Прохождение частицы через потенциальный барьер

62. Прохождение частицы через потенциальный барьер.

Пусть потенциальная энергия имеет вид

(рис.6.1, а).

Физика такая: в области x<0 сила, действующая на частицу, ноль, при x>0 сила, действующая на частицу тоже ноль (потенциальная энергия постоянна), но зато в окрестности нуля действует сила . График силы изображён на рисунке 6.1, б. Для такой ступеньки производная бесконечно велика, это означает, что в окрестности нуля действует бесконечно большая сила, направленная влево, но, хотя сила бесконечно большая, работа против этой силы тем не менее конечна.

Наглядно: вот стоит абсолютно твёрдая стенка, абсолютная твёрдость означает, что при столкновении со стенкой отбрасывающая сила бесконечно велика, но тем не менее стенка пробиваема: если налетающая частица имеет кинетическую энергию больше некоторой, то она эту стенку пробивает. Работа по преодолению этой силы тем не менее конечна. Это будет изображаться таким потенциальным барьером.

Реально это можно реализовать для электронов. Имеем две металлические стенки, к этим стенкам приложена разность потенциалов. Электрон попадает в область электрического поля между стенками и испытывает силу, выталкивающую его обратно. Теперь, выдерживая постоянное напряжение, будем сближать эти стенки. Напряжённость электрического поля стремится к бесконечности, но работа по пробиванию этого конденсатора остаётся конечной. Этот барьер для электронов будет реализован вот таким образом.

63. Туннельный эффект.

Туннельный эффект — явление исключительно квантовой природы, невозможное в классической механике. Аналогом туннельного эффекта в волновой оптике может служить проникновение световой волны внутрь отражающей среды (на расстояния порядка длины световой волны) в условиях, когда, с точки зрения геометрической оптики, происходит полное внутреннее отражение. Явление туннелирования лежит в основе многих важных процессов в атомной и молекулярной физике, в физике атомного ядра, твёрдого тела и т. д.

Если частица с энергией Е налетает на некоторый потенциальный барьер U(x), то она с определённой вероятностью может пройти сквозь барьер как бы по туннелю, то есть область, где Е < U (U – потенциальная энергия)

В качестве иллюстрации приведём результаты расчёта плотности вероятности P(х) местоположения частицы, налетающей слева на простейший прямоугольный потенциальный барьер, показаный на рисунке.

Слева мы имеем падающую и отражённую волны, а за барьером – только прошедшую волну. Внутри барьера ψ-функция имеет не волновой характер, в результате чего Р(х) убывает практически экспоненциально.

Соответствующий расчёт показывает, что в случае потенциального барьера произвольной формы (см. рисунок)…

…вероятность прохождения частицы сквозь барьер, т. е. коэффициент прозрачности

Это приближенное равенство, оно тем точнее, чем меньше (U-E) по сравнению с Е.

64. Квантование момента импульса

Направление момента импульса M в пространстве является неопределенным. Определенное значение имеет лишь проекция Mz на вы деленное направление, две другие проекции, оказываются полностью неопределенными. Модуль момента импульса:

где l – орбитальное квантовое число.

Проекция момента импульса Mz, в сферических координатах:

тогда с учетом получим Функция конечна, непрерывная и гладкая, тогда Следовательно, проекция углового момента на ось Z является кратной постоянной Планка

65(1). Квантование атома водорода.

Рассмотрим систему, состоящую из электрона e, который движется в кулоновском поле ядра зарядом Ze. Такую систему называют водородоподобной. При Z=1 это атом водорода, при Z=2 – однократно ионизированный атом гелия – ион He+ , при Z=3 – двукратно ионизированный атом лития Li++ и т. д.

Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром в такой системе равна

где r – расстояние между электроном и ядром. Уравнение Шредингера в этом случае имеет вид

65(2). Квантование атома водорода

Поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным, зависит только от r. Поэтому решение уравнения Шредингера будем проводить в сферической системе координат r, q, f, где оператор Лапласа имеет вид:

Решение уравнения Шредингера проводят методом разделения переменных. В итоге в области отрицательных значений энергии E возможны только дискретные значения E, а именно

Случай E<0 соответствует связанным состояниям электрона (электрону в атоме). Следовательно, решение уравнения Шредингера приводит в случае E<0 дискретизации состояний электрона без использования дополнительных постулатов (например постулатов Бора).

