УДК 519.6
НОВЫЙ ПОДХОД К ЧИСЛЕННОМУ РЕШЕНИЮ ЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
Предложен новый подход к построению численных методов решения линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Рассмотрен новый эффективный численный метод решения названных краевых задач.
Ключевые слова: численный метод; линейная краевая задача; обыкновенное дифференциальное уравнение.
В 2004 г. был введен и описан новый класс кривых, названных кинематическими [2]. На их основе в 2006 г. был разработан новый подход к численному решению задач Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений [3]. Вниманию читателей предлагается новый подход к численному решению линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка, принципиально близкий к подходу, описанному ранее [3]. На его основе получен новый эффективный численный метод решения линейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Ниже описан этот метод и проиллюстрирована его реализация.
Рассматривается краевая задача для линейного обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка:
(1)
, 
, (2)
где a, b (a<b), 
, 
- заданные постоянные; 
, 
, 
- заданные непрерывные функции, такие, что краевая задача (1, 2) имеет единственное решение, которое мы в дальнейшем будем называть точным решением и обозначать 
.
Для построения приближенного решения этой краевой задачи сделаем замену переменных. Зададим натуральное число 
и введем вещественную величину
.
Введем новую переменную 
,
,
и функцию
. (3)
Преобразуем краевую задачу (1, 2), используя новые переменные t и u, и получим следующую краевую задачу:
(4)
, 
, (5)
Обозначим 
точное решение краевой задачи (4, 5). Оно связано с точным решением краевой задачи (1, 2) отношениями (3).
Ранее [2] были введены составные кинематические кривые, задаваемые векторным параметрическим уравнением вида
+
при 
, 
.
Здесь - заданные векторы, а
, 
, 
, 
, 
, 
.
Обозначим компоненты векторов 
как 
и 
, а компоненты 
- 
и 
. Тогда
=
+
при , .
=+ при , .
Приведем некоторые существенные для дальнейшего изложения свойства составной кинематической кривой:
1. Компоненты 
, векторной функции 
на каждом 
представляют собой интерполяционные многочлены Эрмита 5-го порядка с двумя трехкратными узлами интерполяции: 
и 
. Условия интерполяции для функции имеют следующий вид:
, 
, 
,
, 
, 
.
Условия интерполяции для функции :
, 
, 
,
, 
, 
.
2. Векторная функция и ее производные - 
и 
- непрерывны на 
.
3. 
, 
, 
, 
.
4. Если 
, 
, 
при , то 
, и
кинематическая кривая представляет собой график функции, которая является результатом кусочно-многочленной интерполяции многочленами Эрмита 5-го порядка:
=
+
при 
, . (6)
Введем на 
равномерную сетку точек 
. Ей соответствует равномерная сетка точек 
на 
. Шаги этих сеток равны 1 и 
соответственно. Будем искать непрерывное приближенное решение задачи Коши (4, 5) в виде интерполяционной функции, задаваемой формулой (6):
=
+
при 
, 
. (7)
Здесь 
(
; 
) – постоянные, полностью определяющие приближенное решение . График приближенного решения совпадает с кинематической кривой, задаваемой формулой
при 
, .
Из первого и четвертого свойств составных кинематических кривых следует, что
, 
, 
, 
. (8)
Соответствующее непрерывное приближенное решение 
задачи Коши (1, 2) получим с помощью отношения (3). Таким образом,
. (9)
Невязкой дифференциального уравнения (4) на непрерывном приближенном решении (7) назовем функцию
. (10)
Невязкой дифференциального уравнения (1) на непрерывном приближенном решении (9) назовем функцию
. (11)
Несложно показать, что
, 
,
, 
.
Наряду с непрерывными приближенными решениями и 
краевых задач (4, 5) и (1, 2) можно рассматривать и сеточные приближенные решения. В самом деле, из соотношений (8) и (9) следует, что величины . Поэтому их можно интерпретировать как компоненты приближенного сеточного решения задачи (4, 5), а также и задачи (1, 2). Из равенств (8) и (9) также следует, что и можно интерпретировать как компоненты сеточных аппроксимаций первой и второй производных точного решения задачи (4, 5). А множество {(
, 
, 
) : } можно интерпретировать как обобщенное сеточное приближенное решение задачи (4, 5). С другой стороны, непрерывное приближенное решение задачи (4, 5) можно интерпретировать как результат кусочно-многочленной интерполяции обобщенного сеточного решения.
