Интерференционные эффекты и релятивистское жесткое движение
Научное направление: физика и астрономия, физика.
Ключевые слова: релятивистское жесткое движение, эффект Саньяка.
Введение
Рассмотрение релятивистского движения континуума представляет собой первостепенную задачу релятивистской гидродинамики и релятивистской теории упругости. Одним из основополагающих является понятие жесткого движения.
И классической, и в релятивистской механике жестким называется такое движение континуума, при котором существует такая система отсчета, в которой пространственное расстояние между двумя произвольными частицами не изменяется при движении.
По определению недеформируемости, приведенному в [1], при жестком движении континуум недеформируем, поэтому в настоящей работе понятия “жесткое движение континуума” и “движение недеформируемого континуума” не различаются.
Следует различать понятия динамической и кинематической жесткости движения. В соответствии с [1], в релятивистской механике, в отличие от классической, вследствие конечности скорости распространения взаимодействий не существует понятия абсолютно твердого тела. Под абсолютно твердым подразумевается такое тело, которое не деформируется при произвольном внешнем воздействии. Действительно, произвольное внешнее воздействие, которому подвергается выделенная точка тела, вследствие конечности скорости распространения взаимодействий отражается на остальных его точках не мгновенно и тело неизбежно деформируется. Таким образом, в релятивистской механике динамически жесткое движение, то есть движение абсолютно твердого тела, невозможно. В то же время кинематически жесткое движение (КЖД), при котором каждая точка тела подвергается такому внешнему воздействию, чтобы деформации тела не происходило, в релятивистской механике принципиально возможно.
Проблема описания релятивистского КЖД континуума актуальна в связи с тем, что такие релятивистские интерференционные эффекты, как эффект Саньяка [2], в настоящее время рассматриваются, как правило, без учета деформации континуума при нежестком движении. В действительности этой деформацией можно пренебречь лишь при условии, что скорости частиц малы по сравнению со скоростью распространения взаимодействий. Оно выполняется, как правило, в лабораторных условиях. В то же время релятивистские интерференционные эффекты наблюдаются и за их пределами.
В лабораторных условиях эффект Саньяка зарегистрирован не только для электромагнитных волн оптического диапазона, радиоволн и рентгеновских лучей, но и для волн неэлектромагнитной природы – волн де Бройля материальных частиц (электронов [3], [4], нейтронов [5], [6], атомов кальция [7], натрия [8], цезия [9]). В то же время именно эффект Саньяка для волн де Бройля нейтронов играет важную роль в таких релятивистски вращающихся макроскопических квантовых объектах, как пульсары – вращающиеся нейтронные звезды. Они являются источниками узконаправленного потока радиоизлучения, наблюдение рассеяния которого на пути от пульсара до наблюдателя дает возможность сделать некоторые выводы о распределении и характерных размерах неоднородностей межзвездной среды. Справедливость этих выводов определяется предположениями о внутреннем строении пульсаров. В связи с двойственной (релятивистской и квантовой) природой пульсара возможно, в частности, заметное отклонение распределения его массы от сферической симметрии. Поэтому проблема рассмотрения интерференционных эффектов в релятивистски вращающихся макроскопических квантовых объектах с выделением КЖД и последующим учетом деформации является актуальной.
Помимо астрофизики проблема описания релятивистского КЖД имеет непосредственное отношение и к прецессии гироскопа в гравитационном поле, на рассмотрении которой основаны современные экспериментальные проверки ОТО и других теорий гравитации [10].
КЖД континуума в рамках СТО впервые рассматривается в работе М. Борна [11], в которой Борн сформулировал условие КЖД (условие Борна) и описал КЖД в пространстве размерности 
с псевдоевклидовой метрикой 
, оставив в стороне представляющее значительно больший интерес КЖД в пространствах размерности 
и 
с псевдоевклидовыми метриками 
и 
соответственно.
Дискуссия о КЖД континуума в рамках СТО продолжается в работах П. Эренфеста, Г. Герглотца, Ф. Нетера, В. Игнатовского, М. Планка и М. Лауэ. В работе Лауэ [12] аналогично [1] отрицается существование в релятивистской механике абсолютно твердых тел, но аналогично [13] признается принципиальная возможность КЖД.
