Вопрос 10. Простой двухпериодный пример оценки инвестиционного опциона

Вопрос 10. Простой двухпериодный пример оценки инвестиционного опциона.

Рассмотрите (в общем случае) простой двухпериодный пример оценки инвестиционного опциона, когда неопределенность в отношении будущих значений прибыли раскрывается во втором периоде.

Применение стандартного метода оценки приведенной стоимости, , для принятия решения об инвестициях в условиях неопределенности может дать неадекватный результат, если не учитывать часто существующую возможность отложить принятие решения до частичного или полного устранения неопределенности.

Рассмотрим двухпериодную модель инвестиционного опциона. Инвестиционная возможность - опцион на покупку - дает право (при желании) совершить инвестиции в следующем периоде t=1 в некий актив, по которому есть следующая информация:

Сумма первоначальных инвестиций составляет I. Прибыль по активу в момент t=0 известна, она составляет . В отношении будущих значений прибыли существует неопределенность: начиная с периода t=1 и до t=, прибыль может составить либо большую величину π1H, с вероятностью p, либо низкую величину π1L, с вероятностью 1–p. Неопределенность разрешается в момент времени t=1. Альтернативой является безрисковый актив с доходностью r. Инвестиции полностью необратимы.

Опишите возможные стратегии поведения инвестора. Определите первоначальную стоимость инвестиционного опциона методом расчета ожидаемой чистой приведенной стоимости проекта.

Инвестор может выбрать одну из двух возможных стратегий.

1. «Инвестировать сейчас или никогда» (NON=now or never). Инвестор не приобретает опцион и должен решить вопрос о целесообразности инвестиций в нулевом периоде. В этом случае ожидаемая чистая приведенная стоимость проекта составит:

(1)

2. «Инвестировать сейчас или позже»(NOL=now or later). Если инвестор имеет возможность подождать до следующего периода, то оценка чистой приведенной стоимости проекта для случая “инвестировать сейчас или в следующем периоде” составляет:

(2)

Предположим для определенности, что в случае инвестор будет заинтересован вкладывать деньги в проект, а в случае - нет. А именно, предположим, что , . Тогда (2) преобразуется в (3):

(3)

Определите первоначальную стоимость инвестиционного опциона методом составления безрискового портфеля активов.

Используя метод составления безрискового портфеля активов можно показать, что полученная оценка NPV совпадает со стоимостью инвестиционного опциона:

(4)

Где F0 – стоимость опциона в момент времени t=0. Стоимость опциона в следующем периоде t=1 составит:

(5)

в случае если прибыль , и

, (6)

если . В первом случае инвестор реализует опцион, инвестируя сумму и получая активы стоимостью . Во втором случае инвестору невыгодно реализовывать опцион, т. к. стоимость приобретаемых активов слишком мала.

Составим безрисковый портфель, состоящий из одного рассматриваемого производного инструмента (инвестиционного опциона) и коротких (долговых) позиций на рассматриваемый актив (со стоимостью π0 в период t=0, и с вероятностью p, и с вероятностью 1-p, начиная с периода t=1). Текущая стоимость портфеля составит . В следующий период времени портфель с вероятностью будет стоить , (7)

и с вероятностью будет стоить

. (8)

Поскольку портфель безрисковый, выполняется условие: . Подставляем в это равенство выражения (7) и (8) и находим n:

(9)

При таком выборе стоимость портфеля в следующем периоде составит Ф1=-nπL при любой будущей стоимости актива.

Альтернативные издержки держания короткой позиции в общем случае будут определяться спрэдом между ожидаемой нормой доходности рискового актива, , и безрисковой нормой доходности . Таким образом, издержки держания коротких позиций равны .

Условие отсутствия арбитража на финансовом рынке требует, чтобы доходность безрискового портфеля соответствовала доходности от простых вложений в базовый безрисковый актив, так что

(10)

Из выражения (10) найдем стоимость опциона в момент t=0, F0. Подставим в (10) выражения для Ф0 и Ф1L, тогда оно сведется к виду:

(11)

Подставим вместо n в (11) выражение (9) и упростим. В итоге получаем:

(12)

Как и следовало ожидать, данная оценка совпадает с оценкой чистой приведенной стоимости для случая «инвестировать сейчас или в следующем периоде».

Опишите, каким образом изменения в первоначальной прибыли отражается на стоимости инвестиционного опциона и выборе стратегии поведения инвестора. Запишите параметрическое определение точки безразличия (точки переключения с одной инвестиционной стратегии на другую). Какими свойствами обладает данная точка? Постройте график зависимости стоимости инвестиционного опциона от первоначального объема прибыли.

