Квадратные уравнения с параметрами и методы их решения

Руководитель: учитель математики

г. Саратов, МАОУ «Лицей № 37»

КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ

И МЕТОДЫ ИХ РЕШЕНИЯ

Если ты услышишь, что кто-то не любит математику, не верь. Ее нельзя не любить – ее можно только не знать. Эта наука раскроет тебе особый мир чисел и цифр; она поможет тебе поверить в свои силы и никогда не останавливаться на достигнутом.

Галиле́о Галиле́й (15.02.1564, Пиза — 8.01.1642, Арчетри).

Актуальность выбора темы. Просматривая различные пособия и сборники задач для поступающих в ВУЗы, я обратила внимание на то, что практически везде в них присутствуют примеры (уравнения и неравенства) с параметрами.

Новизна работы состоит в обобщении отобранного материала по теме в процессе работы с учебной литературой.

ВВЕДЕНИЕ

Задачам с параметрами должно уделяться большое внимание: 1) при решении задач с параметрами происходит повторение и более глубокое усвоение программных вопросов; 2) решение задач с параметром расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач; 3) задачи с параметром – эффективные упражнения для тренировки мышц интеллекта, при этом происходит развитие математического, логического мышления, умения анализировать, сравнивать, обобщать; 4) приобретаются навыки исследовательской работы; 5) помощь при подготовке к экзаменам; 6) формируются качества личности: трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

Параметр, будучи фиксированным, но неизвестным числом, имеет как бы двойственную природу. Во-первых, предполагаемая известность позволяет «общаться» с параметром как с числом, а во-вторых, степень свободы общения ограничивается его неизвестностью. Параметры, входящие в условие, существенно влияют на логический и технический ход решения и форму ответа.

ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

Основные понятия.

ПАРАМЕТР (от греческого – отмеривающий) – величина, значения которой служат для различения элементов некоторого множества между собой.

Квадратное уравнение – уравнение вида: a×x2+ b× x+ c=0, где коэффициенты a, b и c – произвольные числа, причем a ≠ 0. Его называют еще уравнением второй степени с одним неизвестным. Дискриминант - число D=b2−4×a×c. По его знаку можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение: 1) если D<0, то квадратное уравнение не имеет корней; 2) если D=0, то уравнение имеет один единственный корень: ; 3) если D>0, то уравнение имеет два решения: .

Задача 1. Найдите значение параметра а, при котором уравнение имеет единственный корень. Если таких значений несколько, в ответе запишите их сумму.

Решение: ООУ (область определения уравнения):

Данное уравнение сводится к равносильной системе:

Приведём её к виду:  и решим графически в системе координат (хОа) (Рис. 1). Уравнение имеет единственный корень при ,  и .

0 + 1 + 4 =5.

Ответ: 5.

Рис. 1. Графическое решение задачи 1.

 

Задача 2. Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра а, не принадлежащем промежутку (0; 2], выражение  не было равно выражению . (ЕГЭ-2007).

Решение: Переформулируем задачу: «Найдите все значения х такие, что при любом значении параметра  уравнение не имеет корней».

Выразим а через х:

; .

1)  Пусть . Тогда . Поэтому уравнение имеет корни. Значит,  не удовлетворяет условию.

2)  Пусть . Тогда . Воспользуемся системой координат (хОа) (Рис. 2):

Рис. 2. Графическое решение задачи 2.

 

Условию удовлетворяют .

Ответ: .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Параметр требует к себе осторожного и вдумчивого отношения. В работе рассмотрены лишь некоторые примеры, иллюстрирующие применение графического метода к решению квадратных уравнений с параметром. Но во многих задачах…"торчат уши квадратного трехчлена" [8]. Практически все, что окружает современного человека, так или иначе связано с математикой. А последние достижения в физике, технике и информационных технологиях не оставляют никакого сомнения, что и в будущем положение вещей останется прежним.

Список использованной литературы:

1.  М 79 Алгебра. 8 класс: В двух частях. Ч.1: Учебник для общеобразовательных учреждений. - 4-е издание - М.: Мнемозина, 20с.

2.  Большой энциклопедический словарь. Математика. - М.: Научное издательство «Большая Российская Энциклопедия», 1998.

3.  , , Якир с параметрами. – М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 2003.

4.  Задачи с параметрами. – Математика №2, 2003.

5.  Мещерякова с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям. – Математика в школе №5, 2001.

6.  Шевкин с параметром. Линейные уравнения и их системы: 8-9 классы. – М.: ТИД «Русское слово – РС», 2003.

7.  , , Потапов метод решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром. – Воронеж: Изд-во «Наука-ЮНИПРЕСС», 2010. – 300 с.

8.  , Якушев : интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Рольф, 1997.