Очевидным недостатком условия Борна является то, что оно не инвариантно относительно произвольного преобразования координат в рамках системы отсчета и является лишь необходимым, но не достаточным условием КЖД.
В настоящей работе
1. мы сформулируем новое, необходимое и достаточное условие КЖД, лишенное этого недостатка, обобщив условие Борна и дополнив его условием его инвариантности относительно произвольного преобразования координат в рамках системы отсчета.
2. воспользовавшись новым условием КЖД, мы найдем метрику, описывающую КЖД, и точные уравнения траекторий движения частиц при КЖД в пространствах размерности и . Обобщение на случай плоского пространства произвольной размерности не составляет труда.
3. исходя из найденных уравнений траекторий, мы рассмотрим нерелятивистский предел и выделим релятивистское КЖД, не соответствующее никакому классическому КЖД, то есть существенно релятивистское КЖД.
4. исходя из найденной метрики, мы покажем, что при КЖД парадоксы, аналогичные парадоксу Эренфеста, отсутствуют, и рассчитаем величину эффекта, аналогичного эффекту Саньяка, в частном случае существенно релятивистского КЖД в пространстве размерности .
Новое, необходимое и достаточное условие КЖД
Рассмотрим движение континуума в пространстве размерности относительно некоторой инерциальной системы отсчета. Будем считать, что контравариантные компоненты радиус-вектора каждой отдельной частицы 
, 
, 
, 
являются функциями четырех переменных 
, 
, 
, 
, удовлетворяющими начальным условиям
, 
, 
, 
, (1)
, 
, 
(2)
Таким образом, в начальный момент времени 
каждая отдельная частица покоится в точке, контравариантные компоненты радиус-вектора которой равны 
. Переменные 
принимают различные значения для различных частиц, но одинаковые значения в различных точках, принадлежащих мировой линии одной и той же частицы.
Будем считать, что в пространстве размерности 
, где 
, латинские индексы принимают значения от 
до 
, а греческие – от 
до , тогда метрика
, (3)
где 
– ковариантные компоненты метрического тензора в координатах 
.
В соответствии со сформулированным в [1] определением элемента 
пространственного расстояния между двумя произвольными точками тела в связанной с ним системе отсчета,
(4)
Эту же формулу можно получить, произведя последовательное обобщение формул, приведенных в [11], на случай переменной 
, вообще говоря, не совпадающей с собственным временем частицы 
.
В соответствии с определением (4) пространственное расстояние между двумя произвольными точками тела в связанной с ним системе отсчета не изменяется при условии
(5)
Это условие КЖД обобщает условие Борна. Можно показать, что условие КЖД, приведенное в [14], эквивалентно условию (5).
В дальнейшем мы не будем злоупотреблять выражением “можно показать”. Все не очевидные утверждения, приведенные в настоящей работе, не голословны, а основаны на строгих доказательствах, не приведенных вследствие того, что они достаточно громоздки.
Условие (5) не зависит от выбора координат в рамках системы отсчета и, следовательно, инвариантно относительно преобразования координат
, 
(6)
лишь при условии
(7)
Поэтому определим КЖД как такое движение, при котором одновременно выполняются условия (5) и (7). Таким образом, их одновременное выполнение является необходимым и достаточным условием КЖД.
КЖД в пространстве размерности описывается метрикой
, (8)
где 
– некоторые функции переменной , а также метрикой, выраженной через координаты 
, связанные с координатами преобразованием (6).
Траектории КЖД в пространствах размерности и
В пространстве размерности новое условие КЖД эквивалентно условию КЖД, приведенному в [15]. В этом пространстве КЖД описывается функциями
, 
, (9)
где 
– некоторые функции переменной , удовлетворяющие условию
(10)
и условиям, обеспечивающим выполнение начальных условий
, 
, 
(11)
Если 
, то формулы (9) допускают предельный переход 
к соответствующим формулам классической механики, описывающим КЖД в одномерном пространстве с евклидовой метрикой 
. Если же 
, то и 
. В этом случае из (9) получим
, 
(12)
Эти функции описывают релятивистское КЖД, не соответствующее никакому классическому КЖД, то есть существенно релятивистское КЖД. Эти же функции можно получить, потребовав выполнения условия Борна в изотермических, или конформных, координатах [16].
