Определение несущей способности пластинок методом предельного равновесия

7.7. Определение несущей способности пластинок методом предельного равновесия

Зная изгибающие и крутящие моменты в пластине, легко определить нормальные и касательные напряжения в крайнем слое. По этим напряжениям можно оценить несущую способность пластинки и довольно условно – момент ее разрушения. Разрушаться пластинка начнет не раньше того момента, когда хотя бы в одной ее точке будут нарушены условия пластичности (прочности), например условия (7.3) или (7.5). Однако начало разрушения не всегда означает исчерпание несущей способности, даже если она выполнена из упругого материала.

Для пластинок из однородного упругопластического материала, несколько упрощая условия текучести, можно принять величину предельного погонного момента равной

. (7.38)

Формула (7.38) соответствует предельной эпюре напряжений по высоте пластинки в виде двух прямоугольников (рис.7.5, (а)). Для ”упругого” распределения напряжений, показанного на рис. 7.5, (б), предельный момент равен , что в 1,5 раза меньше, чем .

MT

 

Рис. 7.5

При достижении изгибающим моментом значения, выраженного формулой (7.38), в сечении возникает пластический шарнир (шарнир текучести). Он отличатся от идеального шарнира тем, что в нем действует изгибающий момент постоянной величины , равный предельному моменту внутренних сил. Очевидно, что в пластинках цилиндрические пластические шарниры будут располагаться вдоль траекторий главных моментов

. (7.39)

Это условие текучести можно преобразовать к виду

. (7.40)

Разрушение пластинки произойдет тогда, когда развитие шарниров текучести будет достаточным для её превращения в геометрически изменяемую систему, т. е. механизм. Непосредственно перед исчерпанием несущей способности наступает предельно возможный случай равновесия – отсюда и произошло название метода.

В основу метода предельного равновесия положены следующие предпосылки. Нагружение является простым. Сечения, в которых главный момент меньше предельного, работают упруго. Предельным состоянием сечения является возникновение в нем цилиндрического шарнира текучести. Упругие деформации пренебрежимо малы по сравнению с пластическими. Последние сосредоточены по линиям текучести. Взаимный поворот сечений, прилегающих к пластическому шарниру, при увеличении нагрузки увеличивается. При этом момент .

Как будет видно из дальнейшего изложения, расчет несущей способности методом предельного равновесия для пластинок, механизм разрушения которых, т. е. расположение линий текучести, известен, не представляет затруднений.

В большинстве случаев истинная форма разрушения остается неизвестной, предельная нагрузка определяется из упрощенных схем, причем шарниры текучести считаются прямолинейными. Согласно основному принципу кинематического метода, из множества форм разрушения истинной является та, которая соответствует наименьшей величине предельной нагрузки. В кинематическом методе предельную нагрузку определяют из уравнений равновесия, обычно в форме уравнений работ всех внешних и внутренних сил на тех перемещениях, которые возможны для данного механизма разрушения.

 

qi

z

 

(б)

P

(а)

 

Рис. 7.6

Рассмотрим полигональную пластинку, шарнирно опертую по контуру и нагруженную в точке С сосредоточенной силой Р (рис. 7.6). Форму разрушения такой пластинки можно представить себе в виде пирамиды с вершиной в точке С и с ребрами – цилиндрическими шарнирами текучести, идущими в вершины опорного контура. Высота пирамиды, т. е. прогиб w под силой Р в состоянии текучести неизвестна; ее можно принять равной единице. Этот прогиб мал по сравнению с размерами плиты; поэтому проекция ребер на плоскость плана плиты можно принять равными их длинам.

Работа внешней силы V = Pw = P. Работа внутренних сил A равна V работе внешних сил. При её определении учитывают только работу, совершаемую предельными моментами на двугранных углах перелома в шарнирах текучести

. (7.41)

Для нахождения двугранного угла проведем через точку С (рис.7.6, (б)) плоскость, перпендикулярную линии перелома; она пересечет первоначальную горизонтальную плоскость пластинки по линии АВ, перпендикулярной проекции ребра ОС. Прогиб в точке С равен единице, а в точках А и В – нулю. Расстояние от точки С до линии АВ, ввиду малости угла наклона ребра перелома, можно считать равным прогибу в точке С, т. е. единице. Угол перелома в точке С линии АСВ, равный двугранному углу и считающийся малым, при этом равен, как видно из рис. 7.6, (б)

,

где а и b – отрезки линии АВ, отсекаемые на ней точкой С. С другой стороны

.

