Глава 8. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ К РАСЧЕТУ
ГАЗОВОГО РАЗРЯДА
8.1. Адаптационная модель
Пусть требуется вычислить параметры газового разряда, описывающего процесс отключения тока элегазовым выключателем с продольным дутьем, включенного последовательно с нагрузкой (рис.2).
кабель L контакт дуга
____________________
U ~ —| |――
Рис.2 C нагрузка
В настоящее время в модели Майра газовый разряд описывается дифференциальными уравнениями
, 
, (8.1)
, (8.2)
где 
– время, напряжение генератора, ток во внешней цепи и напряжение на контактах (на нагрузке), проводимость нагрузки,
– волновое сопротивление и собственная частота выражаются через индуктивность L и емкость C.
, 
.
Уравнения вида (8.1), (8.2) определяют, так называемую, адаптационную модель. Параметры модели 
постоянную времени и отводимую мощность, подбирают из согласия с экспериментом. Ниже найдем более точное уравнение для расчета проводимости газового разряда, основанное на уравнении для концентрации свободных электронов.
Выделим в межконтактном промежутке объем V, ограниченный боковыми стенками сопла и поперечными сечениями вдоль потока дутья. Левое поперечное сечение проходит через торцевую поверхность контакта, который назовем катодом. В разделе 8.3.1 составим уравнение баланса заряженных частиц в выделенном объеме V.
Ранее (см. раздел 7.1 , уравнение (7.26)), из общей формулы для среднего значения числа электронов получили уравнение для изменения со временем числа заряженных частиц, находящихся в свободном состоянии (в общем случае для частиц, находящихся в тех состояниях, которые нас интересуют).
В общих чертах процесс изменения концентрации свободных электронов на разных интервалах времени после первого полупериода тока, начиная с момента времени вблизи нуля тока и затем в течении второго полупериода, протекает по следующей схеме.
После возникновения дуги ток разряда приближается к нулевому значению. Концентрация свободных электронов и, следовательно, проводимость разряда и ток разряда уменьшается по экспоненциальному закону, достигает минимального значения на некотором критическом участке и начинает возрастать, когда напряженность поля на критическом, малом участке достигает значения, при котором возобновляется ионизация. Рассмотрим основные процессы, приводящие к изменению числа свободных электронов в выделенном объеме V при возобновлении ионизации (при тепловом пробое).
8.2. Причины изменения числа свободных зарядов в данном объеме
8.2.1. Перечень основных процессов
Перечень основных процессов, приводящих к изменению числа
свободных электронов, выглядит следующим образом.
1) Рождение и уничтожение свободных электронов в процессах ионизации и рекомбинации (см. раздел 7.2 ).
2) Ускорение свободных электронов электрическим полем
(см. 8.2.2. ). В результате увеличивается кинетическая энергия свободных электронов, передаваемая молекулам.
3) Выравнивание концентрации молекул газа вдоль оси газового разряда. Поток молекул в сторону меньшего давления.
4) Электрический ток через торцевые грани объема V.
Мы продолжим детальное рассмотрение процессов ионизации и рекомбинации. Процессы ускорения электронов рассмотрим в приближении точечных частиц. Влияние процессов выравнивания давления и электрического тока на изменение числа свободных электронов будем учитывать на основе законов сохранения, допуская некоторые приближения.
8.2.2 Ионизация, рекомбинация
8.2.2.1 Исходные уравнения и формулы
Изменение числа свободных электронов за время dt, обусловленное ионизацией и рекомбинацией в объеме V, определяется согласно (7.58), (7.65) формулой
, (8.3)
где na – концентрация молекул, с которыми сталкиваются свободные электроны.
Здесь необходимо учесть, что использование приближения плоской волны формально означает, что каждый электрон взаимодействует с одинаковой амплитудой с каждой молекулой в объеме разряда. Этот недостаток, при более последовательном подходе, можно исправить, выбирая для волновых функций отдельных электронов более точное выражение. В качестве первого приближения будем предполагать, что каждый свободный электрон сталкивается в объеме разряда только с одной молекулой. Тогда в (8.3) имеем
(8.4)
Можно сказать, что с помощью приближения 
мы пренебрегаем взаимодействием с молекулами свободных электронов, имеющих прицельное расстояние сравнимое или превышающее радиус молекул.
