ст. преподаватель
Календарный план
по теории вероятностей и математической статистике
2 курс — 4 факультет 2007/2008 учебный год
(группы: 04-212, 04-213, 04-219, 04-220)
(группы: 04-201, 04-202, 04-203, 04-204)
Лекции
Опыт. Классическая схема теории вероятностей. Элементарное событие. Пространство элементарных событий. Совместные и несовместные события. Условная вероятность и формула сложения в классической схеме теории вероятностей.
Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей. Геометрические вероятности. Задача Бюффона и задача о встрече.
Алгебра событий и σ - алгебра событий. Аксиомы теории вероятностей. Понятие вероятности. Математическая модель опыта. Случайное событие.
Полная группа попарно несовместных событий — гипотезы. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема Бернулли и полиномиальная схема.
Случайные величины. Функция распределения и ее свойства. Квантиль. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия, начальный и центральный моменты, среднее квадратическое отклонение. Дискретные случайные величины. Производящая функция неотрицательного целочисленного дискретного распределения.
Основные дискретные распределения: равновероятное, биномиальное, бернуллиевское, пуассоновское, геометрическое. Частота наступления события. Устойчивость частот. Неравенство Чебышева и Гаусса-Маркова. Теорема Бернулли. Простейшие предельные теоремы в схеме Бернулли: теорема Пуассона и теорема Муавра-Лапласа.
7. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности и характеристическая функция непрерывного распределения. Основные непрерывные распределения: равномерное, экспоненциальное, показательное, нормальное, распределение Коши. Функции случайных величин. Способы моделирования случайных величин на компьютере.
8. Случайные векторы. Двумерные случайные векторы. Двумерные дискретные случайные векторы. Ковариация двух случайных величин. Независимые случайные величины. Коэффициент корреляции случайных величин и его свойства. Неравенство Коши-Буняковского. Коэффициент корреляции линейно зависимых случайных величин. Математическое ожидание и дисперсия линейной комбинации случайных величин. Ковариационная и корреляционная матрицы случайного вектора и их свойства. Простейшая формула полного математического ожидания. Общий план исследования двумерного распределения вероятностей. Наилучшая в среднем квадратическом оценка случайной величины по наблюдениям над другой случайной величиной — условное математическое ожидание. Формула полного математического ожидания.
9. Двумерные непрерывные случайные векторы. Распределение суммы случайных величин. Распределение Лапласа. Попадание двумерной случайной величины в заданную на плоскости область.
10. Двумерное и трехмерное нормальное (гауссовское) распределение. Канонический вид двумерного и трехмерного нормального (гауссовского) распределения. Теорема о нормальной корреляции.
11. Виды вероятностной сходимости. Закон больших чисел. Сходимость усредненной суммы случайных величин. Центральная предельная теорема. Метод статистического моделирования — метод Монте-Карло.
12. Понятие априорной и апостериорной выборки. Основные задачи математической статистики. Гистограмма. Эмпирическая
(выборочная) функция распределения. Выборочное математическое ожидание и дисперсия. Основные распределения в математической статистике, Распределение хи-квадрат. Распределение Стьюдента. Распределение Фишера.
13. Точечное оценивание. Метод максимального правдоподобия и метод моментов. Свойства точечных оценок: несмещённость, состоятельность и эффективность.
14. Проверка статистических гипотез. Выбор критерия. Мощность критерия. Ошибки первого и второго рода. Интервальное оценивание. Доверительный интервал и доверительная вероятность. Уровень значимости. Оценка объема выборки в методе статистических испытаний.
15. Метод наименьших квадратов. Метод наименьших модулей. Построение линейной и квадратичной моделей. Выбор матрицы плана. Ортогональные полиномы Чебышева. Остаточная дисперсия. Доверительное оценивание коэффициентов в линейной модели.
Литература
1. , Наумов вероятностей. Базовый курс с примерами и задачами. —М.: Физматлит, 2002, 2005.
2. , Смерчинская СО. Теория вероятностей в задачах и упражнениях. —М.: Форум-Инфра-М, 2005, 2008.
3. , , Сиротин пособие по теории вероятностей. —М.: МАИ, 1993.
4. , Осокин события. —М.: МАИ, 2000.
5. , Осокин величины. —-М.: МАИ, 2001.
6. , , Смерчинская СО. Предельные теоремы. --М.: МАИ, 2001.