Поэтому

. (7.42)

Подставив это выражение в равенство V = A окончательно получим

, (7.43)

где и – углы, образуемые линиями перелома со сторонами периметра пластинки.

В частности, если пластинка имеет форму правильного многоугольника, а сила Р приложена в центре, то

, (7.44)

где k – число сторон многоугольника. Эта формула легко получается из предыдущей при

.

При k = 3, ; при k = 4, т. е. для квадратной пластинки при k = 6, , Для круглой пластинки, загруженной в центре и шарнирно опертой по краю

. (7.45)

Поверхность такой пластинки в предельном состоянии образует конус. Ее заполняют цилиндрические шарниры текучести, направленные по радиусам.

7.8. Предельное равновесие железобетонных пластинок

Для железобетонных пластинок (плит), одинаково армированных в двух взаимно перпендикулярных направлениях, предельный изгибающий момент

, (7.46)

где – площадь поперечного сечения арматуры, приходящаяся на единицу длины сечения пластинки; – предел текучести арматурной стали; z – плечо пары внутренних сил, равное расстоянию от центра тяжести арматуры до центра сжатой зоны бетона (рис. 7.7, (а)).

 

 

(a)

 

Рис. 7.7

При изгибе пластинки по косому направлению a

(7.47)

где и – площади сечений арматуры, приходящиеся на единицу длины разрезов вдоль осей x и y. При == формула (7.47) превращается в (7.46), то есть предельный момент не зависит от направления изгиба сечения пластинки.

При достижении условия текучести (7.39) возникает связанная c главным моментом кривизна . Элементарная работа внутренних сил в элементе пластинки

, (7.48)

причем искривления пластинки в другом направлении не происходит. Поэтому в каждой точке пластинки произведение равно нулю, то есть изогнутая поверхность пластинки будет поверхностью нулевой Гауссовой кривизны. Поскольку

, (7.49)

то выражение для работы внутренних сил с учетом формул (7.48) и (7.49) принимает вид

. (7.50)

Отметим, что величина А полностью определяется углами наклона поверхности прогиба на контуре в направлениях, перпендикулярных последнему. Она не зависит от формы прогиба (схемы излома) пластинки внутри контура, ограничивающего область с постоянным знаком кривизны .

Работа внешних сил выражается формулой

, (7.51)

где Р – параметр пропорционального увеличения нагрузки; – единичная нагрузка. Предельная нагрузка Р определяется из условия

. (7.52)

При этом предполагается, что везде сохраняет свой знак. Если в некоторой области пластинки , то есть , меняет свой знак, то условие (7.52) усложняется

, (7.53)

где – максимальный положительный, а – максимальный отрицательный момент в пластинке. F1 и F2 – области с положительной и отрицательной главной кривизной поверхности прогибов. В пластинках с двусторонним симметричным армированием =, в пластинках с односторонним армированием .

В железобетонных пластинках, шарнирно опертых по полигональному контуру, эпюра прогибов в состоянии предельного равновесия имеет вид пологого многогранника (рис. 7.7, (б)). В ребрах этого многогранника концентрируется работа внутренних моментов. Выражение полной работы внутренних сил принимает вид

,

где – двугранный угол перелома в i-м ребре эпюры прогибов; li – длина этого ребра.

Другое выражение для работы внутренних сил получается из формулы (7.50)

, (7.54)

где – угол наклона грани эпюры прогибов, примыкающей к j-той стороне пластинки в направлении, перпендикулярном этой стороне; aj – длина стороны опирания пластинки.

Работу внешних сил в соответствии с формулой (7.51) можно представить в виде

, (7.55)

где Sj – статический момент единичной нагрузки , расположенной на грани, примыкающей к j-той стороне контура опирания, взятый относительно этой стороны.

