Задание

№ 9. Решить дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Решение:

Перепишем уравнение:

, , ,

,

. (1)

Получили линейное неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка

Рассмотрим сначала однородное уравнение:

, (2)

, ,

, , где С — некоторая постоянная;

,

— общее решение однородного уравнения (2).

Далее применим метод вариации произвольной постоянной. Ищем решение неоднородного уравнения в виде .

.

Подставим выражения для y и в уравнение (1):

,

,

,

, где — некоторая постоянная;

.

№ 19. Решить дифференциальное уравнение методом понижения порядка:

.

Решение:

Перепишем уравнение в виде .

Продифференцируем обе части уравнения несколько раз подряд:

,

, где — некоторая постоянная,

,

, где — некоторые постоянные,

, где — некоторые постоянные.

№ 27. Найти общее решение дифференциального уравнения второго порядка:

. (1)

Решение:

Однородное уравнение имеет характеристическое уравнение , , следовательно, общее решение однородного уравнения

, где — некоторые постоянные.

Так как не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде

.

Находим :

;

.

Подставим в исходное уравнение (1) вместо и их выражения:

,

,

,

Получаем систему для нахождения коэффициентов А и В, решаем ее:

Значит, частное решение неоднородного уравнения: ,

а общее его решение: .

№ 35. Найти область сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости:

.

Решение:

У данного ряда отсутствуют четные степени переменной х, поэтому применим непосредственно признак Даламбера:

.

Здесь , .

Тогда

.

Данный ряд сходится для , или, , т. е. ,

,

,

Интервал сходимости данного ряда определяем из равенства:

Область сходимости: .

Исследуем поведение ряда на концах интервала сходимости.

При получаем знакочередующийся ряд , который, сходится по признаку Лейбница:

1) члены ряда монотонно убывают по абсолютному значению ;

2) предел общего члена ряда равен нулю: .

При получаем ряд . Сравним этот ряд с гармоническим рядом .

.

Находим . Гармонический ряд расходится, значит, по предельному признаку сравнения, расходится и ряд .

Поэтому областью сходимости данного степенного ряда является интервал .

№ 49. Разложить функцию в ряд Маклорена, определить область сходимости ряда:

а) .

Решение:

Продифференцируем данное уравнение несколько раз подряд:

,

,

,

,

- - -

Найдем значения функции и ее производных при :

,

,

,

,

.

- - -

Тогда искомое решение запишем в виде ряда Тейлора в точке по формуле:

Получаем:

Найдем область сходимости полученного степенного ряда. По таблице находим, что использованное разложение сходится при . В данном случае . Поэтому

,

,

,

— интервал сходимости исследуемого степенного ряда.

При .

При .

Таким образом, область сходимости полученного степенного ряда: .

б) .

Решение:

Преобразуем функцию в виде:

.

Используем частный случай биномиального разложения:

, .

В данном случае . Таким образом,

.

Тогда

Из области сходимости биномиального ряда: . В нашем случае , т. е. , , т. е. .

Исследуем концы интервала сходимости. Подставляем концы интервала в полученный ряд .

При получаем .

При получаем .

Оба числовых ряда расходятся, так как не выполнен необходимый признак сходимости ряда.

Окончательно: область сходимости полученного ряда: .

№ 57. Построить область интегрирования и изменить порядок интегрирования:

.

Решение:

Построим область интегрирования, которая находится между прямыми и (см. пределы внешнего интегрирования). Сверху область интегрирования D ограничена линией , а снизу — линией (см. пределы внутреннего интегрирования ).

Требуется изменить порядок интегрирования, т. е. сделать внешнее интегрирование по переменной y, а внутреннее — по переменой x.

Изменим порядок интегрирования, для чего заданную область представим в виде двух областей (так как правая граница области D состоит из двух линий): области D1 и D2.

Пределами внешнего интегрирования области являются , пределами внутреннего — (выразили из уравнения переменную y через х).

Пределами внешнего интегрирования области являются и , а пределами внутреннего — , .

Таким образом, , .

Тогда двойной интеграл с измененным порядком интегрирования запишется в виде

.

№ 67. Найти объем цилиндрического тела, расположенного в I октанте, которое ограничено снизу плоскостью , сверху – плоскостью , сбоку — поверхностями и .

Решение:

Объем тела U в декартовых координатах Oxyz выражается формулой

.

Спроецируем тело на плоскость Oxy и найдем область D.

Область D представляет собой фигуру, ограниченную слева и справа прямыми и , а сверху и снизу — дугами парабол и .

Итак, .

Тогда

№ 75. , где кривая L задана параметрически , , .

Решение:

.