Для вычисления характеристик процесса гашения дуги найдем ниже явные приближенные формулы для сечений ионизации и рекомбинации
Сечение ионизации и рекомбинации дается формулами (7.58), (7.65)
, (8.5)
где
,
, (8.6)
где
,
,
импульс и средняя скорость свободных электронов,
na – концентрация молекул,
Ng – число электронов в молекуле, учитываемых в процессах ионизации и рекомбинации.
В общем случае по формуле (7.54)
, (8.7)
где 
.
Точные значения сечений можно получить численным вычислением интегралов после подстановки в интегралы (8.5), (8.6), (8.7) явного выражения для волновой функции 
связанного состояния электрона в молекуле элегаза.
8.2.2.2. Волновые функции связанных электронов
В соответствии с намеченным планом рассмотрим волновые функции связанных электронов. Если пренебречь корреляцией связанных электронов, то волновыми функциями начальных состояний отдельных электронов в процессах ионизации и конечных состояний в процессах рекомбинации свободных электронов являются волновые функции связанных состояний электронов, находящихся в центрально-симметричном экранированном поле положительно заряженного ядра изолированного атома. Волновые функции системы связанных электронов имеют вид произведения волновых функций отдельных электронов.
В молекуле элегаза атом серы имеет 16 электронов, находящихся в связанном состоянии. Каждый из шести внешних валентных электронов, находящихся в 3s или 3p состоянии, образуют достаточно устойчивую ковалентную связь с одним из атомов фтора и не влияют на волновые функции остальных десяти электронов атомов серы. В принятом приближении центрально –симметричного поля два внутренних наиболее близких к ядру электронов находятся в 1s состоянии в кулоновском электростатическом поле положительно заряженного ядра с зарядом 
, где 
, так как один из внутренних электронов экранирует полный заряд ядра серы равный 16 элементарных зарядов 
. Волновая функция внутренних электронов в 1s состоянии имеет вид [30]:
, (8.8)
где 
, 
, 
, 
, 
, 
– спиновая волновая функция, 
Из восьми электронов на второй оболочке два электрона находятся в 2s состоянии с волновой функцией [30]
, (8.9)
где
, 
,
, 
, 
,
Шесть других электронов второй оболочки имеют волновые функции
,
Электроны второй оболочки находятся в поле ядра, которое экранируется четырьмя элементарными зарядами. Таким образом, экранированный заряд, в котором находятся электроны второй оболочки, равен 12 элементарным зарядам 
. Рассмотрим далее волновые функции электронов в атомах фтора в молекуле элегаза.
В молекуле шестифтористой серы электроны каждого атома образуют устойчивую оболочку из восьми электронов. Два электрона находятся в 2s состоянии причем только один из этих электронов взаимодействует с падающим электроном, так как спин падающего электрона и взаимодействующего с ним связанного электрона должны быть противоположны. Наглядно один валентный электрон атома серы переходит на устойчивую оболочку атома фтора и при столкновении взаимодействует с падающим электроном. Эффективный заряд для электронов второй оболочки атомов фтора равен 
, Z 2 = 5.
8.2.2.3. Оценки интегралов
Для того чтобы понять, как влияют на характеристики газового разряда в основном на ток разряда параметры теории, найдем оценки интегралов в указанных формулах.
Будем рассматривать процесс газового разряда в промежутке между нулем тока и вблизи амплитуды напряжения, когда в принципе возможен, так называемый, тепловой пробой, т. е. вторичное зажигание дуги. Величину А2 в интегралах (8.5), (8.6) заменим средним значением и вынесем за знак интегралов. Затем вычислим интеграл, определяющий сечение вблизи начала процесса ионизации и увеличения тока между контактами, когда после перехода тока через нуль происходит рост напряжения между контактами. Выберем приближенные выражения для волновых функций связанных электронов в молекуле элегаза и некоторые приближения для вычислений интегралов.
