Лабораторная работа № 2 "Рекуррентный метод наименьших квадратов параметрической идентификации ЛНД объекта"

Лабораторная работа № 2

Рекуррентный метод наименьших квадратов

параметрической идентификации ЛНД объекта.

1. Цель работы

Исследовать возможности идентификации коэффициентов дифференциального уравнения линейного динамического объекта на основе рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК).

2. Постановка задачи

Выполнить параметрическую идентификацию объекта, описывающегося дифференциальным уравнением

, , , (2.1)

или передаточной функцией

. (2.2)

Параметры объекта определяются показателями и , значения которых по вариантам приведены в табл. 2.1. Здесь же, в качестве дополнительной справочной информации приведены характер импульсной характеристики (ИХ) объекта и значение частоты , определяющей эффективную длительность амплитудной частотной характеристики (АЧХ) объекта, усеченной на уровне =0,05.

Априорной информацией для решения поставленной задачи являются реализации входного и выходного сигналов объекта.

Входной сигнал представляет собой сумму гармоник вида

, .

Выходной сигнал вычисляется путем решения дифференциального уравнения (2.1) и при необходимости искажается аддитивной помехой (уровня ), представляющей собой псевдослучайный процесс с равномерным законом распределения.

3. Порядок выполнения работы

1. Задать объект согласно варианту табл. 2.1.

2. Выбрать параметры сигналов и помех по рекомендациям, приведенным в «Примечаниях» (см. ниже).

3. Произвести идентификацию объекта. Оценить ошибки идентификации и сходимость оценок к истинным значениям параметров.

Таблица 2.1

№			Вид ИХ объекта	(р/с) АЧХ объекта
1	0,90	8	не колебательная	30
2	0,70	5	слабо колебательная	25
3	0,40	3	средне колебательная	10
4	0,30	10	сильно колебательная	30
5	0,20	2	сильно колебательная	10
6	1,00	10	не колебательная	50
7	1,20	4	не колебательная	20
8	0,50	2	слабо колебательная	10
9	0,35	5	средне колебательная	18
10	0,45	4	средне колебательная	14
11	0,60	6	слабо колебательная	27
12	1,25	5	не колебательная	20
13	0,30	4	сильно колебательная	16
14	0,75	8	не колебательная	35
15	0,55	5	слабо колебательная	22
16	0,25	4	сильно колебательная	17
17	1,15	3	не колебательная	12
18	0,35	8	средне колебательная	33
19	0,65	5	слабо колебательная	22
20	0,40	9	средне колебательная	36

4. Исследовать влияние на среднеквадратичную ошибку идентификации

следующих параметров:

- шага дискретизации по времени ;

- базовой частоты входного сигнала ;

- количества гармоник входного сигнала ;

- параметра формирующей функции ;

- параметра алгоритма идентификации,

- уровня помехи ;

Примечания.

1. Предварительное задание параметров и входного сигнала следует осуществлять после анализа вида АЧХ объекта (кнопка «ИХ, АЧХ»).

2. Параметр формирующих функций необходимо задавать из условия удачного расположения их АЧХ на фоне АЧХ объекта (кнопка «АЧХ форм. зв.»)

3. Выбор квазиоптимальных значений исследуемых параметров производить с сигналом , зашумленным невысоким уровнем () помехи.

4. Полученное в процессе исследования квазиоптимальное значение параметра сразу же использовать при следующем исследовании.

4. Содержание отчета

1. Цель работы.

2. Постановка задачи.

3. Математическая модель (дифференциальное уравнение, передаточная функция) идентифицируемого объекта с конкретными числовыми данными, согласно варианту.

4. Описание процедуры формирования координат объекта.

5. Алгоритмы РМНК параметрической идентификации.

6. Результаты исследований РМНК в виде графических зависимостей среднеквадратичной ошибки в функции от параметров , , а также рисунки с результатами идентификации параметров (сходимость оценок к истинным коэффициентам, ошибка идентификации в функции от количества итераций) при квазиоптимальных значениях исследуемых параметров.

7. Анализ результатов исследований и выводы.

5. Краткие теоретические сведения

С учетом обозначений

, , , ,

, ,

уравнение объекта (2.1) может быть представлено в виде

или в общем случае

. (2.3)

Уравнение (2.3) является линейным относительно идентифицируемых параметров и координаты объекта предполагаются доступными измерению.

Рассматривая вместо непрерывных функций их значения в дискретные моменты времени , можем записать дискретный аналог уравнения (2.3) в форме

. (2.4)

Придадим параметру ряд значений, например, положим . Тогда из уравнения (2.4) получаем систему линейных алгебраических уравнений вида

(2.5)

записанных относительно искомых параметров .

Вводя в рассмотрении – мерную матрицу, -мерный вектор неизвестных и -мерный вектор правой части -

представим систему (2.5) в векторно-матричной форме

(2.6)

где индекс “” отражает количество формируемых уравнений.

