Динамика и нагруженность транспортных машин

Динамика и нагруженность

транспортных машин

УДК 519.624

Б.Г. Кеглин, Н.В. Алдюхова, В.А. Алдюхов

ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ

СИСТЕМ С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ

Рассмотрен алгоритм решения задачи о колебаниях нелинейных систем в частотной области для случая, когда модель содержит множество нелинейных элементов. Определены коэффициенты линеаризации для ряда нелинейных характеристик с использованием различных критериев. Рассмотрено решение задачи о движении грузового вагона по неровностям рельсового пути. Выполнено сравнение полученных результатов с решением во временной области методом численного интегрирования уравнений движения. Выявлены условия применения метода.

Аналитические приемы исследования сложных динамических систем, прежде всего частотные методы, предполагают линеаризацию этих систем, замену нелинейных элементов эквивалентными им линейными. Так, для системы с одной степенью свободы, моделирующей колебания транспортного экипажа при наличии в системе подрессоривания демпферов сухого трения и кинематическом возмущении со стороны пути, линеаризация может быть выполнена из условия равенства поглощенной за один цикл колебаний энергии исходной нелинейной системы и линеаризованной. Это дает следующее выражение для коэффициента линеаризации при движении системы в стационарном режиме, т. е. с постоянной амплитудой и частотой:

,

где - модуль силы трения в системе подрессоривания; ,-амплитуда и частота колебаний.

Другим известным приемом линеаризации является метод гармонического баланса, основная идея которого опирается на предположение, что нелинейный элемент рассматривается независимо от инерционных свойств динамической системы и учитывается только амплитуда первой гармоники на выходе этого элемента. Коэффициент гармонической линеаризации определяется как отношение амплитуды сигнала первой гармоники на выходе нелинейного элемента к амплитуде сигнала на его входе. Таким образом, определение коэффициента гармонической линеаризации сводится к вычислению первых коэффициентов разложения нелинейной характеристики в ряд Фурье.

;;, (1)

где - амплитуда входного сигнала; - характеристика нелинейного элемента.

В случае однозначной и симметричной относительно начала координат характеристики и и коэффициент линеаризации может быть определен как .

Для нелинейной характеристики общего в линеаризованном уравнении появляются постоянная составляющая и фазовый сдвиг, которые могут быть учтены с помощью комплексного коэффициента передачи нелинейного элемента:

.

В ряде случаев при линеаризации используют метод наименьших квадратов, который также позволяет получить оценку коэффициента линеаризации нелинейной характеристики. В простейшем случае, без учета весовых коэффициентов, этот метод дает следующее выражение для нахождения коэффициентов линеаризации:

. (2)

В некоторых случаях для оценки коэффициента линеаризации нелинейной характеристики возможно использование предположения о том, что в течение одного полупериода колебаний общая энергия колебаний исходной нелинейной системы и линеаризованной должна быть одинакова. Это приводит к следующему равенству:

, (3)

где - коэффициент линеаризации; -амплитуда входного сигнала.

Очевидно, применение формул (1-3) приводит в общем случае к зависимости коэффициента линеаризации от амплитуды и частоты входного гармонического сигнала:

. (4)

В таблице приведены выражения для вычисления коэффициентов линеаризации некоторых типов нелинейных характеристик, полученные с применением формул (1-3).

Таблица

Тип нелинейной характеристики	Метод линеаризации
Метод наименьших квадратов	Гармоническая линеаризация	Равенство энергий цикла колебаний
	—		—

Решение задачи о колебаниях линеаризованной системы целесообразно искать с использованием аппарата частотных функций. Так, для сформулированной выше задачи о колебаниях транспортного экипажа частотные функции имеют следующий вид:

· Для абсолютных перемещений массы:

. (5)

· Для относительных перемещений массы:

. (6)

Выражения (5) и (6) позволяют определить амплитуды абсолютных и относительных перемещений колеблющейся массы:

, (7)

где - амплитуда гармонического воздействия.

Равенство (7) с учетом выражения (5) или (6) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение относительно неизвестной амплитуды колебаний . Решение этого уравнения при различных частотах возмущения позволяет построить амплитудно-частотную характеристику колебаний, которая является практически важной в большинстве случаев.

Ниже приведены формулы для амплитуд колебаний рассматриваемой системы при сухом трении.

· Абсолютное движение:

. (8)

· Относительное движение:

. (9)

На рис.1 показаны рассчитанные по формулам (8) и (9) амплитудно-частотные характеристики. На этих же графиках обозначены амплитуды колебаний, полученные численным интегрированием уравнения движения.

