Ответы

Ответы

Задача 1.

Критерии оценивания:

Грамотно изображенная орбита астероида – 2 балла.

Знание связи между большой полуосью орбиты (а), ее эксцентриситетом (е) и афелийным расстоянием (Q) – 2 балла.

Знание связи между большой полуосью орбиты (а), ее эксцентриситетом (е) и перигелийным расстоянием (q) – 2 балла.

Верно вычисленные значения требуемых величин – 2 балла.

Задача 2.

Критерии оценивания:

Грамотный рисунок для двух случаев – 2 балла.

По два балла за верную запись , .

Верные числовые значения и – 2 балла.

Задача 3.

Критерии оценивания:

Понимание сущности задачи – 4 балла.

Построение правильного аналитического выражения для средней орбитальной скорости – 2 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 4.

В момент верхнего соединения Венеры разность гелиоцентрических долгот Венеры и Земли равна

Поэтому до ближайшего верхнего соединения должно пройти количество суток

что и произошло 20 июня 1976 года.

Критерии оценивания:

Понимание сущности задачи – 2 балла.

Построение правильного аналитического выражения для количества суток х – 4 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 5.

Гелиоцентрическая долгота Земли , так как Солнце находится в точке весеннего равноденствия, а гелиоцентрическая долгота Меркурия

Критерии оценивания:

Знание гелиоцентрической долготы светила и характера движения планет вокруг Солнца – 2 балла.

Правильный чертеж с необходимыми пояснениями – 2 балла.

Доведенные до конца аналитические преобразования – 2 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 6.

Великие противостояния планет повторяются через целые числа и синодических и сидерических периодов обращении планет: Поэтому .

Критерии оценивания:

Понимание вопроса – 4 балла.

Получение соотношения – 2 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 7.

Расстояние от Земли до Марса равно Из третьего закона Кеплера Поэтому .

Горизонтальный экваториальный параллакс Солнца равен

Критерии оценивания:

Понимание вопроса – 2 балла.

Построение правильных аналитических выражений – 4 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 8.

Продолжительность солнечных суток получается из уравнения синодического движения

,

где верхний знак берется для прямого вращения, а нижний – для обратного.

суток, суток года.

Критерии оценивания:

Понимание вопроса – 4 балла.

Построение правильных аналитических выражений – 2 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 9.

км/с. 0,42 а. е.

Критерии оценивания:

Понимание вопроса – 4 балла.

Построение правильных аналитических выражений – 2 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 10.

Из третьего уточненного закона Кеплера

получаем суток.

Критерии оценивания:

Понимание вопроса – 2 балла.

Построение правильного конечного аналитического выражения – 4 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 11.

Период обращения спутника вокруг Марса должен равняться периоду суточного вращения Марса.

Критерии оценивания:

Понимание проблемы – 2 балла.

Верное построение конечных аналитических выражений – 4 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 12.

Пояс Койпера находится во внешних областях Солнечной системы. Чтобы попасть туда из окрестностей Земли космический корабль должен развить скорость, равную второй космической скорости относительно Солнца . Сама Земля движется со скоростью и скорость аппарата относительно Земли после преодоления ее притяжения может быть равна в лучшем случае лишь До выхода из поля тяготения Земли, находясь недалеко от ее поверхности, скорость аппарата должна быть равна Когда аппарат двигался по круговой орбите, он имел первую космическую скорость Поэтому минимальное приращение скорости составляет (аппарат движется в ту же сторону, что и Земля)

Время полета составляет лет. Для того, чтобы заглянуть в пояс Койпера на расстояние 100 а. е. от Солнца потребуется лететь только в одну сторону более 170 лет.

Критерии оценивания:

Понимание проблемы – 2 балла.

Верное построение конечных аналитических выражений – 4 балла.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 13.