Параметр нагрузки Р в предельном состоянии выразится формулой

(7.56)

Приравняв нулю производную , получим

.

При малых прогибах и углах поворота величиной можно пренебречь. Тогда получим

и

(7.57)

Таким образом, действительная форма разрушения пластинки обладает тем свойством, что отношение статических моментов Si нагрузки на каждой стороне (грани) i деформированной поверхности, взятых относительно соответствующих сторон опирания, к длине этой стороны аi должно быть одинаковым для всех граней. При этом величина Р принимает истинное значение

. (7.58)

Из условия (7.57) вытекает, что в пластинке, загруженной одной сосредоточенной силой, форма разрушения должна быть пирамидальной с вершиной в точке приложения силы.

Для прямоугольной пластинки, шарнирно опертой по контуру и загруженной равномерно распределенной нагрузкой, принимается форма разрушения в виде конверта (рис. 7.8, (а)).

 

(б)

a

 

(a)

Рис. 7.8

Параметром нагрузки можно считать ее величину. Определение истинной формы разрушения в этой задаче сводится к описанию длины отрезка с. В соответствии с условием (7.57)

, (7.59)

где S1 – статический момент треугольника АВЕ относительно стороны b, S2 – статический момент трапеции относительно стороны а

Подставляя S1 и S2 в равенство (7.59) получим

,

откуда

.

Cогласно (7.58)

, (7.60)

где – отношение меньшей стороны к большей.

Для квадратной пластинки . Для очень длинной пластинки .

Если пластинка свободно оперта, то есть связи односторонние и ее углы могут приподниматься, то линии текучести в угловых секторах раздваиваются (рис. 7.8, (б)); предельная нагрузка незначительно снижается. Сравним предельные нагрузки в случаях нагружения квадратной пластинки: а) равномерной нагрузкой и б) сосредоточенной силой Р. При одинаковой равнодействующей в случае а) . Отношение 24 : 8 = 3 показывает, что разрушающий груз, в случае сосредоточенной силы Р, в 3 раза меньше, чем для равномерно нагруженной пластинки.

7.9. Методы решения нелинейных задач

Как было показано в п. 7.4 задача расчета элементов конструкций, изготовленных из упругопластического материала – физически нелинейна. Причиной появления нелинейных членов в основных зависимостях теории упругости может быть также ползучесть материала, либо значительные перемещения элементов конструкций. В последнем случае уравнения равновесия составляются для деформированного состояния, – задача становится геометрически нелинейной.

Как уже отмечалось в п. 7.5, решение нелинейной задачи сводится к решению последовательности линейных задач теории упругости. Использование приближенных методов решения задач теории упругости (метод конечных элементов, сеточные, вариационные методы) приводит к разрешающей системе нелинейных алгебраических уравнений относительно определяемых параметров (перемещений или напряжений). Эта система может быть представлена в следующей форме

, (7.61)

где – вектор искомых величин; вектор, элементы которого характеризуют заданное внешнее воздействие на конструкцию; [K(q)] – квадратная матрица размером n ´ n, элементы которой зависят не только от свойств материала конструкции, но и от ее напряженно - деформированного состояния, выражаемого через вектор {q}. Именно это обстоятельство приводит к тому, что решение системы (7.61) может быть получено лишь с помощью итерационных методов.

Метод переменных параметров состоит в том, что значение элементов общей матрицы [K(q)] на каждом этапе решения системы (7.61) определяется через значения вектора {q}, полученного на предыдущем этапе

(7.62)

где s – номер итерации. На первой итерации (s = 1) значения неизвестных qi (i= 1, 2 ... n), от которых зависят элементы матрицы [K] можно принять равным нулю. В этом случае нелинейные составляющие обращаются в нуль. В результате получим матрицу линейной задачи.

Процесс последовательных решений уравнения (7.62) с процедурой уточнения элементов матрицы [K] на каждой итерации продолжается до тех пор, пока разница между результатами решения, полученными на данной и предыдущей итерации, окажется меньше заданной, достаточно малой величины (рис. 7.9, (а)).

