Министерство образования Российской Федерации
Самарский Государственный Аэрокосмический Университет имени академика

Лабораторная работа №1

Расчет параметров регулятора для

линейной динамической системы

Вариант 94

Выполнил:

Группа: 645
Проверил:

Самара 2007

Постановка задачи

Линейная динамическая система, описывающая поведение объекта управления, записывается в виде

, (1)

где - вектор переменных состояния системы, - скалярное управление, матрица и вектор характеризуют объект управления и считаются заданными. В данной лабораторной работе размерность вектора состояния .

При рассмотрении задачи управления линейной динамической системой обычно в качестве критерия оптимальности применяется функционал с квадратичной подинтегральной функцией

. (2)

Здесь , - симметричная квадратичная форма вектора

, (3)

где - транспонированный вектор , - квадратная симметричная матрица.

Предполагается, что функция есть положительно определенная квадратичная форма , причем только при . Проводя перемножения в соотношении (3) в скалярном виде можно записать

, (4)

Для системы второго порядка функция принимает вид

. (5)

Задача оптимального управления линейной динамической системой формулируется так: среди допустимых управлений системой (1) найти такое управление, которая доставляет минимум функционалу (2) и переводит систему из начального положения в начало координат , где - время перехода.

Для нашего случая:

, где

Расчет оптимального регулятора линейной динамической системы (ЛДС)

1  Определение управляемости ЛДС

Рассмотрим динамическую систему:

,

где , , , u=u(y1, y2).

Найдем матрицу преобразования V. Для этого найдем собственные числа и вектора матрицы В.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

,

где V(1), V(2) – собственные вектора матрицы В.

В главных координатах: y=Vy*, тогда система примет вид: ,

Где ,

(λ1,2 – собственные значения матрицы В)

.

Критерий Гильберта: Динамическая система (1) является управляемой, если она может быть переведена из любого начального состояния в любое другое желаемое состояние за некоторый промежуток времени путем приложения допустимого управления .

Для определения управляемости линейная система (1), должна быть приведена к главным координатам

, , (6)

где собственные значения матрицы , - преобразованный вектор .

Система (1) приводится к виду (6), если среди собственных значений матрицы нет кратных .

Тогда, согласно критерию Гильберта : система (1) управляема, если ни один из компонентов вектора не является нулевым, где - матрица собственных векторов для матрицы .

В нашем случае получаем:

, матрица не содержит нулевых элементов, т. е. система управляема по Гильберту.

2  Исследование ЛДС без управления (u=0). Фазовый портрет системы

Пусть u=0, тогда система примет вид:

, собственные значения матрицы В равны λ1= 0.03, λ2= 0.0002. Т. е. Получаем особую точку типа «неустойчивый узел».

Рис. 1 - Фазовый портрет системы без управления.

3  Решение задачи оптимального управления системы u.

Принцип оптимальности Беллмана для ЛДС.

– линейная динамическая система

y – отклонение от начала координат или от заданного направления.

– квадратичный критерий оптимальности,

где c>0,

а – положительно определенная матрица;

, .

Применим принцип Беллмана для нахождения оптимального управления:

,

где u – управление, скалярная величина.

,

– необходимое условие экстремума,

;

Составим систему относительно А11, А22 и А12 и решим ее в общем виде:

В результате решения получаем следующее решение:

Коэффициенты оптимального регулятора рассчитываются по формуле:

Проверим выполнение условий Сильвестра:

В нашем случае мы получили:

Таким образом оптимальное управление

4  Исследование динамической системы с управлением.

Учитывая управление получаем новую матрицу В.

Собственные значения новой матрицы

Получили особую точку типа «устойчивый узел»

Рис. 2 - Фазовый портрет системы с управлением.

5 Вывод.

Проверив управляемость линейной динамической системы, убедились в том, что она управляема по критериям Гильберта (следует заметить, что система хорошо управляема) и Калмана. Построив фазовый портрет системы без управления, получили особую точку типа «седло». Решив задачу оптимального управления системы, построили фазовый портрет системы с управлением и получили особую точку типа «устойчивый узел».

6.Листинг программы Mathcad

1.Начальные условия

2.Определение управляемости системы

a)Критерий Гильберта

Определим коэффициент управляемости

Проверка


?????

b)Критерий Кальмана

система управляема по критерию Кальмана

3. Построение фазового портрета

Задание правых частей дифференциальных уравнений

Зададим начальное и конечное время

Зададим количество точек на отрезке [t0,tk]




4. Определение управления

Найдем коэффициенты А11, А22, А12:

Проверим выполнение условия Сильвестра:

Коэффициенты оптимального регулятора:

Полученное уравнение:

Измененная матрица динамической системы:


5. Исследование полученной замкнутой системы

Тангенсы углов наклона: