Московский государственный институт
Электроники и математики
(технический университет)
Кафедра
«Информационно-коммуникационные технологии»
Домашняя работа
по дисциплине
«Основы теории управления»
Выполнил:
Студент группы С – 55
Н
Проверил:
Москва 2009
Содержание
Аннотация. 3
Техническое задание. 4
Анализ технического задания. 5
Алгоритм решения. 5
Тестовый пример. 8
Анализ устойчивости по управлению.. 9
Поиск параметра (критерий Гурвица) 11
Анализ устойчивости по возмущению.. 18
Поиск параметра (критерий Гурвица) 19
Проверка алгебраическим методом.. 19
Заключение. 25
Использованная литература. 25
Аннотация
В работе проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислен коэффициент обратной связи, при котором система устойчива. Анализ производился с помощью алгебраического (Рауса/Гурвица/Лгенар-Шипаро) и геометрического (Михайлова/Найквиста) критериев.
Техническое задание
Для заданной модели определить коэффициент усиления звена k системы с тем, что система будет:
· устойчивой;
· неустойчивой.
Построить частотные и временные характеристики.
Анализ устойчивости проводить алгебраически (критерий Гурвица) и геометрически (критерий Михайлова/Найквист).
 |
Анализ технического задания
Анализируемая система является многомерной, многоконтурной, линейной, непрерывной, стационарной, детерминированной системой управления с сосредоточенными параметрами и аналоговыми сигналами.
В процессе решения возникает проблема вычисления корней полиномов высокой степени, а также вычисления определителей матриц высокого порядка. С целью ускорения таких вычислений в работе применено средство автоматизированного вычисления Maple 12.
Алгоритм решения
1. Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по выходу
2. Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований
3. Критерий Гурвица
4. Критерий Михайлова/Найквиста
Рассмотрим пункты более подробно:
1. Разделение многомерной системы на две системы: по входу и по выходу
Реакция системы на несколько одновременно действующих входных воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности.
где, х — вектор состояний, с — скаляр, L — линейный оператор.
2. Поиск передаточной функции системы (эквивалентного звена) с помощью эквивалентных преобразований
В структурных схемах системы реализуются только операции умножения и суммирования передаточной функции и звеньев.
Поскольку эти операции коммутативны, ассоциативны и дистрибутивны, то задача построения структурной схемы системы может решаться неоднозначно, т. е. можно получить несколько вариантов графического представления. Но после соответствующих преобразований оказывающихся эквивалентными.
A = <M,Ω>
Л = {∙, +} f: W2 ─> W
М = {W}i =1,n f = W×W
Множество возможных преобразований строится на основе двух основных свойств звеньев (сложение и умножение)
Совокупность последовательно соединенных n однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого равна произведению передаточных функций исходных звеньев.
Действительно, т. к. y1= W1(p)V1, … , y= Wn(p)yn-1, то исключив из этой системы y1…yn-1 получим y = W1(p)*W2(p)*…*Wn(p)*V
Совокупность параллельно соединенных однородных звеньев можно заменить одним звеном, передаточная функция которого есть сумма передаточных функций звеньев.
y1 = W1(p)*V, y2 = W2(p)*V, … , yn = Wn(p)*V
Сложив эти n уравнений, имеем:
Поиск характеристического уравнения системы.
Анализ характеристического уравнения алгебраическим методом или с помощью алгебраических или геометрических критериев.
Алгебраический метод подразумевает под собой поиск корней характеристического уравнения и проверку принадлежности их к левой полуплоскости комплексных чисел.
3. Критерий Гурвица
Пусть 
— передаточная функция системы, а
— характеристическое уравнение системы. Представим характеристический полином 
в виде
Из коэффициентов характеристического уравнения строится определитель Гурвица Δ по алгоритму:
1) по главной диагонали слева направо выставляются все коэффициенты характеристического уравнения от 
до 
2) от каждого элемента диагонали вверх и вниз достраиваются столбцы определителя так, чтобы индексы убывали сверху вниз;
3) на место коэффициентов с индексами меньше нуля или больше 
ставятся нули.
