Cхема независимых испытаний

35(1). Cхема независимых испытаний.

Опр. Испытание - это осуществление комплекса условий.

Испытания называются независимыми если результат каждого из них не зависит от исхода остальных.

Рассмотрим послед. испытаний с св-вами:

1. В каждом испытании выделяют только два исхода. Успех – осуществление события, и наступление противоположного - неудача.

2. Испытания явл. независимыми

3. Вероятность появления события А во всех испытаниях одинакова и = , а вероятность неудачи

Такая послед. испытаний наз. Схемой Бернулли.

Пример. Последовательность бросания монет, где успехом явл. появление герба с вероятностью

Пусть проводится n испытаний и задано число

Найти вероятность того, что в серии из n испытаний событие А осуществляется ровно m раз. ()

Обозначим успех испытаний 1, а неудачу 0, тогда решение нашей задачи будет цепочка из n цифр, где 1 встречается m раз, а 0 n-m раз. Вероятность появления 1 = p, а вероятность 0 = q. Тогда вероятность каждого варианта по принципу умножения =

Число таких вариантов = числу способов выбрать из n мест m мест, под 1, отводя оставшиеся n-m под 0.

То есть число таких способов . Таким образом

- формула Бернулли, где - число сочетаний из n- элементов по m.

Пример. Произведено 3 бросания монеты. Найдите вероятность выпадения m гербов, где

Число испытаний n=3, событие А-выпадение герба, ,

По формуле Бернулли

,

имеем

Опр. Наивероятнейшее число появления события А в серии из n независимых испытаний называется число m0 для которых вероятность не меньше вероятности любого из оставшихся исходов, т. е. , где

Пусть проводится n независимых испытаний и , . - вероятность тог, что в серии из n испытаний событие А осуществилось не менее и не более раз.

Тогда по формуле Бернулли

При больших значениях n и m вычисления вероятности связана со значительными трудностями. Сформулируем асимптотические ф-лы.

Т. (Лок. Т Муавра-Лапласа). , , причем

Следствие. ,

Опр. Ф-ция - дифференциальная ф-ция Лапласа.

Пр. Пусть вероятность осуществления события А p=0.2, Найти вероятность того, что в серии из n=400 испытаний событие А осуществиться ровно m=80, раз.

Нужно найти .

q=0.8.

Th. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

где ,

Опр. Ф-ция - интегральная ф-ция Лапласа.

Следствие. - асимптотическая формула, где , , при

Пример Вероятность того, что изделие браковано =0,2. Найти вероятность то, что партия из 400 изделий содержит от 70 до 100 бракованных.

n=400, А – изделие браковано, p=0,2, q=0,8

Если , то асимптотическая формула М.-Л. является не точной

Теорема. (Пуассона) Если , , то

Док-во

По формуле Бернулли

,

тогда

Пример. Книг 10000 экземпляров, вероятность того, что книга бракованная = 1/10000 . Найти вероятность того, что 5 экземпляров бракованы.

n=10000 p= 0.0001

np=1<10, где

36(1). Статистические модели.

На практике при изучении конкретного эксперимента вероятность редко бывает известна полностью. Часто можно лишь утверждать, что является элементом некоторого класса вероятностей . Этот класс может включать в себя все вероятности, которые можно задать на - алгебре А, либо представляет собой некоторое более узкое семейство вероятностей, заданное в той или иной форме. В любом случае - совокупность допустимых для описания данного эксперимента вероятностей.

Если задан класс , то говорят, что имеется вероятностно (статистическая) модель, подразумевая под этим набор .

Пример: Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых может наступить либо «успех» с вероятностью , либо «неудача» с вероятностью . Исход эксперимета можно представить n мерным вектором из нулей и единиц. Если вероятность успеха известна, то

Предположим, что вероятность заранее неизвестна. Обозначая ее через можно только сказать, что . Т. о., семейство допустимых вероятностей имеет вид , где

Итак, статистическая модель описывает ситуации, когда в вероятностной модели изучаемого эксперимента имеется та или иная неопределенность в задании вероятности P.

