Завдання №2. Обчислення границі функції

Завдання №2. Обчислення границі функції

А) Обчислити всі границі, не використовуючи правило Лопіталя;

Б) Обчислити границі у пунктах а)-г) з використанням правила Лопіталя.

а) б) в)

г) д)

Розв’язання

А)

у пунктах а) та б) розкладемо на множники чисельник та знаменник дробі, після чого її можна буде спростити:

а);

б) ;

в) у чисельнику та знаменнику винесемо за дужки найбільший ступінь змінної , спростимо дріб, після чого скористаємося правилом:

():

;

г) скористаємося еквівалентністю елементарних функцій в околиці нуля:

, :

;

д) проведемо перетворення цієї границі до наступного виду: , яка дорівнює числу .

Оскільки функція є неперервною, можемо перенести границю у показник ступеня : , а потім скористаємося принципом, описаним у пункті в), отже:

Б)

а);

б) ;

в) ;

г) ;

Відповідь: а) ; б) ; в) ;

г) ; д) .

Завдання №3. Комплексні числа

а) Знайти комплексні корені квадратного рівняння .

б) Виконати дії:

Розв’язок:

а)

Обчислимо дискримінант даного рівняння:

;

.

Знайдемо корені цього рівняння:

.

Відповідь: .

б)

Відповідь:

Розв’язок:

Будь-яке комплексне число можна записати у тригонометричному вигляді: якщо в алгебраїчному вигляді число записано як , то в тригонометричному воно буде виглядати як , де  – модуль числа,  ­– аргумент цього числа, що задовольняє умовам , .

Кожен із множників переведемо у тригонометричний вигляд.

: ;

Отже, .

: ;

Отже, .

: ;

Отже, .

Возведемо у відповідний ступень кожен із множників за допомогою формули Муавра:

.

Підставимо отримані числа у початковий вираз:

Відповідь:

Завдання №4. Диференціювання функції однієї змінної

Знайти похідні заданих функцій

а) ; б) ; в) ; г) .

Розв’язок:

а) Використовуємо правило диференціювання складної функції:

.

.

б) Використовуємо правило диференціювання добутку функцій:

.

;

в) Використовуємо правило диференціювання частки функції:

.

г) Спочатку перетворимо задану функцію, а потім використовуємо правило диференціювання складної функцій.

Відповідь: а) ;

б) ;

в) ;

г)

Завдання №5. Застосування похідної

Провести повне дослідження функції та побудувати ескіз її графіка

Розв’язок:

1)  Знайдемо область визначення функції: .

2)  Функція є функцією загального виду, оскільки

3)  Знайдемо точки перетину графіку функції з осями координат:

a.  з віссю графік функції перетинається у точках та ;

b.  з віссю графік функції перетинається у точці .

4)  Функція в точці має розрив 2-го роду (розрив на нескінченність), оскільки

и .

Отже, ­ — вертикальна асимптота.

5)  Знайдемо похилі асимптоти:

, .

,

Таким чином, ­ — похила асимптота.

6)  Інтервали монотонності функції та екстремуми.

Знаходимо критичні точки:

при будь-якому , оскільки . Тому ця функція критичних точок не має. В усій області визначення , тому функція зростає на усій області визначення.

7)  Інтервали увігнутості та опуклості функції й точки перегину.

при будь-яких , проте при (у цій області функція увігнута) та при (у цій області функція опукла).

при .

Побудуємо графік функції: