На правах рукописи
Чан Тхань Тунг
ЧИСЛЕННЫЙ метод расчетА АРОК ПО ПРЕДЕЛЬНОМУ РАВНОВЕСИЮ
Специальность 05.23.17 – Строительная механика
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание
ученой степени кандидата технических наук
Москва – 2011
Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский государственный строительный университет».
Научный руководитель: Официальные оппоненты: Ведущая организация: | доктор технических наук, профессор Габбасов Радек Фатыхович. доктор технических наук, профессор , кандидат технических наук, доцент . - Научный исследовательский институт транспортного строительства. |
Защита состоится “1” ноября 2011г. в 14 час. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» по адресу: 129337 Москва, Ярославское шоссе, ауд. No 420 УЛК.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет».
Автореферат разослан “ ” сентября 2011г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Арки произвольного очертания относятся к распорным конструкциям, входят в состав различных сооружений – железнодорожных мостов, сводов, покрытий промышленных, сельскохозяйственных и общественных зданий. Проблемы, связанные с исследованием таких арочных систем и конструированием сложных сооружений, требуют разработки численных методов, алгоритмов и программ для ЭВМ. Ввиду того, что в литературе имеется только ограниченное число работ по предельному равновесию арок симметричных очертания, постоянной жесткости, в работе рассматриваются задачи с арками переменной жесткости и несимметричного очертания.
В настоящее время имеет значение развитие методов для инженерного расчёта арок, обладающих высокой точностью при сравнительно малом числе разбиений оси арок, в том числе позволяющих производить расчёт вручную при помощи микрокалькулятора. Это позволяет произвести расчёт для оценки несущей способности арок, не прибегая к помощи ЭВМ.
Одним из таких методов является метод последовательных аппроксимаций (МПА), предложенный и в дальнейшем разработанный и значительно расширенный . Опыт применения МПА к задачам по расчёту арок на прочность в упругой стадии, на действие статических нагрузок выявил высокую точность и эффективность этого метода.
Актуальной задачей является применение этого метода к расчету арок по предельному равновесию. Расчеты по предельному равновесию выявляют большие ресурсы несущей способности конструкций.
Целью диссертационной работы является обобщение и развитие метода последовательных аппроксимаций для расчета арок по предельному равновесию с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок.
Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:
- по уравнениям МПА разработать алгоритм расчета арок произвольного очертания, переменной жесткости в упругой стадии с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок для определения внутрених усилий и перемещений;
- разработать алгоритм расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности, используя результаты расчета арок в упругой стадии;
- составить программу для ЭВМ с последующим применением ее для решения инженерных задач.
Научную новизну диссертации составляют следующие результаты:
- разработка алгоритма расчета арок по МПА в упругой стадии для определения внутренних усилий и перемещений;
- разработка численного алгоритма расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности при действии различных нагрузок, используя при этом результаты расчета арок в упругой стадии. Упругой расчет по МПА позволяет на ЭВМ найти правильно последовательность образования пластических шарниров;
- составление программы на языке программирования Visual C++ по разработанным алгоритмам;
- решение новых задач расчета арок в упругой стадии и по предельному равновесию.
Достоверность результатов определяется корректностью постановки задач по предельному равновесию арок, использованием апробированного численного метода, сравнением ряда полученных результатов с ранее известными, численным исследованием сходимости решений.
Практическая ценность работы заключается в:
- разработке методики расчета арок произвольного очертания, переменной жесткости в упругой стадии с различными условиями на краях при действии различных типов нагрузок для применения на практике расчётов;
- составлении программы на языке программирования Visual C++ для решения задач, сводящихся к расчету арок в упругой стадии, которая может использоваться в инженерных расчётах;
- разработке методики расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил и без их учёта в условии пластичности.
Апробация работы была проведена на:
- заседании кафедры «Строительная Механика» Московского государственного строительного университета (Москва, 2011 г).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 2 печатных работы в рецензируемых журналах, рекомендуемых ВАК для публикации результатов по кандидатским диссертациям.