7. Пугачев B. C. Теория вероятностей и математическая статистика. -М.: Наука, 1979.
Практические занятия*
1. Комбинаторные задачи. Классическая схема теории вероятностей.
• (на занятии) [2]: 1.1, 1.3,1.5,1.10,1.17,1.20, 1.22,1.24, 1.29,1.33,1.35, 1.38,1.43;
• (домашнее задание) [2]: 1.9, 1.18, 1.19, 1.25, 1.27, 1.28, 1.30, 1.31, 1.32, 1.36, 1.37, 1.39, 1.40, 1.42.
2. Комбинаторные задачи. Классическая схема теории вероятностей.
• (на занятии) [2]: 1.53, 1.58, 1.70, 1.;
• (домашнее задание) [2]: 1.44, 1.49, 1.50, 1.51, 1.52,1.56,1.71, 1.72, 1.73, 1.74, 1.76, 1.81, 1.83, 1.92, 1.93, 1.94, 1.95, 1.96, 1.97, 1.98, 1.99.
3. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Тео
рема умножения вероятностей. Совместные и несовместные события. Теорема сложения вероятностей.
• (на занятии) |2|: 3.1, 3.5, 3.17, 3.18, 3.24, 3.30,3.32, 3.34,3.40,3.48, 3.49;
• (домашнее задание) [2]: 3.2, 3.3, 3.4, 3.6, 3.7, 3.11, 3.12, 3.15, 3.20, 3.21, 3.22, 3.23, 3.25, 3.31, 3.33, 3.41, 3.42, 3.43, 3.50, 3.51, 3.52.
4. Совместное применение теорем сложения и умножения вероятностей.
• (на занятии) [2]: 3.53, 3.57, 3.59, 3.65, 3.69, 3.78, 3.87;
• (домашнее задание) [2]: 3.58, 3.60, 3.64, 3.68, 3.70, 3.79, 3.80, 3.81, 3.83, 3.84, 3.86, 3.95, 3.96, 3.99, 3.106, 3.107, 3.108.
5. Формула полной вероятности и формула Байеса.
• (на занятии) [2]:
• (домашнее задание) [2]: 4.3, 4.5, 4.6, 4.9,4.11,4.14, 4.17,4.21, 4.27, 4.28, 4.31, 4.32, 4.33, 4.34, 4.38.
6. Схема Бернулли. Полиномиальная схема.
• (на занятии) [2]:
*Номера задач даны по книге: , Смерчинская СО. Теория вероятностей в задачах и упражнениях, —М.: Форум-Инфра-М, 2005 или 2008.
• (домашнее задание) [2]: 5.2, 5.4, 5.11, 5.15, 5.17, 5.21, 5.27, 5.32, 5.36,
5.38,5.39, 6.42, 5.43, 5.46, 5.48.
7. Контрольная работа № 1.
8. Дискретные случайные величины. Производящая функция.
• (на занятии) [2]:
• (домашнее задание) [2]: 6.2, 6.3, 6.4, 6.5, 6.11, 6.13, 6.14, 6.15, 6.18, 6.22, 6.24, 6.26, 6.30, 6.37, 6.38, 6.40, 6.48, 6.49, 6.53, 6.57, 6.60, 6.63, 6.91, 6.92, 6.107.
9. Предельные теоремы в схеме Бернулли.
• (на занятии) [2]:
• (домашнее задание) [2]: 7.2, 7.6, 7.7, 7.9, 7.11, 7.12, 7.13, 7.14, 7.15, 7.16, 7.23, 7.24, 7.29, 7.30, 7.32, 7.42, 7.44, 7.46, 7.47, 7.49.
10. Непрерывные случайные величины. Функции случайных вели
чин.
• (на занятии) [2]:
• (домашнее задание) [2]; 8.3, 8.4, 8.5, 8.11, 8.13, 8.15, 8.16, 8.17, 8.18, 8.19, 8.20, 8.22, 8.23, 8.25, 8.28, 8.33, 8.34, 8.35, 8.38, 8.39.
11. Нормальная (гауссовская) случайная величина.
• (на занятии) [2]:
• (домашнее задание) [2]: 8.47, 8.49, 8.52, 8.54, 8.56, 8.57, 8.58, 8.59, 8.60, 8.61, 8.64, 8.66, 8.70, 8.71, 8.78, 8.79, 8.80, 8.100, 8.101, 8.103.
12. Контрольная работа № 2.
13. Общий план исследования дискретной двумерной случайной величины. Ковариационная и корреляционная матрицы. Независимость и некоррелированность.
• (на занятии) [2]:
• (домашнее задание) [2]: 10.2, 10.3, 10.5, 10.7, 10.9, 10.17, 10.20, 10.26, 10.27, 10.29, 10.43, 10.44, 12.1, 12.2, 12.3.
14. Общий план исследования непрерывной двумерной случайной
величины.
• (на занятии) [2J:
• (домашнее задание) [2]: 11.3, 11.4, 11.7, 11.8, 11.11, 11.12, 11.14, 11.16, 11.19, 11.51, 11.52, 11.53, 11.63, 11.64, 11.65, 14.11, 14.13, 14.14, 14.16, 14.17,14.18, 14.20, 14.21, 14.23, 14.36.
15. Предельные теоремы. Виды вероятностной сходимости. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема. Неравенство Чебышева.
• (на занятии) [2|:
• (домашнее задание) [2]: 9.6, 9.9, 9.11, 9.32, 9.34, 9.45, 9.46, 9.47, 16.27, 16.29, 16.30, 16.41.
Лабораторные работы
1. Точечные оценки параметров. Метод моментов. Метод максимального правдоподобия. Несмещенность и состоятельность. Проверка статистических гипотез. Критерии: однородности, независимости, согласия. Ошибки первого и второго рода.
2. Доверительное оценивание параметров. Проверка параметрических гипотез.
3. Метод наименьших квадратов. Построение линейной и квадратичной моделей. Метод наименьших модулей.
Курсовая работа
Этап 1. Вероятность попадания в двумерную область плоскости.
Этап 2. Проверка статистической гипотезы (однородности или независимости или о законе распределения).
Этап 3. МНК и проверка параметрической гипотезы о значении коэффициентов регрессии.
Экзаменационный билет № 000
1. Вероятности попадания в мишень для трёх стрелков равны
и
соответственно. В результате одновременного выстрела
всех стрелков в мишени образовалось две пробоины. Что более вероятно попал третий стрелок в мишень или нет, и какова вероятность попадания третьего стрелка в мишень?
2. Вычислите вероятность попадания в промежуток (—3; 1) случайной величины
3. Из всех трёхзначных чисел (от 100 до 999) наугад выбрали одно число. Вычислите математическое ожидание числа различных цифр, встречающихся в записи этого числа.
4. Случайные величины
и
независимы и одинаково распределены по закону R(0; 1). Найдите вероятность того, что корни квадратного уравнения
вещественны.
5. Докажите, что к последовательности случайных величин
закон больших чисел не применим.
6. Схема независимых испытаний. Формула Бернулли. Биномиальное распределение. Пуассоновская аппроксимация биномиального распределения. Задача о распределении опечаток*.
*Книга в 500 страниц содержит 400 опечаток. Предположим, что каждая из них независимо от остальных опечаток может с одинаковыми вероятностями оказаться на любой странице книги, оцените вероятность того, что на 13-й странице будет не менее двух опечаток.
Экзаменационный билет № 000
1. Стрелок стреляет по мишени до тех пор, пока общее число
промахов не станет равным трём. Вероятность промаха при
одном выстреле составляет 0,2. Какова вероятность того, что:
а) стрелок израсходует семь патронов; б) стрелку хватит пяти
патронов?
2. Для случайной величины
расположите в порядке возрастания вероятности попадания в интервалы: (—2; 2), (-1; 3), (0; 4) и (-1,5; 2,5).
3. Сколько в среднем раз понадобится подбрасывать игральную кость до тех пор, пока хотя бы по одному разу не выпадет каждая из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
4.Случайный вектор
равномерно распределён в квадрате 
Найдите ковариационную матрицу этого вектора,
коэффициент корреляции его координат и условную плотность вероятности
при условии
б. Докажите, что к последовательности случайных величин применим закон больших чисел, если при
в. Двумерное распределение вероятностей. Общий план исследования двумерного распределения вероятностей. Формула полно
го математического ожидания. Задача о коэффициенте корреляции*.
* Вычислите коэффициент корреляции между числом выпадения единицы и числом выпадения шестерки при п >= 1 подбрасываниях игральной кости.