Поскольку в общем случае , то система (2.6) посредством первой трансформации Гаусса приводится к виду

. (2.7)

Решение алгебраической системы (2.7) при условии не вырожденности матрицы (это условие в случае идентификации линейных динамических объектов сводится к требованию, чтобы входной сигнал объекта был информативным и содержал не менее гармонических составляющих различных частот) может быть осуществлено любым из известных методов и формально записывается в виде

. (2.8)

Таким образом, решение задачи параметрической идентификации методом наименьших квадратов можно представить в виде следующих этапов:

1) формирование матриц и вектора ,

2) вычисление обратной матрицы ,

3) определение вектора неизвестных согласно выражению (2.8).

Так как на практике измеряемые реализации координат объекта искажены помехами , то для уточнения вычисляемых оценок искомых параметров можно воспользоваться дополнительной информацией измеренных реализаций координат объекта и сформировать новое уравнение

которым дополняется система (2.5). С учетом обозначения

получаем новую систему алгебраических уравнений

и задача определение новых оценок искомых параметров требует вычисления новой обратной матрицы и последующего использования соотношения

аналогичного соотношению (2.8).

При таком прямом подходе к учету каждого нового уравнения существенно возрастает сложность вычислений. Указанный недостаток может быть устранен, если вычисление новой обратной матрицы и новой оценки искомых параметров производить по ранее вычисленной матрице и оценке посредством специальной рекуррентной процедуры. Более того, используя данную рекуррентную процедуру, вычисления можно начать с момента формирования первого уравнения (т. е. при ), если задать начальные приближения оценки и матрицы в виде

, (2.9)

где -мерная диагональная единичная матрица. При этом процесс оценивания искомых параметров носит итерационный характер и с увеличением номера итерации (что соответствует количеству формируемых уравнений системы (2.6) и текущему дискретному моменту времени ) при отсутствии помех , оценки и сходятся к матрице и вектору . Рекуррентные вычисления можно организовать и таким образом, чтобы происходило “забывание” старой информации, т. е. чтобы при вычислении новой оценки основную роль играли последние уравнения системы (2.6), а степень влияния предыдущих уравнений уменьшалась.

Такая итерационная процедура вычисления оценок искомых параметров называется РМНК с экспоненциальным взвешиванием и на каждом -ом () шаге итерации характеризуется следующими расчетными соотношениями:

- вычисляется оценка матрицы -

, (2.10)

- вычисляется оценка вектора неизвестных -

. (2.11)

В выражении (2.10) параметр удовлетворяет условию

, (2.12)

причем с уменьшением скорость «забывания» старой информации возрастает. При старая информация не забывается, и имеем классический РМНК.

При использовании РМНК ошибка идентификации

на –ом шаге итерации порождается отличием оценки от матрицы , обусловленным двумя факторами, а именно:

- произвольными начальными условиями (2.9);

- наличием помех искажающих координаты .

Динамический объект, подлежащий идентификации, описывается дифференциальным уравнением и, таким образом, координаты объекта включают в себя не только входной и выходной сигналы, но и их производные. Измерению же доступны лишь реализации входного и выходного сигналов объекта, причем, как правило, искаженные помехами. В результате использование РМНК при идентификации динамических объектов наталкивается на дополнительные трудности, связанные с дифференцированием измеренных реализаций сигналов. Указанные трудности могут быть преодолены, если алгебраическую систему вида (2.6) формировать другим способом.

Уравнение объекта запишем в виде

. (2.13)

Данное уравнение с учетом обозначений

представляется в форме (2.3), где координатами объекта выступают входной сигнал , выходной сигнал и все его производные до -ой включительно. Запишем уравнение (2.13) в виде

.

Умножая данное уравнение на некоторые линейно независимые формирующие функции , и интегрируя по в пределах с учетом ,

, (2.14)

приходим к системе уравнений вида (2.6). Применение к интегралам вида (2.14) многократной операции интегрирования по частям дает

,

что в случае выбора функций , удовлетворяющих условиям

, (2.15)

и нулевых начальных условий объекта

(2.16)

позволяет определить координаты в форме

, (2.17)

.

Выражения (2.17) дают возможность вычислить координаты , только по входному и выходному сигналам.

В качестве функции удобно выбрать функцию

(2.16)

произвольная -ая производная которой имеет вид

, (2.17)

где

,

,

и удовлетворяет условиям (2.15).

Посредством надлежащего выбора параметров и можно обеспечить необходимый вид АЧХ формирующих функций, а тем самым фильтрацию высокочастотных помех .

Таким образом, применение предварительного преобразования уравнения объекта (2.13) с учетом (2.15) и (2.16) позволяет заменить операцию численного дифференцирования измеренной реализации операцией аналитического дифференцирования задаваемой в формульном виде функции и обеспечивает фильтрацию помех и .

6. Контрольные вопросы

1. Расчетные соотношения алгоритма идентификации.

2. Формирование координат объекта.

3. Параметр и его влияние на ошибку идентификации.

4. Параметры и и их влияние на ошибку идентификации.

5. Параметр и его влияние на ошибку идентификации.