Тогда согласно критерию Гурвица:
Для того, чтобы динамическая система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все диагональных миноров определителя Гурвица были положительны. Эти миноры называются определителями Гурвица.
4.1 Критерий Михайлова
Все корни характеристического уравнения с действительными коэффициентами и а0=1 имеют строго отрицательные действительные части тогда и только тогда, когда комплекснозначная функция 
Действ. перем. 
описывает в комплексной плоскости Z кривую (годограф Михайлова), начинающуюся на положительной действительной полуоси, не попадающую в начало координат и последовательно проходящую против хода часовой стрелки и квадрантов.
4.2 Критерий Найквиста
Этот критерий позволяет по годографу амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы судить об устойчивости ее в замкнутом состоянии. Предполагая, что степень полинома частотной характеристики разомкнутой системы 
в числителе меньше, чем степень полинома знаменателя частотной характеристики разомкнутой системы, а также, что указанные полиномы не имеют общих корней с неотрицательной вещественной частью. Критерий Найквиста формулируется следующим образом:
Система неустойчивая в разомкнутом состоянии и имеющая m корней с положительной вещественной частью будет устойчива в замкнутом состоянии если амплитудно-фазовая характеристика 
охватывает точку (-1, 
) в направлении против хода часовой стрелки 
раз.
Тестовый пример
Анализ устойчивости по управлению
В соответствии с алгоритмом, анализ устойчивости системы разбивается на две части: по управлению(входу) и по возмущению(выходу).
Вычисление передаточной функции по управлению
 |
Схема, управляемая входом X(p)
 |
Преобразование схемы к эквивалентному звену:
 |
 |
Откуда найдем эквивалентное звено заменой участков схемы с обратными связями на эквивалентные звенья (для краткости, в формуле произведены замены вида w1(p) → w1):
Поиск параметра (критерий Гурвица)
Коэффициенты знаменателя:
Составляем матрицу Гурвица:
Все диагональные миноры матрицы H должны быть больше 0 одновременно:
Таким образом, по критерию Гурвица, при 
система устойчива по управлению.
Проверка алгебраическим методом
Проверим алгебраическим методом устойчивость системы
Графики
Критерий Михайлова
Критерий Найквиста
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
Амплитудно-частотная характеристика
Вещественно-частотная характеристика
Мнимо-частотная характеристика
Фазо-частотная характеристика
Анализ устойчивости по возмущению
Вычисление передаточной функции по возмущению
 |
Преобразование схемы к эквивалентному звену
Откуда найдем эквивалентное звено заменой участков схемы с обратными связями на эквивалентные звенья (для краткости, в формуле произведены замены вида w1(p) → w1):
Поиск параметра (критерий Гурвица)
Коэффициенты знаменателя:
Составляем матрицу Гурвица:
Все диагональные миноры матрицы H должны быть больше 0 одновременно:
Таким образом, по критерию Гурвица, при
система устойчива по выходу.
Проверка алгебраическим методом
Проверим алгебраическим методом устойчивость системы
Графики
Критерий Михайлова
Критерий Найквиста
Амплитудно-фазовая частотная характеристика
Амплитудно-частотная характеристика
Вещественно-частотная характеристика
Мнимо-частотная характеристика
Фазо-частотная характеристика
Заключение
В данной работе был проведен анализ устойчивости многомерной системы и по результатам анализа вычислен интервал значений коэффициента обратной связи
), при котором система устойчива. Анализ производился алгебраическим методом, а именно, с помощью алгебраического (Гурвица) и геометрического (Михайлова) критериев. Критерии позволяют оптимизировать анализ устойчивости системы. Математические пакеты позволяют во много раз ускорить вычисления требуемых величин.
Использованная литература
1. Лекции ОТУ,
2. «Теории автоматического управления»
3. Справочная информация о Maple