Положим, для определенности, что , и введем относительные показатели прироста (падения): и . Оценка чистой приведенной стоимости для случая «инвестировать сейчас или никогда» может быть переписана в виде: (13)

В свою очередь, оценка чистой приведенной стоимости для случая «инвестировать сейчас или в следующем периоде» записывается как: (14)

Отсюда можно записать условие, гарантирующее, что инвестор не будет заинтересован реализовывать инвестиционный опцион в случае снижения прибыли, и напротив, будет заинтересован инвестировать в случае роста прибыли: (15)

Инвестор будет заинтересован ждать следующего периода для принятия решений, если NPVNOL > NPVNON, не будет видеть смысла ждать, если NPVNOL < NPVNON, и, наконец, будет безразличен ко времени принятия решения в граничном случае, когда NPVNOL = NPVNON.

Последний случай определяет точку безразличия для первоначального значения прибыли. Приравняв друг к другу выражения (13) и (14) (для случая, когда ) и выразив , получим точку безразличия: (16)

Параметрическое определение обладает рядом интересных свойств.

Чем выше требуемый объем инвестиций, I, чем выше альтернативные издержки, r, и чем значительнее возможное падение прибыли в будущем (чем больше d), тем сильнее стимул отложить принятие решения и ждать.

Чем выше вероятность «хорошего исхода», p, тем выше стимул инвестировать сразу же, не дожидаясь устранения неопределенности.

Действия инвестора – инвестировать сейчас или ждать – не зависят от величины будущей прибыли при хорошем исходе (параметр u одинаково воздействует на NPVNOL и NPVNON) – так называемый «принцип плохих новостей» - плохие новости влияют на решение, хорошие – нет.

С ростом неопределенности (при неизменном среднем) инвестор становится более осторожным – склонность отложить принятие решения возрастает. Положим для простоты, что ожидаемое значение будущей прибыли совпадает с ее текущим значением, (т. н. mean-preserving spread). Это возможно только в том случае, когда . С пропорциональным ростом и вероятность того или иного события не меняется, но дисперсия случайного значения будущей прибыли, т. е. степень неопределенности, возрастает квадратически, . При этом, т. к. не зависит от и положительно зависит от , мы получаем, что с ростом неопределенности (для случая mean-preserving spread) инвестор становится более осторожным – склонность отложить принятие решения возрастает.

Рис. 1. Выбор инвестиционной стратегии в зависимости

от первоначальной прибыли.

Точка π0IND лежит внутри записанного выше диапазона (15). Это означает, что переключение со стратегии «отложить принятие решения до следующего периода» на стратегию «инвестировать сейчас, не ждать» возможно только в том случае, когда инвестор не будет заинтересован реализовывать инвестиционный опцион при снижении прибыли, и будет заинтересован инвестировать, когда прибыль возрастает.

Выбор стратегии в зависимости от первоначального значения прибыли удобно проиллюстрировать графически. Рис.1 содержит линии и как функции от .

В случае, когда , инвестор не будет заинтересован вкладывать деньги в проект в любом случае, т. к. для любой стратегии чистая отдача проекта будет отрицательной (нулевой). В диапазоне стратегия «отложить принятие решения до следующего периода и инвестировать только в случае роста прибыли» доминирует над стратегией «инвестировать сейчас». И наконец в случае инвестору нет смысла ждать – инвестиции состоятся в первоначальный момент времени. Таким образом, оценка чистой приведенной стоимости как функция от первоначального объема прибыли будет ломаной выпуклой линией.

Опишите, каким образом изменения в объеме (издержек) инвестиций отражается на стоимости инвестиционного опциона и выборе стратегии поведения инвестора. Постройте график зависимости стоимости инвестиционного опциона от объема (издержек) инвестиций.

Аналогичный рассмотренному выше анализ может быть проведен и в отношении зависимости выбора инвестиционной стратегии от объема инвестиций. На рис. 2 приведен график зависимости стоимости инвестиционного опциона от объема (издержек) инвестиций. Интуитивно ясно, что в случае низких издержек инвестиций, инвестор может быть заинтересован в реализации проекта, не дожидаясь снятия неопределенности относительно будущей прибыли. Если объем требуемых капиталовложений достаточно велик, у инвестора уже может появиться стимул ждать. И, наконец, если объем необходимых инвестиций превышает некоторое критическое значение, проект будет непривлекателен как в случае будущего снижения, так и роста прибыли. Действительно, для стратегия «инвестировать сейчас, не ждать» доминирует над стратегией «ждать и инвестировать в будущем только в случае роста прибыли», . Напротив, для мы имеем . Стоимость опциона превосходит текущую чистую отдачу , и опцион должен быть сохранен (не реализован) – инвестор будет ждать «хороших новостей». Наконец, если издержки инвестиций превосходят определенный критический уровень , инвестиции будут неоправданны, даже если прибыль вырастет. Стоимость инвестиционного опциона будет нулевой. В итоге, стоимость опциона является убывающей выпуклой функцией от издержек инвестиций.

Рис. 2. Выбор инвестиционной стратегии в зависимости от объема инвестиций.