На защиту выносятся:
- разработка алгоритма расчёта арок произвольного очертания и переменной жесткости в упругой стадии по МПА;
- решение новых задач расчёта арок в упругой стадии;
- разработка алгоритма расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности с использованием результатов расчета арок в упругой стадии;
- решение новых задач расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности;
- впервые выполненная разработка алгоритма расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности;
- решение новых задач расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы из 211 наименований. Общий объём диссертации составляет 134 страницы, в текст включены 57 рисунков и 15 таблиц.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, даётся её общая характеристика, формулируются основные цели и задачи исследования, обслуждается достоверность и научная новизна результатов работы, их практическая ценность.
Первая глава. Приводится краткий обзор работ по численным методам, а также по аналитическим и численным методам расчёта арок в предельном состоянии. Наиболший вклад в развитие построения разностных схем внесли известные российские и зарубежные учёные : , , и др. Теория и применение МКР разработаны в работах , , и , , Л. Коллатца, , и др. Метод последовательных аппроксимаций разрабатывался новым, , . Этот метод позволяет достаточно просто рассчитывать не только арки, но и плиты, оболочки с разрывными параметрами под действием различного типа нагрузок, включая локальные, полосовые, динамические.
Показано, что метод последовательных аппроксимаций по сравнению с МКЭ даёт более высокую точность при одинаковом числе разбиений.
Отметим, что известные способы расчета арок с учётом пластичности имеют следующие недостатки :
- нет общей методики определения последовательности образования пластических шарниров ;
- расчёты проводятся без учёта продольных сил в условии пластичности;
- в некоторых случаях положения пластических шарниров не совпадают с фактическими .
Во второй главе разработана методика расчета арок в упругой стадии с использованием разностных уравнений МПА.
Дифференциальные уравнения равновесия криволинейного стержня получены как частный случай из уравнений цилиндрической оболочки с произвольной направляющей. Принимая положительное направление нормальной составляющей нагрузки Z внутрь, запишем эти дифференциальные уравнения в безразмерном виде :
| (1) |
| (2) |
Аналогично запишем зависимости между усилиями и перемещениями, принимая положительное направление нормальной составляющей перемещения внутрь оболочки и обобщая эти зависимости на случай арки произвольного поперечного сечения:
| (3) |
| (4) |
| (5) |
q0 - фиксированное значение Z; m - безразмерный изгибающий момент; n - безразмерная продольная сила; t, p - соответственно тангенциальная, нормальная безразмерные составляющие нагрузки; v, w - соответственно тангенциальная, нормальная безразмерные составляющие перемещения; g - величина обратная безразмерной жесткости; k - безразмерная кривизна; E - модуль упругости материала арки; F - площадь сечения арки; Jср. - фиксированное значение момента инерции поперечного сечения; J - момент инерции поперечного сечения;
h - безразмерная координата, направленная вдоль оси стержня; l - пролет.
Рис. 1 | ||
Аппроксимацию дифференциальных уравнений (1) , (2) в точке i неравномерной сетки (рис. 1) выполним по методу последавательных аппроксимаций (МПА) : | ||
| (6) |
|
| (7) |
|
Для точки i левого края аппроксимация (1) запишется так :
| (8) |
В этих уравнениях :
τi – шаг неравномерной сетки слева от точки i (рис. 1);
θ = cosα; θi+1/2, ti+1/2, ki+1/2, 
– величины θ, t, 
и безразмерной кривизны k, вычисленные в середине участка длиной h. На рисунке 1 эта точка показана крестиком; h – шаг равномерной сетки вдоль оси ξ ; α – угол наклона касательной к оси арки (рис. 2);
| (9) |
где Л – значение параметра решения левее точки i , П – правее.