Пусть - случайная величина, наблюдаемая в случайном эксперименте. Будем считать, что проведя n раз этот эксперимет в одинаковых условиях, мы получили числа - значения этой случайной величины в 1-м, … , n-ом экспериметах. Набор называется выборкой, т. е. выборка – это совокупность опытных значений случайной величины .

Пусть – множество всех возможных значений выборки.

Под статистической моделью эксперимента понимается набор , где - класс допустимых распределений случайной величины , заданной на .

Распределение вероятностей любой случайной величины однозначно определяется ее функцией распределения, поэтому обычно статистическая модель задается не классом , а семейством функций распределения , которому принадлежит известная функция распределения выборки .

Статистическую модель для повторных независимых испытаний будем обозначать , т. е. указанием лишь класса допустимых функций распределения для случайной величины .

Если функции из класса заданы с точностью до значения некоторого параметра с множеством возможных значений, то такая модель обозначается и называется параметрической. В этом случае известен тип распределения наблюдаемой случайной величины, а неизвестен только параметр, который может быть как скалярным, так и векторным. Множество называется параметрическим.

Пример: Пусть имеется нормальное распределение с известной дисперсией и известным математическим ожиданием. Тогда статистическая модель имеет вид , где .

Модель наз. абсолютно непрерывной или дискретной, если таковыми являются все составляющие класса А функции распределения.

Будем обозначать через (для параметрических моделей ) плотность распределения случайной величины в абсолютно непрерывной модели и в дискретной модели.

Типичные статистические модели.

В теории вероятности часто встречающиеся законы распределения имеют общепринятые наименования и обозначения. Если наблюдаемая величина имеет распределение некоторого стандартного типа, то соответствующая статистическая модель имеет такое же наименование

- нормальная модель с математическим ожиданием и дисперсией , ;

- пуассоновская модель,

- модель Коши,

- равномерная модель,

- биномиальная модель, и т. д.

В параметрической модели требуется, используя выборки , сделать статистические выводы об истинном значении неизвестного параметра , т. е. получить его оценку.

Опр. Статистической наз. всякая величина, являющейся функцией только от выборки .

Статистика предназначена для оценивания неизвестного параметра , поэтому ее иначе называют оценкой. Оценка наз. точечной, если она представляет собой число, т. е. точку на числовой оси. При точечном оценивании ищут статистику, значение которой при заданной реализации выборки принимают за приближенной значение искомого параметра.

Метод максимального правдоподобия – еще один способ построения оценки неизвестного параметра. Он состоит в том, что в качестве оценки параметра берут значение , максимизирующее вероятность получить при n опытах данную выборку x.

Если изучаемая случайная величина непрерывна и ее плотность вероятности, то ф-ция правдоподобия есть ф-ция рассматриваемая при фиксированном x как ф-ция параметра . Если же - дискретная случайная величина, то ф-ция правдоподобия имеет вид , где

Оценкой максимального правдоподобия параметра наз. такое , при котором достигает максимума. Оценка максимального правдоподобия является решением уравнения . Так как ф-ции и достигают максимума при одном и том же значении , то вместо отыскания максимума ищут максимум , что проще.

Если - векторный параметр, то уравнение правдоподобия заменяется системой правдоподобия

Существует много подходов к оценке неизвестных параметров распределения. Рассмотрим метод Моментов, предложенный Пирсоном.

Пусть - выборка, , где и . Предположим, что у наблюдаемой случайной величины существуют первые моментов . Они являются функциями от неизвестных параметров, т. е. . Рассмотрим соответствующие выборочные моменты .

Метод моментов для нахождения точечных оценок неизвестных параметров заданного распределения состоит в приравнивании теоретических моментов распределения к соответствующим выборочным моментам, т. е. решая уравнения относительно , получаем значения оценок параметров по методу моментов.

В частности, если распределение зависит от одного параметра , то для нахождения его оценки нужно решить уравнение . Если распределение зависит от двух параметров и , то решают систему

и т. д.

Опр. Математическим ожиданием случайной величины наз. сумма произведений всех возможных случайной величины на вероятности этих значений.

Опр. Дисперсией случайной величины наз. математическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожидания.