Комментарии к заданию

Комментарии к заданию.

I раздел.

1. Предмет: Математика (геометрия).

2. Класс: 9.

3. Учебник: , «Геометрия» для 7-9 классов.

4. –.

5. Подобные типы заданий в учебнике работают на применение формул (площади треугольника и трапеции, теоремы Пифагора) и на выполнение математических расчетов.

6. Задание рассчитано на восполнение следующих дефицитов:

¾ Способность отнести задание к определенной предметной области (т. е. анализ текста, составленный на научно-историческом материале) и применение сформированных способов действий;

¾ Способность вычленять математическое содержание в «зашумленном» задании и работа с переопределенными условиями задачи;

¾ Работа с информацией представленной в различной форме (текст, таблица, модель в виде чертежа, фотография в виде реального объекта);

¾ Установление связи между предложенной математической моделью (в форме пространственного изображения) и словесным описанием реального объекта - «наклонной» пирамиды;

¾ Способность учащихся представлять информацию разными способами;

¾ Умение переносить геометрические фигуры и их свойства из пространства на плоскость (т. е. переход от работы в пространстве с объемной моделью к работе на плоскости) и распознавать фигуры;

¾ Выбор собственного способа решения на каждый вопрос;

¾ Самостоятельное установление уровня сложности, точности и детализации.

7. Данный текст составлен на основе исторических сведений об Египетских пирамидах.

8. Решение данной задачи можно разбить на два урока: 1 урок – решение 1,2,3 заданий, 2 урок – решение 4 задания. Или на 1 уроке – решение 1,2,3 и рассмотрение теоретической части 4 задания, а вычисление по выведенным формулам предложить выполнить дома, на 2 уроке – проверка полученных результатов.

9. Данную задачу можно использовать при закреплении следующих тем: «Площадь треугольника» и «Площадь трапеции» (в 9 классе).

II раздел.

Рекомендации по работе с задачей:

Вопрос 1.

Основная цель этого вопроса заключается в том, чтобы выяснить, как ученик может обосновать с математической точки зрения предложенную ситуацию.

На данный вопрос возможны следующие варианты ответов:

¾ Наклон был изменен в связи со срочным завершением строительства, т. е. не хватало времени на постройку пирамиды таких размеров.

¾ Архитектор изменил наклон граней пирамиды, т. к. при расчетах была допущена ошибка и при таком наклоне пирамида была бы не устойчивой, т. е. могла разрушиться.

Возможны и другие варианты ответа главное, чтобы они не противоречили здравому смыслу.

Вопрос 2.

От учащихся требуется построить пространственную фигуру на основе предложенной математической модели.

Здесь должен быть чертеж правильной четырехугольной пирамиды. Если учащиеся незнакомы с пирамидами, возможно, стоит их познакомить с правильными пирамидами, рассмотрев при этом основные понятия, встречающиеся при работе с пирамидами (основание, высота пирамиды, апофема, боковые грани и т. д.).

Вопрос 3.

При ответе на данный вопрос важно, чтобы учащиеся не только увидели в предложенном пространственном изображении уже знакомые им «плоские» геометрические фигуры, но и смогли использовать их свойства при ответе на следующий вопрос.

 

Данную фигуру можно разбить на 2 геометрические фигуры: равнобокую трапецию и равнобедренный треугольник. При проверке этого задания хорошо было бы вспомнить свойства этих фигур, а так же формулы нахождения их площадей.

Вопрос 4.

Это задание потребует дополнительных построений и вычислений, при выполнении важно увидеть, как в предложенной фигуре можно использовать свои знания (в частности - теорему Пифагора).

Так как вся боковая поверхность «пирамиды» состоит из четырех одинаково составленных фигур, то S бок. пов.= 4·(S трапеции + S треугольника).

1. Sтрапеции = ½ (a+b) · h, где a и b-основания, а h- высота.

 

а =170 м (из таблицы), b =½· a = 85 м (по свойству средней линии треугольника, это можно увидеть, рассмотрев правильную пирамиду, линия по которой изменяется наклон граней «пирамиды» и есть средняя линия треугольника).

Высоту можно найти, используя теорему Пифагора, для этого необходимо рассмотреть в правильной пирамиде прямоугольный треугольник. Катетами этого прямоугольного треугольника являются – высота пирамиды (это 100 м, т. к. берем высоту правильной пирамиды, без изменения наклона граней) и отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей основания пирамиды с серединой одной из сторон основания (это а:2 = 170:2 = 85 м). А гипотенузой является отрезок соединяющий вершину пирамиды с серединой стороны основания (высотой боковой грани). Отсюда h треугольника = Ö102 + 852 =

Ö 17225 ≈ 131,2 м, а h трап.= ½ h треуг.= 65,6 м.

Sтрапеции = ½(170+85)· 65, 6 = 8364 кв. м

1. S треугольника = ½·a h, где а- основание, h- высота.

а = 85м, высоту можно найти из прямоугольного треугольника, используя теорему Пифагора. Для этого необходимо рассмотреть «маленькую» пирамиду, которая получается после изменения угла наклона «пирамиды». Катетами являются - высота «маленькой» пирамиды (из таблицы= 40м) и отрезок, соединяющий точку пересечения диагоналей основания «маленькой» пирамиды с серединой одной из сторон основания (это а:2 = 85:2 = 42,5 м). А гипотенузой является отрезок соединяющий вершину «маленькой» пирамиды с серединой стороны основания (высота боковой грани). Поэтому h треуг= Ö 402 + 42,5 2 = Ö 3406,25 ≈ 58,4 м.

S треуг.=½ ·85· 58,4 = 2482 кв. м.

Следовательно, S бок. пов.= 4·( 8364 +2482) = 43384 кв. м

Оптимальное округление данных в вопросе - до десятых.

Оценивание.

	1 вопрос	2 вопрос	3 вопрос	4 вопрос
Математическая грамотность	3 балла выдвижение и обоснование своих гипотез	1 балл работа с объемной фигурой - пирамидой	1 балл способность работать с плоскими фигурами в пространстве	3 балла формирование способа решения задачи, применяя дополнительные построения
Работа с информацией	1 балл возврат к условию задачи и использование дополнительной информации	2 балла поиск дополнительной информации в разных местах	1 балл возврат к условию задачи	3 балла обращение к решению преидущих вопросов, к тексту, использование табличных данных
Общеучебные навыки	0 баллов	1 балл перенос геометрических знаний из 5-6 класса	0 баллов	2 балла перенос знаний из другого раздела геометрии