Контрольная работа

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА. Семестр 3.

По математическому анализу для бакалавров 2 курса специальности «математика с доп. спец.»

Всего 20 вариантов. Выполненную работу сдать 25 декабря.

ВАРИАНТ № 1

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) , ; - ? - ? - ?

5) , , ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением .

Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(2,1) в направлении от точки М к точке О(0,0);

б) gradz в точке N(2,2).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,2,1). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1)

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 2

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением .

Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(5,1,2) в направлении от точки М к точке N(0,1,1);

б) gradu в точке К(3,1,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,1,2). В какой точке поверхности нормаль к ней будет иметь направление вектора .

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,0)

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной кривыми .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 3

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции , (a, b - const).

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением
. Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(е, е) в направлении от точки М к точке N(3е,-2е);

б) gradz в точке К(1,2).

10) Найти касательные плоскости к поверхности , которые были бы параллельны плоскости .

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(p,0).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной прямыми .

15) Вычислить приближённо значение функции в точке М(1,98;1,01).

ВАРИАНТ № 4

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением .

Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,2) в направлении от точки М к точке N(-3,6);

б) gradz в точке К(1,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,-1,2). В какой точке поверхности нормаль к ней будет иметь направление вектора ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,0).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми , , .

15) Вычислить приближённо значение функции в точке М(2,1;3,02).

ВАРИАНТ № 5

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции (a - const).

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(-3,1,0) в направлении от точки М к точке О(0,0,0);

б) gradu в точке N(1,2,2).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(0,-2,2). В какой точке поверхности нормаль к ней будет иметь направление вектора .

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(0,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 6

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением

. Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке в направлении от точки М к точке N(6,5);

б) gradz в точке К(2,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,-1,2). В какой точке поверхности нормаль к ней будет иметь направление оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(2,2).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14)Найти наибольшее и наименьшее значения функции в треугольнике, ограниченном прямыми .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 7

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке в направлении от точки М к точке
N(3,3,-1);

б) gradu в точке К(1,0,1).

10) Записать уравнения касательной и нормали к поверхности в точке М(1,-2,-2). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OY ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 8

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке в направлении, образующим с осями координат углы 600, 450 и 600 соответственно;

б) gradu в точке N(2,1,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке . Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OY?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1,0).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной кривыми .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 9

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,1) в направлении биссектрисы первого координатного угла;

б) gradz в точке N(1,0).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,1,1). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OZ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,0,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 10

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением .

Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,2) в направлении, составляющем с осью угол в 600 , а с осью  – тупой угол;

б) gradz в точке N(2,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(-2,1,1). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,0,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 11

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке О(0,0) в направлении вектора ;

б) gradz в точке N(1,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,1,1). Существует ли на поверхности точка, в которой касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости XOY ?

11) Исследовать на экстремум функцию

.

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции в окрестности точки М(p,0).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области .

15) Вычислить приближённо значение функции в точке М(2,04;2,95).

ВАРИАНТ № 12

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции
(a- const).

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке О(0,0,0) в направлении вектора ;

б) gradu в точке О(0,0,0).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,0,2). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 2-го порядка малости для функции в окрестности точки М(p,0).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в круге .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 13

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением .

Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,2) в направлении от точки М к точке N(2,0);

б) gradz в точке К(2,2).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(2,1,2). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной прямыми .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 14

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция зада на неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением .

Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,1) в направлении от точки М к точке N(3,7);

б) gradz в точке .

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1, 1, 3). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OY ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области , .

15) Вычислить приближённо значение функции в точке М(1,02; 1,97).

ВАРИАНТ № 15

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,1) в направлении от точки М к точке N(2,2);

б) gradz в точке К(3,4).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,1,2). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OY ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в квадрате , .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 16

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(3,4) в направлении радиус-вектора точки М;

б) gradz в точке .

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(-2,3,0). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OY ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике , .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 17

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке О(0,0) в направлении от точке М к точке N(3,4);

б) gradz в точке О(0,0).

10) Записать уравнения касательной и нормали к поверхности в точке М(4,7,3). Существует ли на поверхности точка, в которой касательная плоскость к поверхности параллельна плоскости XOZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной треугольником с вершинами в точках А(1,0), В(0,0) и С(0,1).

15) Вычислить приближённо значение функции в точке М(1,01; 1,03).

ВАРИАНТ № 18

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,3) в направлении вектора ;

б) gradz в точке N(1,0).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(-2,1,2). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(0,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной прямыми .

15) Вычислить приближённо значение функции в точке М(0,99; 0,02).

ВАРИАНТ № 19

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением .

Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(-9, 12) в направлении биссектрисы первого координатного угла;

б) gradz в точке М(-9, 12).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,1,1). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль на поверхности параллельна оси OZ ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1,0).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в квадрате , .

15) Вычислить приближённо .

ВАРИАНТ № 20

Найти предел функции или доказать, что он не существует

1) ; 2) .

3) Найти все частные производные второго порядка от функции .

Найти указанные частные производные сложной функции

4) ; - ? - ? - ?

5) ; - ?

6) , - ?

7) Функция задана неявно уравнением . Найти .

8) Функция задана неявно уравнением . Найти и .

9) Для функции найти:

а) производную в точке М(1,1) в направлении от точки М к точке О(0,0);

б) gradz в точке М(1,1).

10) Записать уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности в точке М(1,1,-1). Существует ли на поверхности точка, в которой нормаль к поверхности параллельна оси OY ?

11) Исследовать на экстремум функцию .

12) Записать формулу Тейлора до членов 3-го порядка малости для функции в окрестности точки М(1,1,1).

13) Исследовать функцию на непрерывность и дифференцируемость в точке М(0;0;0).

14) Найти наибольшее и наименьшее значения функции в прямоугольнике , .

15) Вычислить приближённо .