Из (12) получим 
, то есть абсолютная величина 
радиус-вектора частицы при существенно релятивистском КЖД не зависит от . Это условие существенно релятивистского КЖД выполняется не только в пространстве размерности , но и в пространствах размерности и .
КЖД в пространстве размерности описывается функциями
(13)
где 
– некоторые функции переменной . Матрица
(14)
где 
– некоторая функция переменной , описывает вращение системы координат в плоскости 
, а матрицы
, 
(15)
где 
– некоторые функции переменной , описывают вращения в плоскостях 
, 
соответственно. Функции 
переменной удовлетворяют условиям
, (16)
, 
(17)
и условиям, обеспечивающим выполнение начальных условий
, 
, 
, (18)
, 
(19)
Если , то формула (13) допускает предельный переход к соответствующим формулам классической механики, описывающим плоскопараллельное КЖД в двумерном пространстве с евклидовой метрикой 
. Если же , то и 
, 
. В этом случае КЖД является существенно релятивистским.
Парадокс Эренфеста и эффект Саньяка
В соответствии с [1], [17], [18], парадокс Эренфеста заключается в следующем. Предположим, что недеформируемый диск равномерно вращается вокруг своей оси с угловой скоростью 
. Это движение описывается функциями
, 
, 
(20)
где 
, 
. Из (20) получим
(21)
Из (4), (21) получим, что квадрат элемента пространственного расстояния
, (22)
откуда
(23)
где 
– постоянная, причем 
. Парадоксальное, на первый взгляд, неравенство (23) противоречит сделанному предположению о недеформируемости диска.
Парадокс Эренфеста свидетельствует о том, что равномерное вращение диска вокруг своей оси не является КЖД в пространстве размерности , то есть сопровождается деформацией диска. Действительно, функции (20), удовлетворяющие начальным условиям (18) и условию (5), не удовлетворяют ни начальным условиям (19), ни условию (7).
При истинном КЖД в пространстве размерности , где , квадрат элемента пространственного расстояния
(24)
и парадоксы, аналогичные парадоксу Эренфеста, отсутствуют. В частности, при истинном КЖД в пространстве размерности квадрат элемента пространственного расстояния
, (25)
откуда
(26)
Равномерное вращение диска вокруг своей оси относится и к эффекту Саньяка. В соответствии с [2], этот эффект заключается в существовании разности фаз встречных волн произвольной природы, распространяющихся в произвольной среде по окружности (например, в волоконном кольцевом интерферометре или обычном кольцевом интерферометре в случае, когда количество расположенных вдоль окружности зеркал или призм полного внутреннего отражения стремится к бесконечности). Эта разность фаз равна
, (27)
где – угловая скорость вращения интерферометра, – радиус окружности, 
– частота волны в системе отсчета, сопровождающей вращение интерферометра. Разность времен распространения встречных волн в этой системе отсчета равна
(28)
В случае распространения встречных электромагнитных волн по окружности во вращающемся кольцевом интерферометре, не заполненном оптической средой, разность времен (28) можно получить, исходя непосредственно из метрики (21).
В соответствии с [2], [3], разность фаз встречных волн де Бройля материальных частиц в приближении Вентцеля-Крамерса-Бриллюэна равна
, (29)
где 
– полная энергия материальной частицы.