Величины шагов τ вдоль оси η вычисляются по рекуррентной формуле :
| (10) |
В случае действия вертикальной равномерно распределенной вдоль оси ξ (безразмерной) нагрузки q:
| (11) |
Если задана вертикальная (безразмерная) сосредоточенная сила (рис. 2),
то: | (12) |
, где 
Рис. 2 |
Исключая n из (7) с использованием уравнений типа (6) и (9), записанных для точки i+1, получим четырехчленное уравнение относительно безразмерных изгибающих моментов m; запишем его применительно к расчету реальных арок, когда Δm = 0:
| (13) |
Здесь: | (14) |
Для определения внутренних усилий в расчетных сечениях трехшарнирной арки достаточно уравнений (13), (6), (8). Если арка статически неопределима, к этим уравнениям следует присоединить разностные аппроксимации дифференциальных уравнений (4), (3). После исключения v (при 
) разностное уравнение МПА для определения w принимает вид :
| (15) |
Для точки i левого края :
| (16) |
где 
; 
; w’i, wi, vi – заданные (в частности, нулевые) значения перемещений в опорной точке i; 
Для арок прямоугольного сечения по (5): 
, где Н – высота поперечного сечения. Для реальных сооружений 
. Тогда 
Для арок и произвольного сечения можно положить с2 ≈ 0. Тогда из (3) следует:
| (17) |
Интегрируя (17) по всей длине арки по формуле Симпсона, получим :
| (18) |
где vn, wn – заданные значения перемещений в правой опорной точке n;
v0, w0 – перемещения в левой опорной точке 0.
В данном параграфе рассматриваются три основных наиболее часто встречающихся в расчетной практике типа арок, которые показаны на рисунке 3.
Рис. 3 |
а - трехшарнирная б - двухшарнирная в - бесшарнирнаяПримечание: для дальнейшего приняты условные обозначения:
- жесткая заделка; 
- шарнирно неподвижное опирание;
- шарнирно подвижное опирание; 
- шарнир; 
- пластический шарнир.
Краевые условия запишутся следующим образом :
1) Трехшарнирная арка (рис. 3.а):
; 
.
2) Двухшарнирная арка (рис. 3.б):
; .
3) Бесшарнирная арка (рис. 3.в):
; 
Алгоритм расчета арок в упругой стадии строится относительно неизвестных m и w .
Разностные уравнения (13) записываются для каждого расчетного участка i – i+1 (0 < i < n–1), (15) – для каждой внутренней расчетной точки i. В случае расчета бесшарнирной арки для опорных точек записываются уравнения типа (16). Система полученных алгебраических уравнений решается совместно с (18). После определения m и w безразмерные продольные силы Λni в каждой расчетной точке вычисляются по (6), для опорных точек – по (7). Для определения поперечных сил служит уравнение (8).
Тангенциальные перемещения v можно найти при выражении v через w интегрируя (17) по правилу трапеций на участке длиной 
:
| (19) |
.Угол поворота wi′ можно вычислить, пользуясь формулой (16).
Для арок постоянной жесткости (g = 1) уравнения заметно упрощаются. Для арки кругового очертания (k = соnst) при τ = соnst все дифференциальные уравнения легко интегрируются вдоль оси η. Поэтому во всех полученных выше разностных выражениях следует положить: h = τ; θ = 1. Из (13), например, как частный случай получим для круговой арки:
| (20) |
Систему полученных алгебраических уравнений решаем прямым методом Гаусса. На основе разработанного алгоритма решены тестовые задачи, результаты расчётов сравнены с известными решениями.
Решены новые задачи расчета симметричной арки переменной жесткости (рис. 4) и арки несимметричной постоянной жёсткости (рис. 5).
Для иллюстрации алгоритма рассмотрим задачу №3 на рис. 5.
По алгоритму расчета арок в упругой стадии относительно неизвестных m и w при h = 1/4 имеем 08 неизвестных - m0, m1, m2, m3 и w0, w1, w2, w3. Для решения должно быть составлено 08 уравнений и условий.