8.2.2.4 Вычисление интеграла А2 .
В общем случае А2 дается формулой (8.7), откуда
, (8.10)
где 
, 
, n – главное квантовое число, 
,
.
Функция 
нормирована на единицу, причем
, n =1,2, …
Для электронов первой оболочки получим для 1s состояния для атомов серы 
,
где
, 
, , , , 
,
, 
. (8.11)
Вычислим величину А2 для 2s электронов для атомов серы.
Для 2s состояния радиальная волновая функция электрона в атоме серы имеет вид 
. (8.12)
Подставляя (8.12) в ( 8.10 ), получим для 2s состояния
, где 
, 
, 
.
8.2.2.5. Численная оценка сечений ионизации и рекомбинации для атомов.
Перейдем к выводу приближенных формул для сечений
Используя приближение А2 ~ const, когда а 0 /Z малая величина, выносим А2 в формулах для сечений за знак интеграла. Заметим далее, что радиальная волновая функция
электронов первой оболочки, находящихся в 1s состоянии содержит множитель 
, а волновые функции электронов второй оболочки содержат множитель 
, ,Z 2 = 12.
Отсюда следует, что интегрирование по радиусу в формуле (8.10) производится в случае 1s состояния в окрестности значений 
. В случае 2s и 2p состояний интегрирование производится в окрестности значений
.
Поэтому величину А2 в интегралах по волновым векторам можно вынести за знак интегралов как некоторое среднее значение, полагая
. Тот же вывод можно получить прямыми вычислениями.
Итак найдем оценки интеграла (8.5) для сечения ионизации.
Вблизи порога ионизации, когда передача энергии от падающего электрона к молекуле достаточно велика, чтобы была возможна ионизация, и, следовательно, 
малы, учитывая, что
,
обозначая 
, имеем приближенно 
,
где 
,
.
Вынося в (8.5) среднее значение
за знак интеграла и интегрируя по 
, получим
,
где 
, 
, 
.
Отсюда приходим к приближенным выражениям сечений ионизации и рекомбинации
, (8.13)
, (8.14)
где
, 
,
Вычислим оценку интеграла А2 для 2s электрона атома фтора.
Эффективный заряд 9 – 4=5.
Вычисление сечения по формулам (13), (14) для 2s электрона второй оболочки атомов фтора в 2s состоянии, когда 
дает следующий результат вблизи нуля тока разряда для электронов с кинетической энергией 
, для потенциала ионизации 
.
Тогда 
, 
,
, 
, что согласуется с экспериментом, если учесть электроны, находящиеся в 2p состоянии.
Экспериментальное значение для указанных 
[31] ,
.
8.2.3. Ускорение электронов электрическим полем. Энергия и скорость электронов
В данном разделе вычислим среднее значение скорости теплового движения, кинетическую энергию и температуру свободных электронов на основе ускорения электронов внешним полем между контактами. Зависимость указанных средних от внешнего электрического поля получим, рассматривая каждый свободный электрон как точечную частицу, испытывающую некоторое среднее число упругих или неупругих столкновений, не приводящих к рекомбинации или ионизации. При упругих или неупругих столкновениях электрон передает часть энергии молекулам, с другой стороны в промежутке между столкновениями ускоряется электрическим полем и приобретает энергию. После некоторого числа столкновений электрон передает почти всю кинетическую энергию молекулам при этом остается свободным при ионизации или оказывается связанным при рекомбинации или прилипании.
8.2.3.1 Средняя энергия, теряемая электроном в единицу времени [32]
Ускорение электронов между столкновениями можно рассматривать как переход между состояниями с разной скоростью на основе уравнений движения.