Анализ выражений (8) и (9), а также зависимостей на рис.1 показывает, что метод гармонической линеаризации дает результат, хорошо совпадающий с точным решением как качественно - сухое трение не ограничивает амплитуды колебаний в зоне резонанса,- так и количественно.

Исследования реальных динамических систем, как правило, приводят к изучению решений систем дифференциальных уравнений, которые могут содержать несколько разнотипных нелинейных характеристик. Применение метода линеаризации к таким системам требует вычисления коэффициентов линеаризации для каждой нелинейной характеристики, что приводит к линеаризованным уравнениям со многими неизвестными. Решение таких систем в замкнутой аналитической форме оказывается практически невозможным. В связи с этим предлагается для построения решения использовать итерационную процедуру, предусматривающую алгоритм последовательного приближения для нахождения коэффициентов линеаризации.

А, мм

 

А, мм   w/w0

w/w0

Рис. 1. Амплитудно-частотные характеристики системы с сухим трением: а – абсолютные перемещения;
б – относительные перемещения; —— - линеаризация; • • • - Рунге-Кутта.

Рассмотрим этот алгоритм на примере плоских колебаний транспортного экипажа с сухим трением в подвешивании, движущегося по неровностям пути. В данном случае расчётная схема может быть представлена, как показано на рис.2.

Уравнения движения для расчетной схемы, показанной на рис.2, имеют следующий вид:

(10)

После линеаризации нелинейных характеристик уравнения (10) содержат два неопределенных коэффициента - и ,- которые являются в общем случае функциями амплитуд деформаций и . Линеаризованные уравнения могут быть представлены в матричной форме:

. (11)

Здесь - инерционная матрица; - матрица демпфирования; - матрица жёсткости; , - матрицы вектора внешнего возмущения.

Для рассматриваемой задачи перечисленные матрицы имеют следующий вид:

; ;; ; .

После преобразования Лапласа левой и правой части уравнений (10) изображения обобщенных координат могут быть определены из уравнения

, (12)

которое позволяет найти передаточные функции обобщенных координат системы:

; .

Так как деформации рессорных комплектов связаны с обобщенными координатами выражениями

; ,

передаточные функции для деформаций будут иметь вид

; . (13)

Таким образом, выражение (12) позволяет определить амплитуды деформаций рессорных комплектов, которые определяют коэффициенты линеаризации (4).

; . (14)

Полученные выражения представляет собой систему достаточно сложных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд деформаций. Для их решения использован рекуррентный алгоритм, который в общем случае предполагает выполнение следующих действий:

1. Задаемся начальными значениями амплитуд деформаций для всех нелинейных элементов, входящих в расчетную схему, - .

2. Вычисляем коэффициенты гармонической линеаризации для всех нелинейных элементов.

3. Последовательно выполняя расчёты с использованием выражений (11-14), получаем новые значения амплитуд деформаций - .

4. Сравниваем начальные и рассчитанные в п. 3 значения амплитуд.

Если хотя бы одно из значений , где - принятая точность вычислений, то процедура вычислений повторяется по п. 2-4. При этом за начальные значения искомых амплитуд принимаются значения, рассчитанные в п. 3.

В соответствии с приведенным алгоритмом для рассмотренной расчетной схемы с параметрами, соответствующими модели грузового вагона с тележками 18-100 (кг; Н/м; Н; м;м), были выполнены расчеты, некоторые результаты которых представлены на рис. 3,4.

w, с-1

Рис. 3. Зависимость амплитуд деформаций рессорных комплектов от частоты для коэффициента трения =0,15: —— - А1; • • • - А2

Полученные амплитудно-частотные характеристики хорошо отражают процесс установившихся гармонических колебаний в системе с двумя степенями свободы при сухом трении в подвешивании грузового вагона.

А, мм

А, мм

а)	б)

 

Рис. 4. Результаты исследования процесса сходимости итерационной процедуры для различных зон
амплитудно-частотной характеристики: а - частота возмущения 11 рад/с; б - частота возмущения 14 рад/с;

—— - А1; • • • - А2

Приведенные на рис.4 графики показывают достаточно быструю сходимость итерационного процесса (4…6 итераций), что позволяет рекомендовать к использованию рассмотренный метод исследования нелинейных систем при гармоническом возмущении.

Материал поступил в редколлегию 20.09.07.