Записываем : уравнение (13) для расчетного участка 1 – 2; уравнение (15) для внутренней расчетной точки 1и уравнение типа (18) при v 0 = v 3 = w0 = w3 = 0 ;
Задача №1 | |
| - При
EJср. - фиксированное значение жесткости стержня на изгиб. |
Задача №2 | |
| - При
|
Рис. 4. Задачи симметричной полукруговой арки переменной жесткости | |
Задача №3 | Задача №4 |
|
|
Рис. 5. Задачи несимметричной параболической арки постоянной жёсткости | |
:
из (5): 
из (5): 
имеем 3 уравнения. Эти уравнения решаются с учётом условий : m0 = m2 = m3 = 0; w0 = w3 = 0. Задача решалась при числе разбиений оси 3, 6, 12 и 24.
На рис. 6 показаны эпюры m, w при числе разбиений оси 6.
На рис. 7 показаны график сходимости решения по mmax в зависимости от числа разбиений пролета арки n и направления усилий в опорных точках.
Проверим точность решения задачи при n = 6. Сумма реакций опор равна действующей силе 
.
По расчету имеем сумму реакций опор :
| |
Погрешность решения : |
Величины погрешности решения задачи в зависимости от числа разбиений пролета арки n даются в таблице 1.
Таблица 1
n | 3 | 6 | 12 | 24 | 48 |
|
Δ , % | 5,62% | 1,43% | 0,06% | 0 | 0 |
|
|
|
| ||||
| Рис. 6. Эпюры m, w | |||||
| В случае двухшарнирной арки (задача №4 на рис. 5) m2 ≠ 0; | |||||
|
|
| ||||
| Рис. 7. График сходимости решения по mmах и направления усилий в опорных точках | |||||
уравнение (15) записываем и для точки 2. Составленные уравнения решаются совместно. Если арка бесшарнирная, используем для опорных точек уравнение (16).
Результаты решения других задач даются в диссертации. По ним установлено, что решения обладают высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимоcти от уменьшения шага разбиения. Составлена программа на языке программирования С++ для решения задач расчета арок в упругой стадии.
В третьей главе разработан алгоритм расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности с использованием результатов расчета арок в упругой стадии по МПА.
Расчёт несущей способности конструкций с учетом пластичности материалов, т. е. по методу предельного равновесия позволяет получить более экономичную конструкцию за счет использования скрытых резервов прочности, остающихся неиспользованными при расчете конструкции как упругой.
Вместо действительной диаграммы растяжения – сжатия упруго – пластического материала в основу кладется упрощенная диаграмма для упруго – пластического тела в координатах напряжения σ – деформации ε (диаграмма Прандтля).
Для систем, работающих преимущественно на изгиб (балок, рам, арок), пластическое разрушение сечения определяется величиной изгибающего момента:
| (21) |
где 
– предел текучести материала при растяжении; WПЛ – пластический момент сопротивления; в случае прямоугольного поперечного сечения
| (22) |
Пластический момент сопротивления сечения может быть выражен через момент сопротивления в стадии упругости 
:
| (23) |
Коэффициент 
зависит от формы сечения и равен : для круга – 1,7; для прямоугольника – 1,5; для тонкостенного кольца – 1,27; для двутавра –1,15.
Сечение, в котором реализуется 
, называется пластическим шарниром.
В случае статически определимой системы для ее разрушения достаточно образования одного пластического шарнира. В статически неопределимой системе полное разрушение наступает тогда, когда образуется количество пластических шарниров, которое равно числу лишних связей системы плюс единица (или образование трёх пластических шарниров в пределах прямолинейного участка системы).
В данной главе алгоритм расчета арок по предельному равновесию строится по нижеизложенной схеме :
1) Расчет арки в упругой стадии по методу последовательных аппроксимаций (2-ая глава).
2) Фиксирование первого пластического шарнира по 
первого этапа расчета.
