Тема: Задачи с параметрами

Тема: Задачи с параметрами

Изучение физических, химических, экономических и многих других закономерностей приводит к исследованию процесса в зависимости от параметра, к решению задач с параметрами. Поэтому навыки по решению задач с параметрами. Знание некоторых их особенностей нужны многим специалистам в будущем, в любой области научной и практической деятельности.

При решении уравнений с параметрами нужно учитывать

1) Область допустимых значений уравнения;

2) Область применимости формулы;

3) Метод введения дополнительного параметра;

4) Запись ответа.

1.Алгебраические выражения, содержащие параметр.

Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены действиями сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в натуральную степень и извлечения арифметического корня.

Свойства степени

Свойства корня

1.При каких значениях параметра а значение выражения -21 а + (3а1/3 )3 равно 12?

Решение.

Упростим данное выражение:

- 21а + (3а1/3 )3 = -21 а +а(1/3) .3 = -21a + 27а = 6а.

Ответ:Равенство 6а = 12 выполняется при а = 2.

2.Найти значение выражения ,если =.

Решение. Разделим числитель и знаменатель на . Получим

=1,6

Ответ: 1,6

3.При каком значении параметра а значение выражения равно 1,5?

Решение: Упростим данное выражение:

Приравниваем полученное выражение к числу 1,5. Получим

Откуда а = 5.

Ответ: 5.

4.Найти все целые значения параметра р. При которых значение выражения

равно – 3,5.

Решение. Используем формулы приведения

По условию должно выполняться равенство

откуда

р = 2.

Ответ: 2.

5.Упростите выражение и вычислите его значение при x = 1,0001.

При х = 1,0001 имеем

Ответ: 2.

2.Уравнения с параметрами.

1.Найдите значение параметра а, при котором уравнение 3 – 2х – а = (9 – 23х – 3а)0,5 имеет корень х=1. Если таких значений несколько, то укажите их сумму.

Решение. . Введем замену переменных 21- а = t, t > 0. Тогда имеем

t = 2, так как t =0 и t= - 3 не принадлежат промежутку (0;3]

Возвращаясь к параметру а, получаем 21 – а =2; а = 0.

Ответ: при а=0.

2.При каких значениях параметра а уравнение имеет два различных действительных корня?

Решение. Исходное уравнение равносильно уравнению Число х = 4 является корнем этого уравнения. Уравнение имеет второй корень, если разрешима система

Получаем, что исходное уравнение имеет два корня при а>4.

Ответ:при а Є (4;+∞).

3.Найти все значения параметра t, при которых уравнение ? ?ее

имеет хотя бы один корень?

Решение: Сделаем замену sin0,5x = y, y Є[-1;1]. Тогда исходное уравнение имеет вид

|y – t|+ |y – 2|=3 + t. Так как y Є[-1;1], то |y – 2|= 2 – у и уравнение можно записать как

|y – t|+ 2 – у =3 + t;

|y – t|= у + t + 1. Это уравнение равносильно совокупности систем

отсюда имеем или t≥ 0,5

Ответ:при tЄ[- 0,5; +∞)

5.Для каких значений параметра а корни уравнения x2 -2(a – 1)x + a +5 =0 положительны?

Решение. Уравнение x2 + px + q имеет

А) отрицательные корни, если f(0) >0, D ≥ 0, x0 >0

Б)положительные корни, если f(0) >0, D ≥ 0, x0 <0

В)корни разных знаков, если f(0) <0,

Г)одинаковые корни, если D = 0

Здесь f(0) = q - значение функции f(x) = x2 + px + q (левой части уравнения) при x = 0; D - дискриминант x0 =-p/2 - координата вершины параболы,x1, x2- корни уравнения.

Имеем f(0)= a + 5, D1=(a – 1)2 – (a + 5) = a2 – 3a – 6, x0 =-2(a-1)/2=-a+1

a + 5>0

a2 – 3a – 4≥0

a - 1<0, Значит,-5<a≤-1

Ответ:при аЄ [-5; -1]

6.При каких значениях а уравнение x2 – 2asin(cosx) + a2 sin2 = 0 имеет единственное решение?(С5)

Решение. Рассмотрим три случая.

1.а=0 – уравнение имеет единственное решение х = 0.

2.а>0 Приведем уравнение к виду х2 + а2sin2 = 2asin(cosx)

Уравнение имеет единственное решение, когда графики функций f(x) =x2 + a2sin2 и g(x) =2asin(cosx) имеют только одну общую точку. Функции f(x) и g(x) – четные, значит, их графики симметричны относительно оси ординат.

Е(f) = [а2sin2;+∞), E(g) = [ - 2asin1; 2asin1].

Cледовательно, единственное решение уравнение имеет при условии а2sin2=2asin1.

так как а>0

3.a<0. Графики функций f(x) и g(x) если имеют общие точки, то больше одной. В этом случае исходное уравнение будет иметь больше одного решения. Что противоречит условию задачи.

Ответ: при а =0;а=

Литература:

1.Процко : интенсив. курс подгот. к тестированию и экзамену. –Мн. : тетраСистемс,2006

2.Иванов . Учимся решать задачи с параметром. Подготовка к ЕГЭ: задание С5.- Ростов-на-Дону: Легион-М,2011