Постоянно находиться в зените может только геостационарный ИСЗ и только на экваторе. Для того, чтобы ИСЗ мог оказаться в зените на московском небе необходимо совпадение наклонения его орбиты к плоскости экватора с широтой Москвы. Для того чтобы спутник, оказавшись в зените, при следующем обороте снова в него попал, он должен иметь период обращения кратный звездным суткам. Максимальное время вблизи зенита спутник проведет при точном равенстве этих периодов. В этом случае большая полуось орбиты ИСЗ, определяемая на основе третьего уточненного закона Кеплера, равна

Для того, чтобы спутник на некоторое время остановился на московском небе в зените, необходимо, чтобы его угловая скорость вращения совпала с геоцентрической угловой скоростью московских наблюдателей, находящихся на вращающейся Земле. Она равна Она отличается от угловой скорости вращения геостационарного спутника множителем . Поэтому для выполнения поставленной задачи ИСЗ необходимо вывести на эллиптическую орбиту с большой полуосью и наклонением с точкой апогея над московской параллелью.

Скорость ИСЗ в апогее В апогее ИСЗ находится от центра Земли на расстоянии . Так как в апогее скорость направлена перпендикулярно радиусу-вектору, то угловая скорость спутника равна Приравнивая угловые скорости ИСЗ и московских наблюдателей получаем, откуда определяем Тогда апогейное расстояние составляет а от Москвы, когда он находится в зените – .

Критерии оценивания:

Понимание проблемы – 2 балла.

Аналитическое определение большой полуоси орбиты ИСЗ – 1 балла.

Аналитическое определение эксцентриситета орбиты ИСЗ –3 балла.

Построение выражений для апогейного расстояния и высоты над Москвой в зените – 1 балл.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 1 балл.

Задача 14.

Из условия задачи следует, что Земля и Марс располагались в направлении, перпендикулярном радиусу-вектору Венеры. Так как угловое расстояние Венеры в момент наибольшей элонгации составляет , то Марс находится вот Солнца к западу.

Критерии оценивания:

Понимание проблемы – 2 балла.

Грамотный чертеж – 2 балла.

Вычисление углового расстояния Венеры в момент наибольшей элонгации – 2.

Доведение до конца количественных вычислений с получением верного ответа – 2 балла.

Задача 15.

Хотя влияние Луны и не учитывается, тем не менее, значение эксцентриситета орбиты ограничено сверху приливным влиянием Солнца. Если апогей спутника совпадет с внутренней точкой Лагранжа системы Солнце–Земля, то его орбита станет неустойчивой. Он может оказаться к Солнцу ближе точки Лагранжа под действием небольших случайных возмущений. В этом случае он станет обращаться вокруг Солнца, а не вокруг Земли.

Так как спутник движется по эллиптической орбите, то по крайней мере раз в год его апогей буде находиться между Солнцем и Землей на линии Земля–Солнце.

Именно такой случай, когда апогей спутника лежит между Солнцем и Землей, мы и рассмотрим (см. рисунок). Обозначим через и соответственно перигейное и апогейное расстояние, а через – расстояние между Солнцем и Землей. Предположим, что апогей спутника совпал с внутренней точкой Лагранжа системы Земля–Солнце. Так как эта точка лежит на линии Солнце–Земля, то она вращается вокруг Солнца с угловой скоростью , равной угловой скорости обращения Земли вокруг Солнца.

Так как для Земли сила тяготения, действующая на нее со стороны Солнца, является центростремительной, то

(1)

На точку действуют противоположно направленные силы притяжения со стороны Солнца и Земли, что описывается уравнением

(2)

Так как разложим в ряд первое алгебраическое слагаемое в выражении (2):

. (3)

Из (1) выражаем

. (4)

Выражения (3) и (4) подставляем в (2). Имеем:

Последнее выражение после раскрытия скобок и приведения подобных членов значительно упрощается:

Таким образом, максимальное апогейное расстояние для спутника равно:

По условию задачи перигейное расстояние равно большой полуоси лунной орбиты:

Находим максимальное значение эксцентриситета орбиты спутника, пользуясь связью и с большой полуосью орбиты спутника и эксцентриситетом :

Критерии оценивания:

Решение задачи должно сопровождаться тщательным анализом явления.