Описанный процесс последовательных приближений при свой простоте имеет тот недостаток, что при сильной нелинейности слабо сходится, а иногда оказывается расходящимся (рис. 7.9, (б)). Необходимость на каждой итерации решать общую систему уравнений для новой матрицы [K (q)] заметно увеличивает трудоемкость метода. Этот метод иногда называют методом переменных жесткостей.

Метод дополнительных векторов по сравнению с предыдущим, приводит к определенному уменьшению трудоемкости вычислений. Он основан на выделении из матрицы [K(q)] ее линейной составляющей

. (7.63)

С учетом (7.63) уравнение (7.61) можно представить так

. (7.64)

Применительно к (7.64) процедура последовательных приближений такова

, (7.65)

, (7.66)

очевидно, что

, (7.67)

то есть использование этого метода требует лишь разового обращения матрицы .

Значения грузового вектора при этом уточняется на каждой итерации (рис. 7.10, (а)). Этот метод как и предыдущий, достаточно прост и эффективен. В нем число итераций сильно зависит от точности начального приближения. Процедура плохо сходится для существенно нелинейных задач, а в случае вогнутости кривой P(q) процесс итераций может оказаться расходящимся (рис. 7.10, (б)). Метод дополнительных векторов называют иногда методом упругих решений.

Ускорение сходимости последовательных приближений достигается методом Ньютона–Рафсона.

Пусть для s - итерации при выполнении уравнения (7.61) получена невязка

. (7.68)

(б)

 

q1q2 qn+1

q

Рис. 7.9

(б)

Рис. 7.10

P

P

q0 q1 q2 q3

<q1 <q2

(б)

(a)

	P = Kq
q

 

Рис. 7.11

Если дать неизвестным некоторые малые приращения а затем невязку {d} для положения системы, определяемого неизвестными {q.+
+ Dq}(s+1) разложить в ряд Тейлора, сохраняя в разложении лишь первые два члена ряда

,

и полагая, что выбранное приращение обращает невязку {d.(q.+ Dq)(s+1)} в нуль, то получится

. (7.69)

После внесения в левую часть равенства (7.69) выражения (7.68), и выполнения дифференцирования, получается

, (7.70)

где – так называемая, тангециальная матрица, значение элементов которой определяются формулой

. (7.71)

Из решения системы линейных алгебраических уравнений (7.70) определяется вектор , а тем самым и уточненное значение вектора {q}

. (7.72)

Графическое изображение процедуры этого метода приведено на рис. 7.11, (а). Использование этого метода резко уменьшает количество итераций, причем процесс итераций обычно оказывается сходящимся. Недостатком метода является необходимость уточнения и обращения на каждой итерации матрицы . Этого можно избежать, правда ценой увеличения числа итераций, если для определения поправок вместо уравнения (7.70) воспользоваться уравнением вида

. (7.73)

Зависимость (7.73) выражает собой, так называемый, модифицированный метод Ньютона–Рафсона. Процедура этого метода изображена на рис. 7.11, (б).

Хотя изложенные выше методы решения физически нелинейных задач различаются между собой, их объединяет стремление ликвидировать невязку {d}, которая служит оценкой отклонения рассматриваемой системы от ее действительного равновесного состояния. Возможно сочетание этих методов друг с другом или с шаговым нагружением .

В случае простого нагружения составляющие внешней нагрузки изменяются пропорционально параметру l

. (7.74)

Дифференцируя равенство (7.61) по параметру l и учитывая зависимость (7.74) можно получить

, (7.75)

где точкой обозначена производная по l. Это уравнение в случае 0 = l0 < l1 <
< l2 ...< lm = 1 приобретает вид

, (7.76)

тогда

. (7.77)

С помощью зависимостей (7.76), (7.77), последовательно прослеживая ступени нагружения, получают значение вектора {q} при соответствующем уровне нагружения .

Применение указанных методов позволяет путем деформационного расчета выйти на предельное состояние конструкции по несущей способности. Такой подход оправдан в случае, если схема разрушения конструкции неизвестна и применение метода предельного равновесия затруднительно.