Формулы (27), (29) получены без учета деформации, которой неизбежно подвергается интерферометр, равномерное вращение которого не является КЖД. Рассчитаем величину эффекта, аналогичного эффекту Саньяка, присутствующего при КЖД, то есть в отсутствие деформации континуума. Рассмотрим метрику
, 
, (30)
где 
– безразмерная постоянная. Эта метрика соответствует частному случаю существенно релятивистского КЖД в пространстве размерности . При 
, где – положительная постоянная, из (30) получим
(31)
Предположим, что одна электромагнитная волна распространяется в вакууме по окружности радиуса от 
(при 
) до 
, а другая – от 
(при ) до , где 
– постоянная, причем 
, тогда разность времен распространения встречных волн, измеренная в месте их встречи , в линейном приближении по равна
, 
(32)
Аналогия выражений (28) и (32) заключается в том, что они обращаются в нуль при 
и 
соответственно. Таким образом, аналогично тому, как эффект Саньяка отсутствует при , рассмотренный эффект отсутствует при .
Выводы
В настоящей работе
1. сформулировано новое, необходимое и достаточное условие КЖД, удовлетворяющее естественному условию инвариантности относительно произвольного преобразования координат в рамках системы отсчета.
2. найдена метрика, описывающая КЖД, и точные уравнения траекторий КЖД в пространствах размерности и .
3. рассмотрен нерелятивистский предел и выделено существенно релятивистское КЖД, не соответствующее никакому классическому КЖД.
4. показано, что при КЖД парадоксы, аналогичные парадоксу Эренфеста, отсутствуют.
5. в частном случае существенно релятивистского КЖД в пространстве размерности 
рассчитана величина эффекта, аналогичного эффекту Саньяка.
Найденные уравнения траекторий КЖД дают возможность рассчитать величину эффекта Саньяка и других интерференционных эффектов в релятивистски вращающихся макроскопических квантовых объектах.
Литература
1. , , Теория поля, М.: Наука, 1988
2. , Эффект Саньяка. Корректные и некорректные объяснения, Успехи Физических Наук, 170, 1325 – 1
3. F. Hasselbach, M. Nicklaus, Sagnac experiment with electrons: observation of the rotational phase shift of electron waves in vacuum, Phys. Rev. A 48, 143 –
4. R. Neutze, F. Hasselbach, Sagnac experiment with electrons: reanalysis of a rotationally induced phase shift for charged particles, Phys. Rev. A 58, 557 –
5. S. A.Werner, J. L.Staudenmann, R. Colella, Effect of Earth’s rotation on the quantum mechanical phase on the neutron, Phys. Rev. Lett. 42, 1103 – 1
6. M. Dresden, C. N.Yang, Phase shift in a rotating neutron or optical interferometer, Phys. Rev. D 20, 1846 – 1
7. F. Riehle, Th. Kisters, A. Witte, J. Helmcke, Ch. J.Borde, Optical Ramsey spectroscopy in a rotating frame: Sagnac effect in a matter-wave interferometer, Phys. Rev. Lett. 67, 177 –
8. A. Lenef, T. D.Hammond, E. T.Smith, M. S.Chapman, R. *****benstein, D. E.Pritchard, Rotation sensing with an atom interferometer, Phys. Rev. Lett. 78, 760 –
9. T. L.Gustavson, P. Bouyer, M. A.Kasevich, Precision rotation measurements with an atom interferometer gyroscope, Phys. Rev. Lett. 78, 2046 – 2
10. http://einstein. stanford. edu/content/final_report/GPB_FinalPFARscrn. pdf
11. М. Борн, Теория недеформируемого электрона в релятивистской кинематике, Ann. d.Phys.
12. М. Лауэ, К дискуссии о твердом теле в теории относительности, Phys. Zischr.
13. В. Паули, Теория относительности, М.: Наука, 1991
14. G. Salzman, A. H.Taub, Born-type rigid motion in relativity, Phys. Rev. 95, 1659 – 1
15. Дж. Синг, Общая теория относительности, М.: Издательство иностранной литературы, 1963
16. , , Современная геометрия: методы и приложения, М.: Наука, 1986
17. H. Nicolic, Relativistic contraction and related effects in noninertial frames, Phys. Rev. A
18. Jae Ho Hur, Sang Gyu Jo, Rigid Motion and Ehrenfest's Paradox, Journal of the Korean Physical Society 47, 568 –
Основные порталы (построено редакторами)