Оценивается	Количество баллов
Грамотный чертеж	1
Понимание проблемы	2
Грамотное построение уравнения движения	3
Верные аналитическое выражения для и	1
Верные количественные вычисления	1

Задача 16.

Наиболее продолжительной частная фаза прохождения Венеры по диску Солнца будет в случае, показанном на рисунке.

Пусть и – соответственно видимые угловые радиусы Солнца и Венеры, а и – их линейные радиусы. Тогда угловое расстояние , которое пройдет Венера по диску Солнца равно

(1)

Среднее значение угловых радиусов Солнца и Венеры в радианах равны:

После подстановки угловых радиусов Венеры и Солнца в (1) и перевода радианов в градусы получаем:

(2)

Максимальное время прохождения Венеры по диску Солнца ля средних расстояний Земли и Венеры от Солнца равно:

, (3)

где – угловая скорость движения Венеры по диску Солнца. Прохождение Венеры по диску Солнца наблюдается с Земли, обращающейся вокруг Солнца. Так как Венера в этот момент находится в нижнем соединении, то она совершает видимое попятное движение, обладая тем самым отрицательной угловой скоростью. Относительно Земли она движется с линейной скоростью, равной по абсолютному значению разности линейных (орбитальных)скоростей Венеры и Земли. Расстояние от Венеры до Земли в момент прохождения по диску Солнца равно разности больших полуосей орбит Земли и Венеры . Воспользовавшись связью между линейной и угловой скоростями, получаем значение видимой с Земли угловой скорости Венеры :

(4)

Воспользуемся третьим законом Кеплера для нахождения орбитальной скорости Венеры:

(5)

Подставляя (5) в (4) получаем:

(6)

Так как угловая скорость Солнца мо модулю равна угловой скорости обращения Земли вокруг Солнца, а Венера в своем попятном движении движется навстречу ему, то видимая угловая скорость перемещения Венеры по диску Солнца равна:

Переводя радианы в градусы, получаем

Подставляя полученный результат в (3), получаем максимальное время прохождения Венеры по диску Солнца при условии, что и Земля и Венера находятся на среднем расстоянии от Солнца.

Критерии оценивания:

Решение задачи должно сопровождаться тщательным анализом явления.

Оценивается	Количество баллов
Грамотный чертеж	1
Понимание проблемы	1
Грамотное построение аналитических выражений для	5
Верные количественные вычисления	1

Задача 17.

На Рис.1 показано взаимное расположение Земли и лунной полутени при наблюдении с Солнца в день весеннего равноденствия. В этой проекции земной экватор проходит по диску Земли под углом к плоскости эклиптики.

Так как диск Луны касается диска Солнца точно сверху, то это может быть только в тот момент, когда лунная полутень только касается Земли, то есть в самом начале или конце затмения. Луна обращается вокруг Земли в том же направлении, в котором Земля обращается вокруг Солнца. Солнечное затмение происходит тогда, когда Луна находится в новолунии. Поэтому полутень вместе с Луной движется в направлении, обратном направлению движения системы Земля–Луна под углом к плоскости эклиптики (угол наклона плоскости лунной орбиты к плоскости эклиптики) либо вверх, либо вниз в зависимости от того, у какого узла лунной орбиты происходит затмение. Так как по условию задачи затмение происходит на восходе Солнца, то затмение только начинается. Учитывая направление движения лунной полутени и расположение географических полюсов Земли относительно полутени нетрудно сообразить, что затмение наибольшую фазу будет иметь в северном полушарии. На экваторе в точке А затмение будет только частным.

Критерии оценивания:

Решение задачи должно сопровождаться тщательным анализом явления.

Оценивается	Количество баллов
Грамотный чертеж	2
Понимание проблемы	2
Убедительное объяснение типа затмения на экваторе	2
Убедительное объяснение максимальной фазы затмения в северном полушарии	2

Задача 18.

