О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЧИСЛА ДЕРЕВЬЕВ ЗАДАННОГО
ОБЪЕМА В СЛУЧАЙНОМ ПЛОСКОМ ЛЕСЕ
Рассматривается распределение числа деревьев заданного объема в случайном лесе, состоящим из 
плоских деревьев с висячими корнями и 
некорневых вершин при ограниченном отношении 
.
В книге [1] получены предельные распределения числа деревьев заданного объема в случайном лесе при достаточно общих ограничениях на классы образующих лес деревьев и распределения вероятностей на множестве лесов. В настоящей заметке рассматриваются леса, состоящие из плоских деревьев с висячими корнями и некорневых вершин. Для таких лесов доказана теорема о предельном поведении числа деревьев фиксированного объема при 
и ограниченном отношении . Эта теорема уточняет соответствующий результат книги [1] для указанного класса лесов, а ее доказательство существенно упрощается за счет использования свойств конкретных распределений вспомогательных случайных величин, связанных с рассматриваемыми лесами.
Пусть 
- множество всех таких лесов. Известно [1, с.23], что мощность этого множества 
определяется формулой
Зададим на множестве 
равномерное распределение вероятностей, приписав каждому лесу вероятность 
. Обозначим через 
случайную величину, равную числу деревьев такого леса, содержащих ровно 
некорневых вершин.
Введем вспомогательные независимые одинаково распределенные случайные величины 
, для которых
(1)
где
- числовой параметр, 
. Применяя известное [2, с.712] соотношение
,
находим, что
Обозначим через 
случайные величины, равные объемам деревьев рассматриваемого случайного леса, имеющих корневые вершины с номерами 
соответственно. Легко проверить, что
(2)
Обозначим через 
, 
случайные величины, распределения которых задаются вероятностями
(3)
Обозначим также 
Как показано в лемме 1.2.3 книги [3], из равенства (2) следует такое утверждение.
Лемма 1. Для любого , справедливо равенство
.
Из леммы 1 следует, что изучение поведения можно свести к получению локальных предельных теорем для сумм независимых случайных величин 
В дальнейшем будет использоваться одно значение параметра : 
Пусть 
и 
при данном значении параметра . Нетрудно проверить, что
, 
.
Пусть 
и 
. Тогда можно получить, что
,
.
Нижеследующее утверждение является основным в данной статье.
Теорема. Пусть целое неотрицательное фиксировано, 
так, что 
. Тогда для целых неотрицательных 
равномерно относительно 
в любом конечном интервале
,
где
.
Ниже мы получим несколько вспомогательных утверждений (леммы 2-5), а затем с их помощью докажем теорему.
Обозначим через 
характеристическую функцию случайной величины 
.
Лемма 2. Если так, что 
, где 
, то
равномерно относительно 
в любом конечном интервале.
Доказательство. Поскольку
,
где 
- характеристическая функция случайной величины 
, легко проверить, что
.
Так как 
при , то 
. Отсюда следует, что
(4)
Из равенства
видим, что 
, где 
- некоторая положительная постоянная. Значит, при 
выполняется соотношение 
. Отсюда и из (4) получаем, что
.
Поскольку при
,
то Ошибка! Закладка не определена.
можно представить в виде
(5)
Тогда
.
Это и означает, что если 
так, что , то при фиксированном справедливо 
. Ясно, что эта сходимость равномерная в любом конечном интервале.
Аналогично можно доказать лемму для случайной величины 
. Обозначим через 
характеристическую функцию случайной величины 
.
Лемма 3. Если так, что , где 
, то
равномерно относительно 
в любом конечном интервале.
Леммы 2 и 3 устанавливают интегральную сходимость 
и к нормальному закону. Докажем теперь, что имеет место и локальная сходимость.
Лемма 4. Если так, что , где , то
равномерно относительно 
в любом конечном интервале.
Доказательство. Обозначим через 
характеристическую функцию случайной величины . Положим 
. По формуле обращения имеем
,
поэтому
.
Делая замену 
, легко получить, что
.
Обозначим
.
Поскольку
,
разность 
можно представить в виде суммы четырех интегралов 
, где
,
,
,
,
где 
и 
- некоторые положительные постоянные, выбор которых будет ясен из дальнейшего.
Из леммы 2 следует, что 
. Ясно, что
,
поэтому интеграл 
можно сделать сколь угодно малым выбором достаточно большого . Рассмотрев интеграл 
нетрудно получить, что
.
Используя (5), можно показать, что
,
поэтому при достаточно большом выборе интеграл 
. Поскольку максимальный шаг распределения равен 1, из теоремы 1.4.2 книги [4] следует, что в области интегрирования 
выполняется неравенство
,
поэтому
,
а поскольку при справедливо соотношение 
, получим, что 
. Значит, разность при стремится к нулю равномерно, что и доказывает лемму 4.
Аналогично лемме 4 с помощью леммы 3 нетрудно доказать следующее утверждение.
Лемма 5. Если 
так, что , где , то
равномерно относительно 
в любом конечном интервале.
Докажем теорему. Согласно нормальному приближению, для биномиального распределения при 
. (6)
Если , где 
, то утверждение теоремы следует из лемм 1,4,5 и соотношения (6). Осталось показать, что теорема верна не только при , но и во всей области 
. Нетрудно проверить, что если выполнены условия теоремы, то
и мы приходим к утверждению теоремы.
Литература
1. Павлов леса. КНЦ РАН. Петрозаводск, 1996.
2. , , Маричев и ряды. М.: Наука, 1981.
3. Колчин отображения. М.: Наука, 1984.
4. , Линник и стационарно связные величины. М.: Наука,1965.
