УДК 621.891
,
МОДЕЛЬ ИНЖЕНЕРНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Представлена процедура создания моделей инженерных шероховатых поверхностей на основе фрактального представления. Модели поверхности и профиля описаны уравнением Вейерштрасса-Мандельброта.
Ключевые слова: фрактал, фрактальная размерность, моделирование, инженерные поверхности.
При расчете параметров контактного взаимодействия используют разные модели поверхности. Одной из известных моделей поверхности является модель, представляющая собой набор сферических сегментов, имеющих разную высоту и одинаковый радиус закругления верхней части [1]. Этот набор расположен на плоскости, являющейся средней плоскостью шероховатой поверхности.
Известны подходы, в которых шероховатую поверхность представляют в виде случайного поля, а профиль поверхности – в виде нестационарного случайного процесса [2].
Однако использование в модели поверхности одинакового радиуса вершин выступов приводит в ряде случаев к получению некорректных оценок параметров контактного взаимодействия [3].
Инженерные поверхности могут включать в себя макроотклонение от правильной геометрической формы, волнистость и шероховатость. Учет этих топографических особенностей приводит к необходимости создания многоуровневых моделей поверхности и усложнению расчетов при оценке параметров контактирования твердых тел. Представление инженерной поверхности в виде фрактального объекта и использование компьютерных технологий позволяют упростить решение контактных задач с учетом шероховатости без потери точности оценок параметров контактного взаимодействия [4].
На рис. 1 представлены модели фрактальных поверхностей при разных значениях фрактальной размерности.
Рис. 1. Модели фрактальных поверхностей
Фрактальная размерность поверхности имеет следующий диапазон изменения: 2<Ds<3.
Для определения фрактальной размерности поверхности возьмем сечение поверхности плоскостью, параллельной срединной плоскости поверхности (рис. 2). Считается, что все «острова» на рис. 2 самоподобны. Тогда для анализа соотношения «периметр-площадь» выделим характерный «остров».
На рис. 3 представлена процедура определения фрактальной размерности клеточным методом.
Рис. 2. Сечение Рис. 3. Покрытие фрактального объекта сеткой
фрактальной поверхности с квадратными ячейками [5]
Cчитаем, что число квадратов пропорционально соответствующим параметрам (площади и периметру):
NA A, NP P.
Зависимость числа клеток NA, покрывающих площадь «острова», от числа клеток NP, в которые попала «береговая» линия «острова», построенная в логарифмических координатах при разных размерах стороны квадратной ячейки, оценивается в данном примере уравнением регрессии:
NA= -69,14+3,303NP.
Фрактальная размерность определяется выражением
Рассмотрим особенности моделирования фрактальной поверхности и процедуру определения параметров модели.
Профиль инженерной поверхности может быть описан уравнением Вейерштрасса-Мандельброта:
Здесь G – фрактальный параметр шероховатости; D – фрактальная размерность профиля (D=2-H, 1<D<2); g – масштабный параметр (g>1), gn определяет частотный спектр профиля шероховатой поверхности.
К параметрам, характеризующим профиль шероховатой поверхности, следует отнести G, D и n. По мнению А. Маджумдара [6], подходящим значением для описания профиля является величина g=1,5.
Нижний предел суммирования в уравнении Вейерштрасса-Мандельброта равен
n1=ln(1/L)/lnγ,
где L – длина выборки.
На рис. 4 представлены профили поверхностей при разной фрактальной размерности, полученные с помощью функции Вейерштрасса-Мандельброта.
а) б)
в)
Рис. 4. Профили поверхностей при фрактальной размерности:
а - D=1,2; б - D=1,4; в - D=1,6
А. Маджумдар предложил связать статистические показатели поверхности с фрактальными параметрами.
Так, связь между средним квадратическим отклонением ординат профиля σ и мощностью спектральной функции S(ω) имеет вид
.
Здесь wmin и wmax – наименьшая и наибольшая частоты.
В расчетах обычно принимают выборочное значение (оценку) среднего квадратического отклонения, т. е. σ = Rq.
Наибольшая частота связана с разрешающей способностью инструмента измерения (радиусом щупа), а наименьшая – с длиной выборки.
Мощность спектральной функции Вейерштрасса-Мандельброта определяется выражением
.
Учитывая, что σ = Rq, после несложных преобразований запишем:
.
Проинтегрировав, получим
.
Отсюда фрактальный параметр шероховатости будет равен
.
Параметр G изменяется в пределах от 9,9·10-16 до 1,2·10-2 мкм. Так, при g =1,5, Rq=1,5 мкм, D=1,1, wmax=1/8 мкм и wmin=1/400 мкм G=6,27·10-7 мкм.
