§ 6. Стабилизация линейной системы уравнений

управлением с соизмеримыми запаздываниями.

Рассмотрим линейную управляемую стационарную систему уравнений

(1)

где управление - скалярная величина. Предположим, что система (1) полностью управляема, тогда матрица - не особая. Пусть характеристическое уравнение системы записано в виде

(2)

Сделаем в системе (1) линейное преобразование по формуле , где - новый искомый вектор. Новая система уравнений будет иметь вид:

(3)

где матрица и вектор имеют вид:

.

Введём также матрицу

(4)

С её помощью систему (3) можно привести к уравнению

(5)

При этом связь между компонентами вектора и вектора, образованного производными функции выражается следующим образом:

.

Постановка задачи: построить управление

(6)

при котором нулевое решение уравнения (5) будет асимптотически устойчиво.

В формуле (6) - запаздывание, - полином степени с постоянными коэффициентами относительно оператора дифференцирования:

. (7)

Задача стабилизации сводится, таким образом, к нахождению коэффициентов полиномов . После того, как управление (6), стабилизирующее нулевое решение уравнения (5), будет построено, обратными преобразованиями с матрицами и получим управление вида

, (8)

где - постоянные вектора-строки, ( знак обозначает транспонирование).

Теорема. (Доказана )

Нулевое решение уравнения (5) всегда можно стабилизировать управлением вида (6), если все собственные числа матрицы удовлетворяют условию

Доказательство. Подставим управление (6) в уравнение (5). Получим:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(9)

Получилось уравнение -го порядка с соизмеримыми запаздываниями. Его характеристическое уравнение имеет вид:

. (10)

Представим теперь уравнение (2) в виде где - известные нам собственные числа матрицы Рассмотрим далее уравнение

. (11)

Если раскрыть в этом выражении скобки и перенести в правую часть все слагаемые, содержащие экспоненты, то мы придём к уравнению (10). Таким образом, квазиполином -го порядка (10) можно представить в виде произведения квазиполиномов первого порядка. Тогда задача построения управления (6) свелась к следующей задаче: по известным числам выбрать числа так, чтобы для всех уравнения

(12)

имели только корни с отрицательными вещественными частями. Покажем, что в условии теоремы это всегда возможно сделать. Выделим три случая.

1. Число - вещественное. Будем выбирать число также вещественным. Уравнение (12) является характеристическим уравнением для скалярного уравнения с одним запаздыванием:

. (13)

Метод D-разбиений, рассмотренный в предыдущей главе, даёт точную границу области асимптотической устойчивости уравнения (13) на плоскости параметров и (смотри рисунок). Угловая точка границы области асимптотической устойчивости в предыдущей главе имела координаты (1; -1); однако, тогда уравнение было преобразовано: его коэффициенты были умножены на величину запаздывания ; Если же искать границы области асимптотической устойчивости, не преобразовывая уравнения, угловая точка будет, очевидно иметь не координаты (1; -1), а координаты . Число является корнем уравнения (2), следовательно, для выполнено условие Это означает, что на плоскости параметров и (смотри рисунок) число лежит левее вертикальной прямой

Но тогда для любого найдётся целый интервал значений , такой, что пара чисел будет находиться в области асимптотической устойчивости. Таким образом, для вещественных значений теорема доказана.

2. Пусть теперь - комплексное число. Покажем, что этот случай может быть сведён к вещественному. Пусть . Будем выбирать число также комплексным, но представленным в форме: . Нужно найти вещественные величины и по известным вещественным величинам и .

Уравнение (12) перепишется следующим образом:

. (14)

Сделаем в этом уравнении замену переменных: . Такая замена не изменяет вещественную часть числа, а, следовательно, не изменяются и условия теоремы. Теперь уравнение (14) будет иметь вид:

. (15)

Выберем теперь величину , тогда уравнение (15) преобразуется как:

. (16)

Уравнение (16) совпадает с уравнением (12) с точностью до обозначений. Таким образом, мы можем воспользоваться рассуждениями, приведёнными ранее. Число является корнем уравнения (2), следовательно, для числа выполнено условие Но тогда для любого найдётся интервал значений такой, что пара чисел будет находиться в области асимптотической устойчивости. Таким образом, для комплексных значений теорема также доказана.

3. Поскольку исходная матрица предполагается вещественной, то вместе с собственным числом она имеет и комплексно-сопряжённое собственное число . Тогда вместо уравнения (14) получим:

.

Теперь пусть , тогда

.

Если теперь выбрать , то получим уравнение (16), а число определим по числу

так же, как и выше. Итак, корню , комплексно-сопряжённому с корнем , соответствует число , комплексно-сопряжённое с числом .

Подставляя все найденные значения в выражение (11), раскроем затем скобки и получим выражение (10), откуда и найдём коэффициенты полиномов . Заметим, что все они будут вещественными, так как комплексно-сопряжённой паре корней уравнения (2) и соответствуют комплексно-сопряжённые найденные числа и .

Теорема доказана.

Когда управление в виде (6) будет построено, необходимо обратными преобразованиями с матрицами и получить окончательный вид управления (8). Доказательство теоремы содержит в себе конструктивный способ построения искомого стабилизирующего управления. Вопрос о разрешимости поставленной задачи сводится, таким образом, к проверке простого условия

Пример. При каких значениях для системы

существует управление вида (6)? Построить управление (6) при значении

Решение. Собственными числами матрицы являются числа 2 и 3. Значит, условие теоремы выполняется, если . Построим управление (6) при значении

Характеристическое уравнение для матрицы имеет вид Уравнение (5) тогда будет иметь вид где

Уравнение (10) примет тогда вид Запишем уравнение (11), которое в нашем случае будет выглядеть так: Раскрывая в нём скобки, получим

Итак, Найдём теперь числа Для заданного значения координаты угловой точки области асимптотической устойчивости уравнения на плоскости коэффициентов и есть (4;-4). Итак, если взять, например, то обе точки (2;-4) и (3;-4) попадут в область асимптотической устойчивости на плоскости коэффициентов. Теперь вычислим Следовательно, Вернёмся теперь к исходным переменным Матрицы и имеют вид Переменные связаны с переменными соотношением , откуда Окончательно Искомое управление построено.