Лабораторная работа № 6

«Отделение корней нелинейных уравнений с одним неизвестным»

1. Постановка задачи

Корни скалярного нелинейного уравнения

(1)

в редких случаях удаётся найти точно. Как правило, корни вычисляются приближённо с заданной точностью.

Определение 2.1. Значение , удовлетворяющее уравнению (1), называют корнем этого уравнения или нулём функции .

Определение 2.2. Говорят, что уравнение (1) имеет только изолированные корни, если для каждого корня , , … уравнения (1) имеется окрестность, не содержащая других корней уравнения.

Определение 2.3. Корень уравнения (1) имеет кратность , если выполняется соотношение

, а . (2)

Из (2) следует, что вместе с функцией обращаются в нуль её производные , …, до -го порядка включительно. Корень кратности называется простым.

На рис. 2.1. корни , , являются простыми, а , – кратными, поскольку для них вместе с равенствами выполняется соотношение (касательные к в точках , совпадают с осью .

Задача 2.1. (Вычисление изолированных корней уравнения (1)). Состоит в отыскании чисел , , … , подстановка которых в уравнение (1) обращает его в верное числовое равенство.

Точное решение этой задачи возможно только в специальных случаях для узкого класса нелинейных уравнений. В общем же случае корни могут быть найдены лишь с конечной точностью.

Решение Задачи 2.1. складывается из двух этапов: отделения и уточнения корней. На первом этапе находятся отрезки , в которых содержится один простой или кратный корень уравнения (1).

На втором этапе корни уточняются до заданной точности одним из численных методов. Рассмотрим этапы отделения корней.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

2. Отделение корней алгебраических уравнений

При отделение (иначе локализации) корней необходимо:

1) выявить наличие и количество корней уравнения (1);

2) найти области их расположения;

3) получить отрезки на которых имеется точно по одному корню.

Для функций общего вида нет универсального способа решения этих задач. Обычно для их решения используется ряд теорем математического анализа и некоторые специальные графические приёмы.

Приведём (без доказательства) наиболее часто применяемые теоремы.

Теорема 2.1. (Больцано – Коши). Если непрерывная на отрезке функция на концах его имеет противоположные знаки, то есть

,

то внутри этого отрезка функция хотя бы один раз обращается в нуль (Рис. 2.2.).

Корень заведомо будет единственным, если производная существует и сохраняет знак на интервале , то есть если или при (Рис. 2.3.).

Если на концах интервала функция имеет одинаковые знаки, то на этом интервале корни либо отсутствуют, либо их чётное число.

Уравнение (1) называют алгебраическим, если функция имеет вид , где коэффициенты , , … , , суть действительные числа.

При отделении корней алгебраических уравнений с действительными коэффициентами

(3)

принимаются во внимание следующие свойства:

Уравнение (3) степени имеет ровно корней, действительных или комплексных, при условии, что каждый корень считается с учётом его кратности. Если коэффициенты , , … , , уравнения (3) действительные, то корни этого уравнения обладают свойством парной сопряжённости, то есть если является корнем кратности , то также является корнем той же кратности. Уравнение (3) нечётной степени имеет по меньшей мере один действительный корень. Если уравнение (3) имеет только действительные корни, то выполняются неравенства

.

Справедливо и противоположное утверждение: если при каком-либо выполняется неравенство

,

то уравнение (3) имеет по меньшей мере одну пару комплексных корней.

Число действительных положительных корней (с учётом их кратности) уравнения (3) равно числу перемен знаков в последовательности коэффициентов , , … , , (где нулевые коэффициенты не учитываются) или меньше этого числа на чётное число. Число отрицательных корней (с учётом их кратности) уравнения (3) равно числу перемен знаков в последовательности , , … , , (нулевые коэффициенты не учитываются) многочлена или меньше на чётное число. Все корни уравнения (3) удовлетворяют двойному неравенству

, (4)

в котором

; ;

(5)

; .

Если все корни уравнения (3) действительные, то числа и являются нижней и верхней границами множества положительных корней , а числа , представляют собой нижнюю и верхнюю границы множества отрицательных корней уравнения (3), то есть

, .

На практике часто применяются машинные способы отделения корней, для реализации которых удобно использовать графические возможности системы MatLab.

Пример 2.1. Отделить действительный корень уравнения

. (6)

По свойству 1 уравнение (6) имеет три корня, из которых по меньшей мере один (свойство 3) является действительным.

Для определения числа положительных корней запишем многочлен :

. (7)

Коэффициенты многочлена (7) 1, 0, -1, 1 два раза меняют знак, то есть . По свойству 5 число положительных корней равно двум или нулю. Заметим, что при функция , а при соответственно . Следовательно, уравнение (6) не имеет положительных корней.

Выпишем теперь коэффициенты многочлена : -1, 0, 1, 1. Число перемен знаков , поэтому имеется один отрицательный корень. Два других корня являются комплексно-сопряжёнными (свойство 2).

Оценим модули корней по формулам (4) – (5):

; ;

; .

Следовательно, модули всех корней заключены в пределах

,

а отрицательный (действительный) корень удовлетворяет неравенству

.

3. Графический способ отделения корней

Графический способ рассмотрим на примере.

Пример 2.2. Отделить корень трансцендентного уравнения

. (8)

Решим этот пример с использованием машинной графики системы MatLab. Для этого перепишем (8) в виде .

