Система упражнений, направленная на формирование умений решать задачи на вычисление производной

Выполнила

учитель математики МБОУ

«Луковецкая средняя

общеобразовательная школа»

Содержание

Пояснительная записка….……………………………………………………..3

1.  Теоретическая база……………………………………………………...4

2.  Система упражнений……………………………………………………7

Список литературы……………………………………………………………17

Пояснительная записка

В докладе одного из крупнейших математиков современности «Жесткие и мягкие математические модели» (сент. 1997 г.) содержатся важные мысли о проблемах математического образования. По его мнению, основной целью математического образования должно быть воспитание умения математически исследовать явления реального мира. Значит, нужно научить школьников составлять математические модели реальных ситуаций, а для этого они должны владеть математическим языком, описывающим указанные модели.

Для математического исследования явлений реального мира особо значимыми оказываются понятия предела и производной, так как это – основные понятия того языка, на котором говорит природа, определенный золотой фонд общечеловеческой культуры.

Поэтому целью данной системы упражнений является формирование умений учащихся решать задачи на вычисление производной.

Данная система упражнений состоит из двух блоков заданий. Первый блок упражнений направлен на первичное формирование умений вычислят производную. Он представляет собой изолированное использование правил дифференцирования, поэтому разделён ещё на четыре группы: производная суммы (разности) двух и более функций, производная произведения двух функций, производная частного двух функций и производная сложной функции. В данный блок упражнений включены не только задачи на непосредственное нахождение производной, но и задачи обратного характера: восстановление функции по её производной. Это позволяет формировать не просто автоматическое, а осознанное и продуманное использование правил.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Второй блок системы упражнений направлен уже на комплексное использование правил дифференцирования. Все задания системы упражнений расположены по порядку возрастания трудности решения.

Данная система упражнений предполагает использование на уроках введения нового понятия. Использование первого блока зависит от порядка введения правил дифференцирования, он может выдаваться сразу или по группам.

1.Теоретическая база

Пусть функция y = f(x) определена в промежутке X. Производной функции y = f(x) в точке хo называется предел

 = .

Если этот предел конечный, то функция f(x) называется дифференцируемой в точке xo; при этом она оказывается обязательно и непрерывной в этой точке.

Если же рассматриваемый предел равен ¥ (или - ¥), то при условии, что функция в точке хo непрерывна, будем говорить, что функция f(x) имеет в точке хo бесконечную производную.

Производная обозначается символами

,,  .

Нахождение производной называется дифференцированием функции. Геометрический смысл производной состоит в том, что производная есть угловой коэффициент касательной к кривой y=f(x) в данной точке хo; физический смысл - в том, что производная от пути по времени есть мгновенная скорость движущейся точки при прямолинейном движении s = s(t) в момент to.

Если с - постоянное число, и f = f(x), g = g(x) - некоторые дифференцируемые функции, то справедливы следующие правила дифференцирования:

\left({cf}\right)' = cf'

\left({f + g}\right)' = f' + g'

\left({f - g}\right)' = f' - g'

\left({fg}\right)' = f'g + fg'(известно как «правило Лейбница»)

\left({f \over g}\right)' = {f'g - fg' \over g^2}, \qquad g \ne 0

(f^g)' = \left(e^{g\ln f}\right)' = f^g\left(f'{g \over f} + g'\ln f\right),\qquad f > 0

(f \circ g)' = (f' \circ g)g'— правило дифференцирования сложной функции

f' = (\ln f)'f, \qquad f > 0

На основе определения производной и правил дифференцирования можно составить список табличных производных некоторых функций.

{d \over dx} c = 0

{d \over dx} x = 1

{d \over dx} cx = c

{d \over dx} |x| = {x \over |x|} = \sgn x,\qquad x \ne 0

{d \over dx} x^c = cx^{c-1}, когда x^c\,\!и cx^{c-1}\,\!определены

{d \over dx} \left({1 \over x}\right) = {d \over dx} \left(x^{-1}\right) = -x^{-2} = -{1 \over x^2}

{d \over dx} \left({1 \over x^c}\right) = {d \over dx} \left(x^{-c}\right) = -{c \over x^{c+1}}

{d \over dx} \sqrt{x} = {d \over dx} x^{1\over 2} = {1 \over 2} x^{-{1\over 2}} = {1 \over 2 \sqrt{x}}, \qquad x > 0

{d \over dx} \sqrt [n] {x} = {d \over dx} x^{1\over n} = {1 \over n} x^{-{n-1\over n}} = \frac {1} {n \cdot \sqrt [n] {x^{n-1}}}

{d \over dx} c^x = {c^x \ln c},\qquad c > 0

{d \over dx} e^x = e^x

{d \over dx} e^{f(x)} = f'(x)e^{f(x)}

{d \over dx} \log_c |x| = {1 \over x \ln c},\qquad c > 0, c \ne 1

{d \over dx} \ln x = {1 \over x}

{d \over dx} \sin x = \cos x

{d \over dx} \cos x = -\sin x

{d \over dx}\,\operatorname{tg}\,x = \sec^2 x = { 1 \over \cos^2 x}

{d \over dx}\,\operatorname{ctg}\,x = -\,\operatorname{cosec}^2\,x = { -1 \over \sin^2 x}

{d \over dx} \arcsin x = { 1 \over \sqrt{1 - x^2}}

{d \over dx} \arccos x = {-1 \over \sqrt{1 - x^2}}

{d \over dx} \,\operatorname{arctg}\,x = { 1 \over 1 + x^2}

2. Система упражнений

Первый блок задач:

1.  Найти производную функций.