При столкновении электрона с практически неподвижной молекулой она приобретает энергию
, где ε – кинетическая энергия электрона
Из законов сохранения энергии и импульса получим максимальное и минимальное значение коэффициента потери энергии при упругом столкновении электрона с молекулой
,
где m – масса электрона, M – масса молекулы 
среднее значение коэффициента теряемой энергии 
.
Например, для гелия 
, для ртути 
.
Средняя энергия, теряемая электроном в единицу времени 
,
где τ – среднее время свободного пробега.
8.2.3.2 Тепловая скорость электронов в зависимости от напряженности поля [32]
В статистическом равновесии 
, 
,
где 
энергия, получаемая электроном от поля за время 
на средней длине 
свободного пробега электрона, 
средняя тепловая скорость,
число молекул в единице объема, 
сечение рассеяния электрона молекулой.
Откуда
.
Таким образом, в статистическом равновесии средняя кинетическая энергия электрона
, (8.15)
где длина свободного пробега электрона ,
концентрация молекул, число молекул в единице объема, сечение рассеяния электрона молекулой.
В сильном электрическом поле, когда температура электронов 
значительно превышает температуру молекул, тепловая скорость электронов пропорциональна квадратному корню из напряженности электрического поля в газовом разряде
. (8.16)
8.2.4. Поток газа, вызванный давлением в камере
Рассмотрим процесс выравнивания концентрации молекул в объеме газового разряда, когда имеет место перепад давления вдоль продольной оси разряда.
8.2.4.1 Оператор плотности потока
Число молекул (поток частиц), проходящих в процессе выравнивания за 1 секунду через 1 квадратный сантиметр поверхности S в точке 
найдем как среднее значение оператора плотности потока частиц, полученного вторичным квантованием плотности потока для одной частицы [1]
, (8.17)
где 
операторы рождения и уничтожения частиц в точке , определенные в рамках метода вторичного квантования с помощью формальной замены числовых функций на операторные функции
8.2.4.2 Среднее значение плотности потока
Пусть состояние системы частиц (молекул, электронов) задано (см.(4.26) ) когерентным состоянием 
, матричный параметр которого имеет вид
, (8.18)
где столбцы унитарной матрицы 
являются волновыми функциями отдельных частиц, 
– диагональные матрицы. Значения матричных элементов 
, равные единице ( в общем случае ненулевые) определяют состояния занятые частицей.
Как показано в разделе 4.4 ( см, среднее значение оператора есть сумма средних значений между занятыми состояниями отдельных частиц. Поэтому средняя плотность потока в точке получается суммированием по занятым состояниям величин
(8.19)
8.2.4.3 Оценка среднего значения плотности потока
Разобьем объем V газового разряда на малые с макроскопической точки зрения элементы Vi и рассмотрим случай, когда волновые функции отдельных частиц молекул или электронов в потоке частиц на выходе отверстия в камере высокого давления являются плоскими волнами
,
Состояния отдельных частиц нумеруются волновыми векторами 
и номером i объема 
, координата берется в средней точке объема
Вычисляя среднюю плотность потока по формуле (8.19 ), получим в этом случае
, (8.20)
поток в точке равен сумме по всем занятым состояниям векторов тепловой скорости 
взятых с весом 
. Для каждого i сумма по индексу r производится по состояниям в объеме .
Формулу (8.20) можно применить для оценки потока, как молекул, так и электронов, подставляя соответствующие значения концентрации и скорости частиц . В дальнейшем будем рассматривать поток частиц (поток дутья) для электронов.
Выразим плотность потока дутья через скорость и концентрацию частиц в камере концентрация электронов 
в камере высокого давления и вне камеры связаны условием 
,
где p – давление равное числу атмосфер в камере.
Основной поток дутья есть поток электронов на участке длиной L вблизи выхода потока частиц из камеры.
Заменим мгновенную скорость ее средним значением 
в малом объеме и вынесем среднее значение за знак суммы по состояниям.
