Задача 2.1

 Задача 2.1.

 Проводник с током, равномерно распределённым по его поперечному сечению и имеющему плотность j, имеет форму трубки, внешний и внутренний радиусы которой равны R0 и R соответственно. Магнитная проницаемость меняется по закону m=f(r).
 Построить графически распределения модулей векторов индукции магнитного поля B и напряжённости магнитного поля H, а также модуля вектора намагниченности J в зависимости от r в интервале от R до R0. Определить поверхностную плотность токов намагничивания i'п на внутренней и внешней поверхностях трубки и распределение объёмной плотности токов намагничивания i'об(r).

Решение:

В качестве контура возьмём окружность с центром на оси трубки и радиусом R<r<R0. Найдём циркуляцию вектора H по этому контуру:

∫ Hdl=I

, R<r<R0

Найдём магнитную индукцию в магнетике.

Так как B=μμ0H , тогда индукция магнитного поля при R<r<R0:

, R<r<R0

Найдём намагниченность в магнетике.

Так как J=χH, тогда намагниченность в магнетике:

, R<r<R0

Построим графики H(r), B(r) и J(r):

График H(r)

График B(r):

График J(r):

Найдём объёмную плотность токов намагничивания j' в магнетике:

j'=rot(J)

В цилиндрической системе координат:

j'=((1/2)(∂Jz/∂φ)-∂Jφ/∂z)er+(∂Jr/∂z-∂Jz/∂r)eφ+(1/2)(∂(rJφ)/∂r-∂Jz/∂φ)ez

Учитывая осевую симметрию получаем:

j'(r)=(1/r)∙∂(rJ)/∂r

, R<r<R0

График J(r):

Найдём ток намагничивания I' в магнетике. Циркуляция вектора J:

∫ Jdl=I'

Циркуляция вектора J по окружности радиусом R<r<R0:

I'(r)-ток намагничивания, охватываемый контуром радиуса r.

Тогда B(r) можно найти другим способом. Циркуляция вектора B:

∫ Bdl=μ0(I+I')

Циркуляция вектора B по окружности радиусом R<r<R0:

B(r)∙2πr=μ0(I(r)+I'(r))

I(r)-ток проводимости, охватываемый контуром радиуса r: I(r)=jπ∙(r2-R2)

Откуда:

, R<r<R0

Это выражение полностью совпадает с выражением для B(r), полученным выше.

Найдём молекулярные токи намагничивания i'внутр и i'внеш на внутренней и внешней поверхностях. На внутренней поверхности ток намагничевания i'внутр=0, а на внешней поверхности ток намагничивания равен:

i'внеш=I'(R0)/(2πR0)

I'(R0)=(-21/8) )∙jπR2 - это ток намагничивания, протекающий через всё поперечное сечение трубки. Этот ток противоположен по направлению току проводимости I.

i'внеш=(-21/32) ∙jR