3) Упругий расчет с учетом первого пластического шарнира до возникновения II-го. Третий этап расчета и последующие этапы зависят от степени статической неопределимости арки.
Отметим, что если известна геометрия сечений, т. е. предельные несущие способности сечений (величины 
), то по алгоритму может быть найдена в конечном счете предельная нагрузка.
По разработанному алгоритму решены задачи предельного равновесия при действии : сосредоточенной силы, распределенной по разным законам нагрузки для арок кругового и параболического очертаний (№ 1 на рис. 5; № 2, 3, 4, 5 на рис. 8). Для всех задач безразмерный предельный момент 
всех сечений арки на изгиб одинаков и равен 0,5. Надо найти безразмерную предельную нагрузку 
.
Для иллюстрации алгоритма рассмотрим задачу №3 на рис. 8.
Проводим расчет двухшарнирной арки в упругой стадии по 2-ой главе при 
и строим эпюру изгибающих моментов 
при числе разбиений оси 8 (рис. 9.а).
При 
первый пластический шарнир образуется в середине пролета. Нагрузка, соответствующая образованию первого пластического шарнира : 
.
Задача №2
| Задача №3
|
Задача №4
| Задача №5
|
Рис. 8. Задачи расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности | |
а) |
б) |
Рис. 9. Эпюры mI и mII | |
Далее рассчитываем арку как трёхшарнирную в упругой стадии по
2-ой главе отдельно :
- на 
; получим эпюру 
(по эпюре имеем 
);
- на 
; получим эпюру 
(по эпюре имеем 
).
Прежде чем определить 
, следует построить эпюру 
(рис. 9.б). По эпюре 
имеем, что 
; второй пластический шарнир образуется в точке 1. Чтобы наитй , составляем уравнение:
Схема разрушения при числе разбиений оси 8 показана на рис. 10. Для проверки найдем 
из интегральных условий равновесия :
|
|
Рис. 10. Схема разрушения |
При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает и положения пластических шарниров смещаются. Результаты расчетов сведены в таблицу 2.
Таблица 2
|
Из табл. 2 видно, что решение с помощью МПА обладает высокой точностью и монотонной сходимостью.
Расчет следует завершить построением эпюры 
(при числе разбиений 32 на рис. 11), чтобы показать, что во всех расчетных точках 
.
|
Рис. 11. Эпюра mТ |
Результаты решений сравнивались с известными результатами аналогичных задач, приведённых в литературе (№ 6 на рис. 12).
| Бесшарнирная арка, очерченная по квадратной параболе Несущая способность |
Рис. 12. Задача №6 |
.
= 7,5 тс. м; найти 
.Задачу решаем в безразмерном виде с сосредоточенной силой 
в середине пролета при безразмерном f = l/4 =1/4. Пусть безразмерное значение 
; найти 
.
В результате численной реализации разработанного алгоритма имеем следующие положения пластических шарниров и порядки образования этих шарниров :
- 1-ый пластический шарнир – в точке 4 (в середине пролета);
- 2-ой и 3-ий пластические шарниры – в точке 0 и 8 (в заделках);
- 4-ый и 5-ый пластические шарниры – в точке 2 и 6 (в четвертях пролета).
Приведены проверки полученных результатов с помощью интегральных условий равновесия; 
Отмечим, что правильные положения пластических шарниров определяются при этом из разработанного нами алгоритма расчета.
Переход к размерным величинам по формуле (5) при 
:
Полученный результат совпадает с 
в литературе.
При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает. В этой задаче положения пластических шарниров не смещаются. Результаты расчетов сведены в таблицу 3.
Таблица 3
|
По результатам в табл. 3 можно сделать следующие выводы: результаты численного решения задач по предельному равновесию с помощью МПА в упругом расчете и известные результаты практически совпадают; численное решение обладает монотонной сходимостью; высокая точность решения задач по предельному равновесию без учёта продольных сил в условии пластичности достигается уже при числе разбиений 8.