Абсцисса точки пересечения графиков

; (9)

и будет корнем уравнения (8).

Последовательность команд приведена в файле-сценарии prtk2_1, а графики функций (9) – на Рис. 2.4.

% Файл-сценарий 2.1.

% (графический способ отделения корня уравнения (8))

% file_2_1

1; x=0:0.1:1; % массив значений аргумента x

2; y=x.^2; z=exp(-3*x); % вычисление значений функций

3; plot(x,y,x,z) % построение графиков

4; grid on % нанесение координатной сетки

Рис. 2.4. Графический способ отделения корня уравнения (8).

Из Рис. 2.4. видно, что корень заключён в промежутке

.

Замечание. В файле-сценарии prtk2_1 используются команды и функции MatLab, которые можно получить из встроенной справочной системы, используя команды help, helpdesk, helpwin.

4. Программа для приближённого нахождения местоположения корней нелинейных уравнений

Средствами MatLab довольно просто составлять программы, позволяющие находить приближённое местоположение корней сложных нелинейных уравнений.

Пример 2.3. На отрезке с точностью найти корни следующих уравнений:

(10)

(11)

(12)

Решение этого примера представим в виде алгоритма, приспособленного для реализации в среде MatLab.

Алгоритм 2.1. (Приближённое нахождение местоположения корней нелинейных уравнений).

Задать числа и . На отрезке сформировать одномерный массив вектора с шагом . Сформировать массив значений функции , заданной левой частью уравнения (10) (или (11), (12)). Построить график функции . Вычислить размерность вектора . Сформировать массив индексов . Для выполнить операторы отношения

(13)

(14)

(15)

Найти приближённое значение корня , положив

, если .

Алгоритм 2.1. в среде MatLab реализуется с помощью следующего файла.

% Файл-сценарий 2.2. (нахождение местоположения корней

% нелинейных уравнений (

%file_2_2

1; eps1=2e-3; h=1e-3; % требуемая точность вычислений

2; x=-2:h:2; % массив значений аргумента x

3; f=cos(x.^2-1); % значения функций

4; f=(x.^3-x.^2-x+1);

5; f=x.^3-1.3.*x.^2+0.32.*x-0.02;

6; plot(x,f), grid on; % построение графика функции

7; dx=length(x); % размерность вектора x

8; j=1:dx-2; % вектор индексов j

9; J1=abs(f(j+1))<=eps1; % операторы отношения

10; J2=(f(j+1)-f(j)).*(f(j+2)-f(j+1))<0;

11; J3=f(j).*f(j+1)<=0; % условие сходимости

12; J=((J1&J2)|(J3)); % вычисление корней

13; r=x(J)

в) уравнение (12)

Рис. 2.5. Графики функций (10) – (12)

На Рис. 2.5. показаны графики функций, которые помогают контролировать правильность вычисления корней уравнений (10) – (12).

Из Рис. 2.5., а видно, что на отрезке имеются два хорошо отделённых корня уравнения (10). Вблизи корней график функции круто пересекает ось абсцисс, что указывает на хорошую обусловленность задачи (когда малые изменения формы функции (10) приводят к малым же изменениям значений корней). Для подобных задач при использовании условия сходимости

(16)

корень будет удовлетворять неравенству , а абсолютная ошибка не превысит величины .

Для плохо обусловленных задач (когда малые деформации функции приводят к большим изменениям значений корней) нужно выбрать другое условие сходимости. рассмотрим этот вопрос на примере уравнений (11), (12).

Вблизи точки уравнение (11) (Рис. 2.5., б) касается оси абсцисс, не пересекая её, а график функции (12) (Рис. 2.5., в) близок к нулю в диапазоне . Используя только одно условие (16), в первом случае нельзя, а во втором затруднительно определить местоположение всех корней с заданной точностью. Для решения задач (11), (12) к критерию (16) следует добавить ещё одно условие:

и . (17)

Это условие означает, что в тех точках , где , только те абсциссы будут корнями, вблизи которых выполняется дополнительное условие

. (18)

Геометрический смысл неравенства (18) состоит в том, что около точки тангенсы углов наклона касательных к кривым имеют противоположные знаки, то есть производная меняет знак.

Если учесть, что

, ,

,

то условию (18) можно придать форму , которая и фигурирует в критерии (17).

Замечание. Критерий (17) неприменим для функций , графики которых имеют локальные экстремумы, весьма близкие к нулю. В этом случае будет рассматриваться как приближённое значение корня, если , хотя в действительности может быть далёк от корня. В подобных случаях надо использовать другие критерии сходимости.

В Алгоритме 2.1. условия сходимости (16), (17), (19) заменяются соотношениями (13) – (14), которые в Программе 2.1. реализуются при помощи операторов отношения , , . Действие этих операторов поясним на примере строки 11 из Программы 2.1.:

J3=F(j).*f(j+1)<=0.

Оператор выполняется для каждого элемента массива (на это указывает точка перед символом *). В результате получается вектор-строка размера , состоящая из нулей и единиц; при этом единицы стоят в тех позициях, где компонентное сравнение удовлетворяет первому неравенству в (14), а нули расположены там, где выполняется второе неравенство в (14).

Критерий сходимости (15) реализует логический оператор (строка 12), действие и результаты которого аналогичны оператору отношения. На этом мы закончим рассмотрения вопроса об отделении корней и перейдём к изучению методов решения нелинейных уравнений.