Получим
, (8.21)
где концентрация
. (8.22)
8.2.5. Электрический ток
Число свободных электронов, пересекающих при протекании электрического тока за время dt через поверхность S , дается числом отрицательных зарядов 
, уходящих из объема V,
где плотность электрического тока 
, (8.23)
подвижность
, 
. (8.24)
8.3 Модель разряда
8.3.1. Уравнение для числа свободных электронов в газовом разряде
Изменение со временем числа свободных электронов в объеме V определяется увеличением числа электронов в процессе ионизации, уменьшением их числа в процессе рекомбинации, ухода из объема V
частиц, пересекающих поверхность S в процессе дутья и протекания электрического тока в результате действия сил электрического поля. Эти процессы перехода через границу можно в принципе рассмотреть в последовательном групповом подходе как переходы частиц из состояний внутри объема в состояния вне объема аналогично процессам ионизации и рекомбинации. Тогда получим уравнения, аналогичные уравнениям (7.26) для среднего значения числа свободных электронов. Для сокращения текста поток дутья и электрический ток через соответствующую грань объема V, мы получим из уравнения сохранения числа частиц
. (8.25)
Интегрируя уравнения (8.25) по объему V и учитывая уравнения (8.3) и (8.4), найдем, что суммарная концентрация свободных электронов в объеме V, определяется решением дифференциального уравнения
, (8.26)
где 
поток электронов, обусловленный дутьем,
I – сила тока разряда,
число и средняя скорость свободных электронов в объеме V величиной V=SL,
эффективное сечение, разность сечений ионизации и рекомбинации, которые даны формулами (8.5), (8.6),
L,S – длина и площадь поперечного сечения участка на выходе из камеры высокого давления
В уравнении (8.26) величина
, (8.27) есть число свободных электронов, пересекающих, в процессе дутья за 1
сек поверхность S,
где 
. (8.28)
8.3.2. Решение дифференциального уравнения
Найдем решение уравнения (8.26) на некотором малом промежутке времени вблизи нуля тока после гашения дуги. Пусть процесс
горения дуги после размыкания контактов приближается к нулю тока и после прерывания дуги в межконтактном промежутке имеем остаточную концентрацию свободных электронов 
, которую примем за их начальную концентрацию. Учитывая, что 
, перепишем уравнение (8.26) в виде
, (8.29)
где мы ввели коэффициенты
, 
, (8.30)
, 
,
Выполняя в уравнении (8.29) замену 
, получим линейное уравнение
,
решение, которого имеет вид
, (8.31)
где 
, 
. (8.32)
Отсюда приходим к следующей формуле для концентрации свободных электронов в объеме V,
. (8.33)
8.4. Пример анализа процессов в газовом разряде
Формулу (8.33) используем для анализа процесса прерывания тока и определения характеристик, так называемого, теплового пробоя в элегазовом выключателе. В качестве исходных данных используем экспериментальные значения разности потенциалов между контактами и значения тока разряда в моменты времени непосредственно после прохождения нуля тока (см. таблицу 1).
8.4.1. Критерий пробоя
На качественном уровне из физических соображений следует, что тепловой пробой возникает в том случае, когда после вторичного прохождения током дуги нулевого значения остаточная концентрация свободных электронов и температура, следовательно, скорость электронов настолько велики, что возникает вторичное зажигание газового разряда, переходящее в некоторых случаях в дуговой разряд.
Вышесказанное утверждение можно получить из формулы (8.33). Концентрация свободных электронов принимает большие, формально бесконечные значения, когда величина
(8.34)
стремится с течением времени к нулю и обращается в нуль для некоторого момента времени.
Условием отсутствия теплового пробоя является сильное неравенство
, (8.35)
которое, учитывая (8.34), можно записать как сильное неравенство
.
Сильное неравенство означает, что после прохождения нуля тока величина Q(t) при 
будет существенно больше нуля. В каждом конкретном случае условие, что неравенство (8.35 ) является сильным определяется отдельно, чем больше Q(t) тем прерывание тока является более надежным. Например, по данным таблицы 1 неравенством 
является сильным. Уменьшение концентрации электронов определяется при выполнении условия (8.35) экспоненциальным затуханием числителя в формуле (8.33).
