Формулы Дюамеля

10.4.2. Формулы Дюамеля

Если на вход некоторой цепи подключен источник, у которого ЭДС или ток j(t) имеют сложную зависимость от времени, то при отыскании тока i(t) или напряжения u(t) на выходе цепи можно применить принцип наложения. Для доказательства рассмотрим некоторую цепь с переходной проводимостью y(t), на входе которой действует источник непрерывной ЭДС, график мгновенного значения которой показан на рис. 10.25,а. Заменим эту кривую ступенчатой линией через равные промежутки времени Dq. Тогда можно считать, что в момент включился источник e(0), в момент – источник при – ЭДС

Так что в момент ток на выходе можно найти как сумму составляющих от действия ЭДС, включившихся к данному моменту:

Устремляя Dq к нулю, учтем, что отношение конечных приращений переходит в производную сумма бесконечно малых превращается в интеграл, в результате чего получим формулу Дюамеля:

(10.33а)

Используя свойства определенных интегралов и применяя интегрирование по частям, можно получить еще три формы записи интеграла Дюамеля:

(10.33б)

(10.33в)

(10.33г)

Здесь t – момент времени, в который определяется ток, а q – момент включения очередного бесконечно малого источника причем под интегралом t – переменная, не зависящая от q.

Если закон изменения e(t) различен на разных интервалах, причем возможны разрывы первого рода, как на рис. 10.25,б, то и решения для каждого из этих интервалов будут отличаться друг от друга:

для

для

для

Отметим, что при записи решения на любом из интервалов времени верхний предел последнего интеграла равен t (если, конечно, этот интеграл существует).

Пример 10.12

Определить ток в цепи рис. 10.24,в при воздействии ЭДС, изменяющейся по экспоненциальному закону:

Решение

Учтем, что e(0) = 0,

Тогда после подстановки в формулу Дюамеля (10.33а) этих величин вместе с найденной в примере 10.11 переходной проводимостью а также получим: