Задача

1.

2. Назарова Анжелика

3. математика, 9 класс

4. г. Норильск

5. МБОУ «Гимназия №5»

6. г.Норильск, Б. Хмельницкого 12

7.

№1.
По условию:
Х=У+1
Составим уравнение:
Х4=У4
Х4-У4=0
(Х2-У2)(Х2+У2)=0
(Х-У)(Х+У)(Х2+У2)=0
((У+1)-У)((У+1)+У)((У+1)2+У2)=0


=0
2У2+2У+1=0
D=B2-4AC=22-(4·2·1)=4-8=-4
нет действительных корней.

Таким образом У = -0.5, Х= -0.5+1 = 0.5


№4.
N P

M А В K

Дано: трапеция MNPK, MN=PK,MK=3NP, ˪NMK=45
Решение:
т. к. MN=PK, то трапеция MNPK – равнобедренная = > ˪NMK= ˪PKM=45
проведем две высоты – NA и PB и диагональ в ANPB
треугольники PBK и PBA, образованные вследствие этого – равны(по двум сторонам и углу), а также являются равнобедренными(˪PKM=45, ˪PBK=90(PB высота)=> ˪BPK=45(180-(90+45), AB=BK(усл.), ˪PBA=˪PBK(смежные), PB – общая сторона)).
Так же треугольник MAN = треугольнику PBA(MA=AB, NA=PB(высоты), ˪NAM = ˪PBA=90) => MAN = PBA = PBK.
И треугольник ANP = PBA(NA=PB, NP=AB, AP общая) => ANP = PBA = MAN = PBK.
Таким образом, трапецию MNPK можно разделить на четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольников.

Из них можно сложить квадрат, если отделить MAN от ANP и от APK(треугольник, который составляют PBA и PBK).

№5.
Если составить таблицу значений для некоторого количества переливаний:

1.	1.
2.	2.
3.	3.
4.	4.
5.	5.
6.	6.
7.	7.
8.	8.
9.	9.

То можно увидеть закономерность, при которой на каждом нечетном ходе в обоих графинах становится по .
Таким образом, так как 2007 – нечетное число, а условия переливаний не изменяются, то ответом будет

Ответ: после 2007 переливаний в графинах будет по .

№2.
Пусть х – это большие арбузы сегодня, у – маленькие арбузы сегодня, n – большие арбузы вчера, m – маленькие арбузы вчера. Нужно сравнить x+2y и 5m.
По условию задачи составим уравнения:
3x + y = 5n
2x + y = 3n + m
Из этого следует, что:
5x + 2y = 8n + m
Выразим m:
m = 5x + 2y – 8n
Мы знаем, что 5n = 3x+y, значит n =
Таким образом:
m = 5x + 2y – 8
5m = 5()= x+2y
Получается что стоимость одного большого и двух маленьких сегодня равна стоимости пяти маленьких вчера.

№3.
ab+1=(a+1)2
ab+1=a2+2a+1
ab-a2-2a=1-1
a(b-a-2)=0

Таким образом, a=x(любое натуральное число), b = x+2.

№6.
x2-mx+n=0; D=m2-4n
x2-nx+m=0; D=n2-4m
Так как нам нужно два натуральных корня, то D1,D2>0, и извлекается целый корень.


m2-4n = 1;4;9;16 и т. д.
Пусть
m2-4n = 1.
m2-1=4n
(m-1)(m+1)=4n

Далее подставим получившиеся ответы в систему .
Получается, что система выполняется только при m=5, n=6.
Ответ: 5; 6.

№7.

Решение №1.

O2P =3(радиус)
O2N = 5(по теореме Пифагора)
В O1O2N ˪O2O1N(A) по теореме косинусов:
52=102+72-2х10х7хcosA
cosA = -25+100+49-2х10х7
cosA =
по теореме косинусов:
MN2=72+72-2(7х7)х
MN2=;

MN=х
Ответ: MN = .

Решение №2.

O1N = 5(по теореме Пифагора)
O2MN = O2N = O2M = 7
O2N = 7
NO1 = 5
По теореме косинусов(I):
cosA =
MN из MO2N, по т. косинусов:
MN2 = 28
MN = =
Ответ: MN =