Ниже в разделе 8.4.4 условие отсутствия пробоя получим с помощью аналитической оценки.
8.4.2. Количественные характеристики разряда
Численная оценка плотности тока по формуле (8.23) показывает, что вблизи нуля тока для моментов времени, приведенных в таблице 1, электрический ток не вносит вклада в поток электронов в газовом разряде.
Характеристики дутья можно считать постоянными на малом промежутке времени. Найдем их оценку, используя экспериментальные данные, приведенные в таблице 1.
В промежутке 
, вблизи нуля тока, когда ионизация мала, можно пренебречь величиной 
, следовательно затухание тока и уменьшение проводимости обусловлено дутьем, тогда для значений проводимости 
в моменты времени t2 , t1 используя (8.33), (8.36) получим
, 
,
,
, 
,
откуда из условия находим интервал интегрирования по времени.
8.4.3. Оценка начальной концентрации свободных электронов ne0
Исходим из формулы
, (8.36)
где согласно (8.23), (8.24)
, 
.
Выразим из (8.36) концентрацию свободных электронов через проводимость газового разряда. Учитывая (8.23), (8.24), получим
,
где 
.
В начальный момент времени
. (8.37)
Подставим в (8.37) значения параметров вблизи нуля тока, скорость свободных электронов 
, проводимость разряда 
, скорость движения контактов 
и длину разряда 
,, площадь отверстия на выходе камеры и давление в камере 
, таким образом
.
Откуда
Найдем оценку обеих частей неравенства (8.35). Составим
таблицу 1, используя экспериментальные значения тока и напряжения разряда в указанные моменты времени
таблица 1
T, мкс | – 0.4 | 0.15 | 0.3 | 0.55 | 0.8 | 1.05 | 1.3 | 1.8 | 2.3 |
I, Ампер | – 0.2 | 0.14 | 0.27 | 0.2 | 0.16 | 0.14 | 0.1 | 0.1 | 0.1 |
U,Вольт | – 700 | 250 | 500 | 1120 | 1750 | 2370 | 3000 | 6000 | 9000 |
| 286 | 548 | 540 | 180 | 91.4 | 59.1 | 33.3 | 16.7 | 11.1 |
Q | 1.0 | 0.64 | 0.51 | 0.59 | 0.22 | 0.16 |
,1/ом В таблице 1 приведены также результаты расчета проводимости и величины 
в различные моменты времени, полученные вычислением параметра 
.
Нужно, как выше указано, чтобы затухание в числителе происходило значительно быстрее, чем уменьшение Q(t) в знаменателе.
В разделе 8.4.4 мы увидим, что это условие действительно выполняется.
8.4.4. Оценка критерия пробоя
Проверим, что величина Р( t ) является приближенно постоянной для больших моментов времени. Запишем эту величину в виде суммы двух слагаемых 
, (8.38)
где
.
Когда 
малая величина, во втором слагаемом (8.38), как видно из формул (8.13), (8.14) для сечений, величина 
Приближенно имеем
,
откуда, если параметр 
, найдем, что
есть постоянная величина.
Для 
, используя завышенное значение 
и среднюю скорость свободных электронов 
пренебрегая для времени больше 
, сечением рекомбинации, получим из (8.30),
.
Тогда 
.
Таким образом, в данной модели, заданной параметрами, указанными в разделе 8.4.3 выполняется условие (8.35) отсутствия теплового пробоя.
8.4.5. Ток большой величины
Формулу (8.33) можно применить для описания тока дуги большой величины, когда не выполняется условие отсутствия пробоя. Воспользуемся тем, что знаменатель в правой части (8.33) может принимать как угодно малые значения. Будем рассматривать формулу (8.33) как самосогласованное уравнение, правая часть которого зависит от искомой концентрации электронов. Такая зависимость естественно возникает, когда учитывается зависимость напряженности поля в области разряда от экранированных положительных зарядов.
Тогда скорость свободных электронов а, следовательно, сечение
ионизации зависят от напряженности электрического поля.