В четвертой главе разработан алгоритм расчёта арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности с использованием результатов расчета арок в упругой стадии по МПА.
Здесь рассматривается следующий частный случай предельного состояния арки под действием заданных сил:
1) деформации материала при растяжении и сжатии следуют диаграмме Прандтля;
2) деформации системы к моменту достижения предельного состояния малы;
3) в местах образования пластических шарниров все сечение арки пронизано пластичностью (рис. 13);
4) предельное состояние по прочности наступает раньше потери устойчивости, т. е. рассматриваются состояния арки в предельном равновесии, когда под действием предельной нагрузки в данной n раз статически неопределимой арке образовалось n + 1 пластических шарниров, обращающих арку в кинематическую цепь с одной степенью свободы.
|
Рис. 13. Напряжения в предельном состоянии |
Из условий состояния арки как кинематической цепи с одной степенью свободы вытекает, что в соседних пластических шарнирах изгибающие моменты будут разных знаков. Если в сечении x напряжения в предельном состоянии будут по рис. 14.a, то в каждом из соседних пластических шарниров – по рис. 14.b.
|
Рис. 14. Напряжения в предельном состоянии в соседних пластических шарнирах |
Условие образования пластического шарнира (рис. 13) для прямоугольного сечения при учёте продольных сил :
| (24) |
где 
,
– соответстенно возникающие в сечении арки изгибающий момент и продольная сила. 
– предельный пластический момент;
– предельная пластическая осевая сила.
Если полная площадь поперечного сечения равна F и WПЛ – пластический момент сопротивления, то :
| (25) |
| (26) |
где 
– высота поперечного сечения; 
– ширина поперечного сечения.
Перейдём к безразмерным величинам :
| (27) |
где 
– пролет арки; 
– фиксированное значение распределенной нагрузки.
Тогда из (24) следует | (28) |
В данной главе алгоритм расчета арок по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности строится по нижеизложенной схеме :
1) Расчет арки в упругой стадии по методу последовательных апроксимаций по 2-ой главе.
2) Фиксирование первого сечения, удовлетворяющего (28), по результатам I-го этапа расчета.
3) Упругий расчет с учетом первого пластического шарнира до возникновения II-го. Третий этап расчета и последующие этапы зависят от степени статической неопределимости арки.
Отметим, что если известны 
и 
, то по алгоритму может быть
найдена в конечном счете предельная нагрузка.
По разработанному алгоритму решены задачи предельного равновесия с учётом продольных сил в условии пластичности при действии сосредоточенной силы; распределенной по разным законам нагрузки для арок кругового и параболического очертания (№ 1 на рис. 5, № 2, 3, 4 на рис. 8). Для всех задач безразмерный предельный пластический момент 
; из (27) : 
Тогда из (25) : | (29) |
с учетом (26), (27) имеем : | (30) |
При 
предельная пластическая безразмерная осевая сила 
. Следует найти безразмерную предельную нагрузку 
.
Рассмотрим задачу №3 на рис. 8.
Проводим расчет в упругой стадии по 2-ой главе при 
и строим эпюру изгибающих моментов при числе разбиений оси 8 (рис. 9.а).
По (28) : 
Найдем 
(1) при образовании пластического шарнира в точке 4 :
, или 
Из решения этого уравнения следует 
Расчеты с применением (28) в других точках дают 
, т. е. 
Далее проводим расчеты в упругой стадии по 2-ой главе при числе разбиений оси 8 :
1) В первом расчете в трехшарнирной арке на 
:
(Видно, что упругий расчет дает малую погрешность; в частности 
отличается от точного значения 
на 0,94%).
2) Во втором расчете в трехшарнирной арке при 
:
Найдем 
(2), когда второй пластический шарнир образуется в четверти оси :
| (31) |
По (28) :
| (32) |
Подставим (31) в (32) , получим :
| (33) |
Решая систему уравнений (33) итерациями, получим : 
и 
Расчеты с применением (28) в других точках дают 
, т. е. 