Изменяя Rq при неизменяемых значениях D и w, получим следующие значения параметра G:
Rq, мкм | 0,5 | 1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 |
G, мкм | 1,062·10-11 | 1,088·10-8 | 1,114·10-5 | 6,422·10-4 | 1,1·10-2 |
Отмечается существенная разница в оценке параметров шероховатости при использовании фрактального и статистического методов [7]. В табл. 1 приведены некоторые формулы для определения параметров шероховатости.
Таблица 1
Сравнительная оценка параметров шероховатости
Параметр | Фрактальный метод | Статистический метод |
S(ω), мкм3 |
|
где D0 – число нулей (пересечений профиля средней линией), отнесенное к единице длины, мкм-1 |
r, мкм |
где a – площадь пятна контакта, мкм2 |
где De – число экстремальных точек, отнесенное к единице длины, мкм-1 |
В табл. 2 приведены средние значения некоторых параметров шероховатости [8]: Rq – среднее квадратическое отклонение ординат профиля; Ra – среднее арифметическое отклонение; Rmax – наибольшая высота неровностей; n(0), m, s – соответственно число нулей, максимумов, перегибов на единицу длины.
Таблица 2
Средние значения параметров шероховатости
Вид обработки | Rq, мкм | Ra, мкм | Rmax, мкм | n(0), мм-1 | m, мм-1 | s, мм-1 |
Плоское шлифование | 3,25 1,70 1,19 0,73 | 2,51 1,37 0,89 0,56 | 11,19 4,25 2,42 1,66 | 15 27 34 51 | 16 35 51 71 | 34 77 103 159 |
Круглое шлифование | 0,29 0,14 | 0,23 0,11 | 0,79 0,34 | 140 163 | 194 205 | 425 454 |
Доводка | 0,13 | 0,11 | 0,38 | 183 | 222 | 459 |
Фрактальная модель поверхности имеет вид
где сz – сомножитель; q – параметр пространственно-частотного масштабирования (q>1); D – фрактальная размерность (2<D<3); N,M – число гармоник; K – основное пространственное волновое число; θnm – случайная фаза, распределенная равномерно в интервале [-π, +π].
Сомножитель cz определяется из соотношения [9]
Данная функция содержит в себе как случайную структуру, так и детерминированную составляющую, отражая особенности некоторых инженерных поверхностей.
Функция Z(x,y) является анизотропной в двух направлениях, если N и M не очень велики. Поверхности, полученные с помощью этой функции без учета θnm и при N=M=5, приведены на рис. 5.
|
|
а) б)
Рис. 5. Модели поверхностей при N=M=5, q=2,7:
а - D=2,5; б - D=2,2
На рис. 6 представлена модель поверхности с учетом случайной фазы, распределенной равномерно в интервале [-π, +π], при следующих данных: cz=0,2; N=M=10; D=2,2; q=2,7.
Рис. 6. Модель поверхности при N=M= 10; q=2,7; D=2,2
При исследовании контакта двух фрактальных поверхностей, имеющих свои фрактальные размерности, целесообразной представляется замена такого контакта на контакт гладкой поверхности с приведенной фрактальной. Подобная процедура может оказаться эффективной при замене контактного взаимодействия двух шероховатых поверхностей на контакт гладкой поверхности с шероховатой, имеющей эффективную шероховатость.
Таким образом, в работе предложена модель инженерной поверхности, основанная на фрактальных представлениях об объектах, имеющих дробную размерность.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Greenwood, J. A. Contact of nominally flat surfaces/J. A. Greenwood, J. B.P. Williamson// Proc. R. Soc. Series A–V.295. - № 000.–P.300–319.
2. Sayles, R. S. Surface topography as a nonstationary random process/ R. S. Sayles, T. R. Thomas//NatureV.271.-P.431-434.
3. Тихомиров, модель неровностей поверхности твердых тел/, //Трение и износТ.7. - №3.-С.527-531.
4. Мандельброт, Б. Фрактальная геометрия природы: [пер. с англ.] /Б. Мандельброт. - М.: Ин-т компьютер. исслед., 2002.-656 с.
5. Addison, P. S. Fractals and chaos: an illustrated course/P. S. Addison.-London: Inst. of Phys. Publish.,1997.-256 p.
6. Маджумдар, А. Фрактальная модель упругопластического контакта шероховатых поверхностей/А. Маджумдар, Б. Бхушан// Современное машиностроение.−1991.− №6.− С. 11-23.
7. Pavelescu, D. On the roughness fractal character, the tribological parameters and the error factors/D. Pavelescu, A. Tudor//Proceedings of the Romanian Academy. Ser. A–Vol. 5. - №2.
8. Рудзит, и контактное взаимодействие поверхностей/ .- Рига: Зинатне, 1975.-210 с.
9. Потапов, рассеяния волн фрактальной анизотропной поверхностью/, //Нелинейный мирТ.6. - №1.-С. 3-36.
Материал поступил в редколлегию 2.09.10.
Основные порталы (построено редакторами)