Из определений невязок (10) и (11) следует, что непрерывные приближенные решения и краевых задач (4, 5) и (1, 2) удовлетворяют дифференциальным уравнениям
, (12)
. (13)
Граничные условия для этих дифференциальных уравнений выберем такие же, как и для точных решений:
, 
, (14)
, 
. (15)
Таким образом, непрерывное приближенное решение 
краевой задачи (4, 5) удовлетворяет краевой задаче (12, 14), а непрерывное приближенное решение краевой задачи (1, 2) удовлетворяет краевой задаче (13, 15). Введем погрешности непрерывных приближенных решений и как функции 
и 
, определенные на соответствующих отрезках интегрирования:
, 
,
, 
.
Из представлений (3) и (9) следует, что
, ,
, .
Вычитая из уравнения (12) уравнение (4) и учитывая краевые условия (14), и (5), получим краевую задачу для погрешности :
, (16)
, 
. (17)
Вычитая из уравнения (13) уравнение (1) и учитывая краевые условия (15), и (2), получим краевую задачу для погрешности :
, (18)
, 
. (19)
Наряду с погрешностью непрерывного решения введем погрешности компонент обобщенного сеточного решения:
, ; (29)
, ;
, .
Погрешности непрерывных приближенных решений и компонент приближенного сеточного решения связаны очевидными соотношениями:
, .
Пусть на множестве функций 
(определенных на 
), к которому принадлежат 
, и , введена норма 
. На множестве функций 
(определенных на ), к которому принадлежат и 
, введена норма 
.
Будем называть линейную краевую задачу (1, 2) устойчивой по правой части дифференциального уравнения, если существуют постоянные 
и 
, такие, что для любой функции , удовлетворяющей условию 
, краевая задача
(20)
, 
, (21)
имеет единственное решение 
и выполняется неравенство
. (22)
Теорема 1. Если краевая задача (1, 2) устойчива по правой части дифференциального уравнения и 
, то 
.
Доказательство. Так как , найдется натуральное число 
, такое, что для всех 
будет выполнено неравенство 
. Пусть . Заметим, что краевая задача (20, 21) совпадает с задачей (18, 19), если 
. Положим . При выполняется неравенство 
. Тогда из определения устойчивости краевой задачи (1, 2) следует, что существует единственное решение задачи (20, 21), . Но задача (18, 19) совпадает с задачей (20, 21), и их единственные решения тоже совпадают: 
. А ввиду устойчивости краевой задачи (1, 2) по правой части дифференциального уравнения должно выполняться неравенство (22). Подставляя туда равенства и , получим
. (23)
Из неравенства (23) непосредственно следует доказываемое утверждение.
Теорема 2. Пусть на 
невязка 
удовлетворяет условию Липшица и при каждом значении на этом отрезке задана сетка точек 
, покрывающая , а расстояние от любой точки до ближайшего узла сетки не превышает положительной постоянной 
, причем 
при 
. Пусть значения неизвестных постоянных 
при каждом натуральном значении единственным образом определяются из условий обнуления невязки в узлах сетки:
, 
. (24)
Тогда
.
Доказательство. Зафиксируем произвольное натуральное значение . Модуль невязки 
также удовлетворяет условию Липшица, а следовательно, является непрерывной и ограниченной функцией на и имеет максимум на этом отрезке. Обозначим константу Липшица для модуля невязки 
. Пусть 
- одна из точек максимума модуля невязки, а 
- ближайший узел сетки, в котором модуль невязки обращается в 0. Расстояние между этими точками
. (25)
Запишем условие Липшица для модуля невязки:
. (26)
Учитывая неравенство (25), а также то, что 
, 
, из условия (26) получим:
при .
Отсюда следует утверждение нашей теоремы.
Из сходимости приближенного непрерывного решения к точному непрерывному решению следует, очевидно, сходимость приближенного сеточного решения к точному сеточному решению.
При достаточной степени гладкости точного решения краевой задачи, позволяющей использовать оценку погрешности интерполяции, будет справедливо и обратное утверждение.
Исходя из приведенных соображений, можно сформулировать общий принцип постановки условий для определения неизвестных величин , которые могли бы (в определенных условиях) обеспечить сходимость непрерывного приближенного решения краевой задачи к точному решению при 
. В условиях теоремы 1 эти условия должны обеспечивать предельное обнуление невязки: . А в условиях теорем 1 и 2 можно использовать условия обнуления невязки в узлах сетки (24).
Аналогично формулируются принцип предельного обнуления невязки и условия обнуления невязки в узлах сетки для краевой задачи (4, 5).