Пусть и – радиус и масса скопления соответственно, – начальная скорость звезды, – масса нейтронной звезды. По мере удаления от центра скопления звезда будет тормозиться силой притяжения и терять свою кинетическую энергию. Уменьшение кинетической энергии звезды равно работе , совершаемой силой тяготения.

Так как скопление является сферически симметричным, то в любой точке его на звезду будет действовать сила притяжения, направленная к центру скопления и зависящая от массы, находящейся в сфере радиуса , равного расстоянию центра звезды от центра скопления. Эта масса равна

Эта масса действует так же, как масса, сосредоточенная в центре. Поэтому сила притяжения к центру будет равна

Эта сила линейно растет с расстоянием от нулевого значения в центре до максимального значения на границе скопления:

Работа силы притяжения на интервале по модулю равна площади под графиком силы , то есть площади прямоугольного треугольника и отрицательна:

Подставляя полученный результат в закон сохранения энергии, получаем:

Разделив последнее выражение на массу нейтронной звезды , получаем скорость нейтронной звезды при вылете ее из звездного скопления:

После вылета нейтронной звезды из скопления оно действует на нее как точечная масса. Потенциальная энергия звезды в момент вылета из скопления составляет

По модулю потенциальная энергия более чем в два раза превышает кинетическую энергию звезды в момент вылета из скопления. Следовательно, звезда не сможет улететь за пределы гравитационного влияния скопления и через некоторое время вернется в него.

Критерии оценивания:

Оценивается	Количество баллов
Анализ проблемы и ее понимание	1
Грамотное построение аналитических выражений для кинетической, потенциальной и полной энергии нейтронной звезды в момент достижения границы скопления.	5
Верные количественные вычисления и формулировка правильных выводов о дальнейшей судьбе нейтронной звезды.	2

Задача 19.

Так как полное солнечное затмение наблюдается вблизи зенита, то можно считать, что центры Солнца, Луны и Земли находятся на одной прямой, а ширина полосы полной фазы равна диаметру пятна лунной тени, бегущей по поверхности Земли. Обозначая его через , расстояния от центра Земли до Солнца и Луны соответственно через и , а радиус Земли – через . Из рисунка видим, что протуберанец будет виден из всей области тени, если он будет виден из самой удаленной ее точки . Из равенства вертикальных углов, отмеченных на рисунке, получаем, что размер протуберанца должен быть не меньше величины , для которой

Подставляя численные значения млн км, км и км, получаем км, что почти в пять раз превышает поперечник Земли. Тем не менее, протуберанцы довольно часто наблюдаются во время полных солнечных затмений, что указывает на огромные размеры этих образований.

Критерии оценивания:

Оценивается	Количество баллов
Анализ проблемы и ее понимание	2
Грамотно построенный чертеж	2
Верные аналитические выражения	2
Верные количественные вычисления и формулировка правильного вывода	2

Задача 20.

На ИСЗ со стороны атмосферы действует сила сопротивления, уменьшающая его скорость. Она связана с изменением импульса молекул, испытывающих столкновение со спутником.

Будем для определенности рассматривать абсолютно неупругие столкновения молекул воздуха со спутником. За время одного оборота вокруг Земли с ним сталкиваются молекулы воздуха, находящиеся внутри криволинейного цилиндра с площадью поперечного сечения и высотой . Масса этих молекул равна плотности воздуха, умноженной на объем цилиндра, в котором они находятся:

Их импульс изменяется на величину:

(1)

На такую же величину уменьшается импульс спутника:

(2)

Можно показать, что масса налипших на спутник молекул воздуха ничтожно мала по сравнению с его массой.

Приравнивая (1) и (2) и учитывая, что период обращения ИСЗ вокруг Земли по орбите с радиусом равен , получаем относительное изменение скорости ИСЗ за один оборот вокруг Земли:

Так как круговая скорость , то

Итак, за один оборот происходит снижение спутника примерно на

Критерии оценивания:

Оценивается	Количество баллов
Анализ проблемы и ее понимание	2
Грамотное построение аналитических соотношений, необходимых для решения задачи	4
Верные количественные вычисления и формулировка правильного вывода	2