65(3). Квантование атома водорода

Различие интерпретации относится только к состояниям электрона: в теории Бора электрон движется по замкнутой орбите; в квантовой теории орбита не имеет физического смысла. Собственные функции уравнения Шредингера содержат три целочисленных параметра – n, l, m:

где n – главное квантовое число, m - магнитное квантовое число, l – орбитальное квантовое число. В процессе решения выяснилось, что решения удовлетворяющие естественным условиям, получаются при

l < n-1. Таким образом, при данном n число l может принимать значения:

т. е. всего n значений. При данном l число m может принимать 2l+1 различных значений:

65(4). Квантование атома водорода

Поскольку энергия En электрона зависит только от главного квантового числа n, то каждому собственному значению En соответствует несколько собственных функций , отличающихся значениями квантовых чисел l и m. Это означает, что электрон может иметь одно и тоже значение энергии, находясь в нескольких различных состояниях. Например, энергией E2 (n=2) обладают четыре состояния:

Кратность вырождения: состояния с одинаковой энергией называют вырожденными, а число различных состояний с определенным значением энергии En – кратностью вырождения данного энергетического уровня. Число N различных состояний для данного n равно

С учетом спина электрона кратность вырождения n-го энергетического уровня

65(5). Квантование атома водорода

Символы состояний: различные состояния электрона в атоме принято обозначать малыми буквами латинского алфавита в зависимости от l

Значения главного квантового числа n указывают перед символом состояния с данным l.

Собственные функции уравнения Шредингера представляют собой произведения двух функций

где первый множитель зависит от n и l, второй от l и m.

65(6). Квантование атома водорода

Рассмотрим плотность вероятности местонахождения электрона в состоянии 1s атома водорода, которое является сферически-симметричным, т. е. y - функция зависит только от r

где a = 1/r1 r1 – боровский радиус.

Вероятность нахождения электрона в объеме dV = 4pr2dr, тогда dP нахождения электрона в 1s слое будет равна

где А – нормировочный коэффициент. Отсюда плотность вероятности, отнесенной к единице толщины вблизи радиуса r есть

плотность вероятности стремится к нулю при r®0 и при r ®¥. Плотность вероятности достигает максимума при

что соответствует радиусу первой боровской орбиты электрона в атоме водорода.

65(7). Квантование атома водорода

График плотности вероятности местонахождения электрона в сферическом слое единичной длины.

Распределение электронного облака в других состояниях при усреднении y- функции по углу q. Видно, что максимумы соответствуют с состояниями l=n-1.

66. Уровни и спектры щелочных металлов

Атом щелочного металла можно представить как водородопобный, поскольку вокруг относительно нейтрального остова (ядро + Z-1 электронов) вращается слабосвязанный валентный электрон. Однако движение валентного электрона вызывает деформацию остова так, что потенциальная энергия внешнего электрона в поле остова можно записать как

где C – некоторая постоянная. Решая уравнение Шредингера с учетом вида потенциального взаимодействия получим для отрицательных значений энергий

где - ридберговская поправка (квантовый дефект), зависящая от l.

Поправка есть следствие того, что поле остова более не является сферически-симметричным полем точечного заряда как считалось ранее. Поле остова не Момент импульса остова равен нулю, значит орбитальный момент атома равен моменту внешнему электрона и определяется квантовым числом l.

67. Типы связи. Спектральные обозначения

Типы связи

В многоэлектронном атоме каждый электрон можно характеризовать орбитальным и спиновыми моментами.

Наиболее распространенной является связь, которая получила название связь Рассела – Саундерса или нормальная связь. Суть, которой в том, что

орбитальные моменты электронов взаимодействуют между собой сильнее, чем со спиновыми моментами. Аналогично ведут себя и спиновые моменты. В итоге все орбитальные моменты складываются в общий орбитальный момент ML, а спиновые - в общий спиновый момент MS. В результате образуется результирующий момент атома MJ.

где J квантовое число полного момента и может иметь одно из следующих значений:

Типы связи. Спектральные обозначения.

Другой тип связи так называемая j-j связь, когда спин орбитальное взаимодействие у каждого электрона оказывается основным.

В этом случае суммарный момент атома

т. е. равен сумме отдельных спин-орбитальных моментов MJ.

Такая связь встречается у тяжелых атомов, но достаточно редко. В основном реализуются промежуточные виды связи, они более сложные чем рассмотренные.

Спектральные обозначения. В случае нормальной связи термы принято обозначать символами вида:

где n = 2S+1 – мультиплетность атома, J – квантовое число полного момента.