На основе описанного подхода можно построить много разных численных методов решения линейных краевых задач. Рассмотрим одну из таких вычислительных схем. Непрерывные приближенные решения и полностью определяются обобщенным приближенным сеточным решением с компонентами (; ). Компоненты 
и 
будем определять точно, используя граничные условия (5) и свойства (8):
, 
. (27)
Для определения остальных компонент обобщенного сеточного решения сформулируем условия, аналогичные условиям (24). Потребуем, чтобы на каждом 
(
) выполнялись следующие условия:
, ; (28)
, ; (29)
, ; (30)
, . (31)
Учитывая определение невязки и свойства (8), условия (28) и (29) можно записать в виде
,
.
Отсюда мы получим выражения для компонент 
через компоненты 
и 
:
, , (32)
, . (33)
Подставляя в выражение для невязки (10) представление для приближенного решения (7) и выражения (32) и (33), получим
=
+
при , , (34)
где
при , . (35)
Подставляя в условия (30) и (31) выражения для невязки (34), (35) и выражения для компонент 
и 
приближенного сеточного решения (32) и (33), получим линейную систему вида
, , (36)
, . (37)
Здесь
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
,
.
Добавляя к уравнениям (36), (37) выражения (27), мы получим линейную систему относительно компонент обобщенного приближенного сеточного решения (
) и (). Число уравнений совпадает с числом неизвестных. Для решения системы предлагается эффективный прямой метод. Рассмотрим его.
Обозначим
, 
, .
Несложно показать, что
, .
Таким образом, при любом значении 
() система двух уравнений (36, 37) будет иметь единственное решение как относительно 
, 
, так и относительно 
, 
при достаточно маленьких значениях (при достаточно больших значениях ). Поэтому для решения системы (27, 36, 37) мы будем строить прямой численный метод, аналогичный методу прогонки [1].
Запишем уравнения (36, 37) при 
и, подставив в первое уравнение выражение (27), получим
, (38)
. (39)
Здесь
, 
, 
, 
.
Решим систему (38, 39) относительно 
, 
и подставим это решение в уравнения (36, 37) при 
. В результате получим систему линейных уравнений такого же вида:
, (40)
. (41)
Решим систему (40, 41) относительно 
, 
и подставим это решение в уравнения (36, 37) при 
. В результате опять получим систему линейных уравнений такого же вида. Продолжая этот процесс, после 
-й подстановки мы получим систему вида
,
.
Решив систему относительно 
, 
, получим
, (42)
. (43)
Здесь
.
Подставим выражения (42, 43) в систему
,
,
которая получается из уравнений (36, 37) формальной заменой на 
. В результате получается следующая система:
, 
. (44)
Здесь
, 
, (45)
, 
, (46)
, 
, (47)
, 
. (48)
Выполняя описанные подстановки по формулам (44 –48) при 
, мы в конце получим систему вида
, 
.
Подставив в нее второе выражение (27), получим систему из двух уравнений с двумя неизвестными, 
и 
:
, 
. (49)
Если определитель матрицы коэффициентов этой системы
,
то система (49) будет иметь единственное решение:
, 
.
Затем, по формулам (42, 43) получаем остальные неизвестные.
Непрерывное приближенное решение получается на основе приближенного сеточного решения по формулам (7) и (9).
Погрешности непрерывных решений и являются решениями краевых задач (18, 19) и (16, 17) соответственно. Для их получения необходимо решить эти задачи. Но задача (18, 19) совпадает с задачей (1, 2), если положить 
, 
. Поэтому для определения мы будем использовать описанный численный метод, но количество отрезков разбиения необходимо выбирать отличным от . Оценка погрешности представляется аналогично приближенному решению. Вначале вводится функция, аналогичная :
=
+
при 
, 
.
Компоненты 
определяются аналогично тому, как определялись компоненты 
. А в качестве приближенной оценки погрешности приближенного решения 
выберем
.
При расчетах значение необходимо выбирать большим или равным 
. Это связано с тем, что невязка имеет приближенно синусоидальный график (рис. 1) и расстояние между нулями этой функции равно 
.
Описанный метод был реализован в виде программы на языке Visual Basic. Приведем в качестве иллюстрации возможностей метода некоторые численные результаты. Рассматривалась следующая модельная краевая задача:
, 
, 
.
Существует единственное решение этой задачи:
, 
.
Предложенная в статье вычислительная схема решения первой краевой задачи путем элементарной модификации может применяться для решения второй и третьей краевых задач.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бахвалов, методы / , , . - М.: Наука, 19с.
2. Трубников, кривые / // Вестн. БГУ. Естественные и точные науки. – 2004. - № 4. - С.122-128.
3. Трубников, С. В. О новом подходе к построению численных методов решения одномерных задач Коши на основе эрмитовой кусочно-многочленной интерполяции / // Вестн. БГУ. Естественные и точные науки. – 2004. - № 4. - С. 199-217.
Материал поступил в редколлегию 26.02.08.
Основные порталы (построено редакторами)