при образовании II-го пластического шарнира с учётом продольных сил.
Разница между 
(2) без учета N по таблице 2 и 
(2):
|
Схема разрушения показана на рис. 15. Для проверки найдем 
(2) из интегральных условий равновесия :
| ||
Рис. 15. Схема разрушения | ||
| (34) |
|
| (35) |
|
Подставим (34) и (35) в (32), получим :
| (36) |
Решая систему уравнений (36) итерациями, получим : 
и 
Разница между 
(2) и :
При увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает и положения пластических шарниров смещаются. Результаты расчетов сведены в таблицу 4.
Таблица 4
|
Решения других задач даны в диссертации.
В результате показано, что алгоритм решения задач по предельному равновесию с помощью МПА в упругом расчете и интегральные условия равновесия дают близкие значения предельной нагрузки; численное решение обладает монотонной сходимостью; высокая точность решения задач по предельному равновесию с учётом продольных сил в условии пластичности с помощью МПА в упругом расчете достигается уже при числе разбиений 8; при увеличении числа расчетных участков точность решения возрастает и в некоторых задачах положения пластических шарниров смещаются; значение предельной нагрузки в расчете с учетом продольных сил меньше на 10-20% по сравнению с расчётом по предельному равновесию без учета продольных сил в условии пластичности.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
Обобщая результаты проведённых исследований, можно сделать следующие выводы. Численный метод последовательных аппроксимаций получил существенное развитие для решения задач расчёта арок по предельному равновесию без учёта продольных сил и с учётом продольных сил в условии пластичности.
1) Разработан численный алгоритм расчета в упругой стадии разных типов арок постоянной и переменной жесткости при действии произвольных статических нагрузок.
2) Разработанный алгоритм обладает высокой точностью и монотонной сходимостью в зависимости от увеличения числа разбиений. Показано, что решение с помощью МПА в упругом расчете обладает высокой точностью на редких сетках.
3) Составлена программа на языке программирования Visual C++ для решения задач, сводящихся к расчету арок в упругой стадии.
4) Разработан численный алгоритм расчета арок по предельному равновесию.
5) Решены задачи расчета арок по предельному равновесию без учёта продольных сил и с учётом продольных сил в условии пластичности. Для частных случаев результаты расчетов сравнивались с найдёнными из интегральных условий равновесия и с известными результатами.
6) Разработанный алгоритм расчета по предельному равновесию обладает высокой точностью. Решения задач обладают монотонной сходимостью.
7) Расчет по предельному равновесию даёт возможность более правильно, чем расчёт по упругому методу, определить несущую способность арок (1,5–2 раза).
8) Значение предельной нагрузки в расчете с учетом продольных сил в условии пластичности меньше, чем без учета продольных сил.
9) Разработанные алгоритмы расчета по предельному равновесию с учётом продольных сил и без учёта их дают возможность определить последавательность образования пластических шарниров.
10) При расчёте арок по предельному равновесию достигается значительная экономия материалов. Рациональное использование их – один из путей снижения стоимости строительства и улучшения проектирования.
11) Разработанные методики расчета позволяют не только определять величины предельных нагрузок, но и вычислять усилия и перемещения во всех расчетных точках.
12) Расчет арок с помощью МПА существенно дополняет известные методы расчёта в качестве самостоятельного или дублирующего варианта при проектировании конструкций.
13) Материалы диссертации в виде графиков, алгоритмов и программ для ЭВМ могут быть использованы в научно-исследовательских разработках и инженерных расчётах.
Основные положения диссертации и результаты исследований опубликованы в следующих работах :
1) , Чан Тхань Тунг. Рациональный численный метод расчета арок произвольного очертания – М. Вестник МГСУ, 2010, № 4, т.1, с. 18-23.
2) Чан Тхань Тунг. Численный метод расчета арок по предельному равновесию – М. Вестник МГСУ, 2011, № 1, т.1, с. 232-237.
Основные порталы (построено редакторами)