* 

* 

* 

* 

* 

Подобрать функцию так, чтобы её производная была равна…

* 

* 

* 

* 

* 

2.  Найти производную функции

* 

* 

* 

* 

* 

* 

Подобрать функцию так, чтобы её производная была равна…

* 

* 

* 

3.  Найти производную функции

* 

* 

* 

* 

* 

* 

Подобрать функцию так, чтобы её производная была равна…

* 

* 

* 

4.  Найти производную функции

* 

* 

* 

* 

* 

* 

Найти производные функций:

1)

2)

3)

Второй блок задач:

1. Найти производные функций.

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

Ответы к системе упражнений.

Первый блок:

1.  Производная суммы (разности) двух функций

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

2.  Производная произведения двух функций.

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

3.  Производная частного двух функций.

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

4.  Производная сложной функции.

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

Второй блок:

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

* 

Список литературы

1.  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ , , -М.: Просвещение, 1994.

2.  Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк./ , -М.: Просвещение, 1993.

3.  Башмаков и начала математического анализа. 10-11 классы.-М.:Просвещение,1991.

4.  Виноградова преподавания математики в средней школе.-Ростов н/Д.: Феникс,2005.

5.  Лукин упражнения по алгебре и началам анализа.:Кн. для учителя.-М.:Просвещение,1989.

6.  Методика преподавания математики в средней школе:Частная методика/, , -М.:Просвещение,1987.

7.  Мордкович и начала математического анализа. 10 класс. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).-М.:Мнемозина,2008.

8.  Мордкович и начала математического анализа. 10 класс. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень).-М.:Мнемозина,2008.

9.  Мордкович и начала математического анализа. 10-11 классы. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень).-М.:Мнемозина,2008.

10.  Мордкович и начала математического анализа. 10-11 классы. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень).-М.:Мнемозина,2008.

Основные порталы (построено редакторами)

Домашний очаг

Дом • Дача • Садоводство • Дети • Активность ребенка • Игры • Красота • Женщины • (Беременность) • Семья • Хобби
Здоровье: • Анатомия • Болезни • Вредные привычки • Диагностика • Народная медицина • Первая помощь • Питание • Фармацевтика
История: СССР • История России • Российская Империя
Окружающий мир: Животный мир • Домашние животные • Насекомые • Растения • Природа • Катаклизмы • Космос • Климат • Стихийные бедствия

Справочная информация

Документы • Законы • Извещения • Утверждения документов • Договора • Запросы предложений • Технические задания • Планы развития • Документоведение • Аналитика • Мероприятия • Конкурсы • Итоги • Администрации городов • Приказы • Контракты • Выполнение работ • Протоколы рассмотрения заявок • Аукционы • Проекты • Протоколы • Бюджетные организации
Муниципалитеты • Районы • Образования • Программы
Отчеты: • по упоминаниям • Документная база • Ценные бумаги
Положения: • Финансовые документы
Постановления: • Рубрикатор по темам • Финансы • города Российской Федерации • регионы • по точным датам
Регламенты
Термины: • Научная терминология • Финансовая • Экономическая
Время: • Даты • 2015 год • 2016 год
Документы в финансовой сфере • в инвестиционной • Финансовые документы - программы

Техника

Авиация • Авто • Вычислительная техника • Оборудование • (Электрооборудование) • Радио • Технологии • (Аудио-видео) • (Компьютеры)

Общество

Безопасность • Гражданские права и свободы • Искусство • (Музыка) • Культура • (Этика) • Мировые имена • Политика • (Геополитика) • (Идеологические конфликты) • Власть • Заговоры и перевороты • Гражданская позиция • Миграция • Религии и верования • (Конфессии) • Христианство • Мифология • Развлечения • Масс Медиа • Спорт (Боевые искусства) • Транспорт • Туризм
Войны и конфликты: Армия • Военная техника • Звания и награды

Образование и наука

Наука: Контрольные работы • Научно-технический прогресс • Педагогика • Рабочие программы • Факультеты • Методические рекомендации • Школа • Профессиональное образование • Мотивация учащихся
Предметы: Биология • География • Геология • История • Литература • Литературные жанры • Литературные герои • Математика • Медицина • Музыка • Право • Жилищное право • Земельное право • Уголовное право • Кодексы • Психология (Логика) • Русский язык • Социология • Физика • Филология • Философия • Химия • Юриспруденция

Мир

Регионы: Азия • Америка • Африка • Европа • Прибалтика • Европейская политика • Океания • Города мира
Россия: • Москва • Кавказ
• Регионы России • Программы регионов • Экономика

Бизнес и финансы

Бизнес: • Банки • Богатство и благосостояние • Коррупция • (Преступность) • Маркетинг • Менеджмент • Инвестиции • Ценные бумаги: • Управление • Открытые акционерные общества • Проекты • Документы • Ценные бумаги - контроль • Ценные бумаги - оценки • Облигации • Долги • Валюта • Недвижимость • (Аренда) • Профессии • Работа • Торговля • Услуги • Финансы • Страхование • Бюджет • Финансовые услуги • Кредиты • Компании • Государственные предприятия • Экономика • Макроэкономика • Микроэкономика • Налоги • Аудит
Промышленность: • Металлургия • Нефть • Сельское хозяйство • Энергетика
Строительство • Архитектура • Интерьер • Полы и перекрытия • Процесс строительства • Строительные материалы • Теплоизоляция • Экстерьер • Организация и управление производством