нескольких параметров процесса (обрабатываемый материал, давление истечения струи, диаметр отверстия сопла, подача сопла относительно материала, толщина материала, свойства абразива и др.) на производительность обработки. Полученные данные можно использовать не только для случая резания по прямой линии, но и для обработки криволинейного контура детали, где режимы резания постоянно корректируются, что практически невозможно обеспечить, пользуясь только таблицами для выбора режимов резания.
СПИСОК Литературы
1. Барсуков, качеством и дискретное регулирование технологической системы гидрорезания / // Справочник. Инженерный журнал№ 7. - С.
2. Барсуков, производительности гидроабразивного резания с учетом характеристик абразивного зерна / , // Справочник. Инженерный журнал№ 1. - С. 9 – 14.
Материал поступил в редколлегию 8.10.08.
Основные порталы (построено редакторами)