Экзаменационный билет № 003
1. Двое поочерёдно бросают монету. Выигрывает тот, у кого рань
ше выпадет герб. Определите вероятность выигрыша каждого
из игроков.
2. Вычислите вероятность попадания случайной величины
N(1; 4) в промежуток (3; +оо).
3. Вычислите математическое ожидание 
если
4. Сколько раз в среднем придётся бросать монету до выпадения
серии «гг» ?
5. Оцените вероятность того, что при
абсолютная по
грешность вычисления методом Монте-Карло интеграла
где
— независимые одинаково распределённые
по закону R(0; 1) случайные величины при п = 10000 не превосходит 0,01.
6. Нормальное (гауссовское) распределение. Функция Лапласа. Нормальная аппроксимация биномиального распределения. Теорема Муавра-Лапласа. Задача о выборах*.
*Каждый избиратель, независимо от остальных избирателей, отдаёт свой голос за кандидата А с вероятностью 0,7, и за кандидата В — с вероятностью 0,3. Оцените вероятность того, что в результате голосования на избирательном участке из 5000 избирателей кандидат А опередит кандидата В: а) на 1900 голосов; б) не менее, чем на 1900 голосов.
Экзаменационный билет № 004
|
1. Из букв слова ТЕОРЕМА наугад выбирают пять букв. Вычислите вероятность того, что из выбранных букв можно составить слово: а) ТЕРЕМ; б) МОРЕ; в) ТОР.
2. 
Для случайной величины
вычислите
3. Случайная величина
Вычислите
4. Совместное распределение случайных величин
и
задано таблицей выше. Ппц, эта таблица вниз у меня не лезет L
Ух-ты! Ворд смайлики вставляет за меня, прикольна J
Найдите ковариационную матрицу этого вектора, коэффициент корреляции его координат и постройте наилучшую в среднем квадратическом оценку случайной величины
по случайной величине
5. В предположении, что один шаг пешехода распределён равномерно в пределах от 70 см до 80 см и размеры шагов независимы, оцените вероятность того, что за 10000 шагов пройденный пешеходом путь составит 7,5 км
50 м.
6. Классическая схема теории вероятностей. Геометрические вероятности. Задача о встрече*.
*Двое условились встретиться в течение часа. Пришедший на встречу первым ждёт другого 20 минут, после чего сразу уходит. Моменты прихода каждого из них независимы и происходят наугад. Найдите вероятность встречи.
Экзаменационный билет № 000
1. В лифт 9-этажного дома на первом этаже вошли трое.
Найдите вероятность того, что, для их выхода лифт будет
останавливаться дважды.
2. Для случайной величины
среди всех интервалов
(а; b), удовлетворяющих условию
, найдите
интервал наименьшей длины.
3. Для случайной величины
вычислите вероятность 
4.Случайный вектор
равномерно распределён в квадрате 
Найдите ковариационную матрицу этого вектора,
коэффициент корреляции его координат и частные плотности вероятности
5. Пусть
- независимые одинаково распределённые
случайные величины с
и конечной дисперсией
При каком значении
для суммы
выполнено
условие
?
в. Формула сложения и умножения вероятностей. Задача о расположении многотомника*.
Экзаменационный билет № 000
1. Из чисел 1, 2, ..., 100 наугад выбирают 70 чисел. Какова
вероятность того, что наибольшим из них окажется число 98?
2. Нормально распределённая случайная величина удовлетворяет
соотношению
Вычислите
3.Случайная величина 
имеет равномерное распределение, и
Постройте графики функции распределения этой случайной величины и её плотности вероятности. Вычислите математическое ожидание и дисперсию.
4. Игральную кость подбрасывают до тех пор, пока не выпадет
шестёрка. Пусть 
— сумма всех выпавших при этом очков.
Найдите математическое ожидание
б. Какое минимальное количество раз нужно подбросить монету, чтобы с вероятностью не меньшей, чем 0,95, отклонение частоты выпадения герба от вероятности его выпадения не превышало 0,01?
6. Формула полной вероятности и формула Байеса. Задача о монете (найти вероятность того, что монету придётся бросать четное число раз до серии «гг»).
"Найдите вероятность того, что при расстановке наугад п томного издания хотя бы один том окажется на своём естественном месте.
Основные порталы (построено редакторами)