В. А. ВАСИЛЬЕВ, А. С.ДОЛНАКОВА

«ЦНИИ «Электроприбор», г. Санкт-Петербург

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НИЖНЕЙ ГРАНИЦЫ ТОЧНОСТИ В ЗАДАЧЕ ОЦЕНИВАНИЯ СДВИГА ЧАСТОТЫ В ДОПЛЕРОВСКОМ ИЗМЕРИТЕЛЕ СКОРОСТИ*

Опираясь на постановку задачи оценивания сдвига частоты эхосигнала в доплеровском измерителе скорости, сформулированную в рамках теории нелинейной фильтрации, предложен алгоритм вычисления нижней границы точности оценивания сдвига.

Введение

В работах [1, 2] задача оценивания сдвига частоты эхосигнала в доплеровском измерителе скорости, сформулирована в рамках теории нелинейной фильтрации. Рассматривая эту задачу с таких позиций и анализируя ее особенности, в настоящей работе обсуждается возможность вычисления нижней границы точности по Рао-Крамеру при оценивании сдвига частоты.

Постановка задачи определения сдвига в рамках теории нелинейной фильтрации и выбор формирующего фильтра

В работах [1, 2] показано, что задача оценивания сдвига частоты в доплеровском измерителе скорости может рассматриваться как задача оценки параметров узкополосного случайного процесса с корреляционной функцией (КФ) вида [3]:

(1)

Этой КФ соответствует спектральная плотность (СП) . Спектральная плотность определяется исходя из равенства:

(2)

где и неизвестные параметры, - дисперсия процесса, которая предполагается известной.

Эту задачу можно свести к задаче оценивания неизвестного параметра (так как и его изменение вызывает значительно менее сильное изменение КФ (1) чем изменение параметра ). Для такого сигнала необходимо построить формирующий фильтр (ФФ). Это можно сделать разными способами. В работах [1,2] использован ФФ, основанный на наблюдаемой канонической форме [3]. В этом случае можем записать:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

(3)

(4)

, (5)

при и

(6)

Если ввести в вектор состояния новую переменную , то задача оценивания вектора (3)-(4) по измерениям (5) в этих условиях становится нелинейной. Отличительная особенность использования такого ФФ заключается в том, что задача нелинейна в силу нелинейности уравнения для вектора состояний, включая зависимость от коэффициента при порождающем шуме . В то же время уравнение для измерений – линейно, а кроме того начальная матрица ковариаций также зависит от искомого параметра. Это факт не позволяет воспользоваться алгоритмом вычисления нижней границы по Рао-Крамеру, представленном в работе [4].

Покажем, что для формирования стационарного процесса с КФ вида (1) может быть использован ФФ в виде:

(7)

Здесь предполагается, что порождающие шумы и независимы между собой.

Используя такое представление для процесса , запишем выражение для его корреляционной функции в виде:

(8)

Последние два слагаемых этого выражения равны 0, в силу независимости и , что есть следствие независимости и .

Далее учитывая, что:

(9)

и при этом , получаем:

(10)

что и соответствует (1).

Особенность постановки задачи нелинейной фильтрации с использованием приведенного ФФ заключается в нелинейном характере измерений при линейном виде уравнений для вектора состояний при отсутствии зависимости коэффициента при порождающих шумах и начальной матрицы ковариаций от оцениваемых параметров. Такой вид уравнений позволяет использовать соотношения, полученные для вычисления нижней границы в [4].

В дискретной форме задача нелинейной фильтрации будет заключаться в следующем. Оценить вектор состояния:

(11)

по измерениям:

(12)

где при неизвестном значении

Нижняя граница точности по Рао-Крамеру и алгоритм ее вычисления

Введем расширенный вектор состояния, включающий . Матрица, характеризующая нижнюю границу точности в рассматриваемой задаче оценивания, представляет собой матрицу, стоящую в левой части неравенства Рао-Крамера, записываемого в виде [3]:

(13)

где определяется как:

(14)

В этих соотношениях M - знак математического ожидания, - набор измерений, накопленный к текущему шагу.

Запишем в общем виде нелинейную задачу оценивания вектора состояний:

(15)

по измерениям:

(16)

в которых ~, ~ - дискретные независимые между собой гауссовские белошумные последовательности.

В общем случае рекуррентные формулы для вычисления нижней границы точности по Рао-Крамера, соответствующие такой задаче можно записать в виде [4, 5]:

(17)

(18)

(19)

где ,

Применительно к рассматриваемому случаю можем записать:

(20)

(21)

Используя приведенные выражения, можно показать, что для оценки нижней границы точности оценивания вектора состояния , справедливо следующее рекуррентное соотношение:

Таким образом, можно выделить блок для вычисления нижней границы для величины в виде:

(22)

Численные результаты

Приведем результаты расчеты нижней границы точности для величины , используя полученное соотношение и принимая следующие исходные данные:

Результаты приведены на рис.1:

Рис. 1 Численные результаты расчета нижней границы

Заключение

Опираясь на постановку задачи оценивания доплеровского сдвига частоты, основанную на теории нелинейной фильтрации, сформулирована задача нахождения нижней границы по Рао-Крамера.

Показано, что при использовании наблюдаемой канонической формы для фильтра, формирующего исследуемый процесс, особенность получаемой задачи нелинейной фильтрации заключается в нелинейности уравнений для вектора состояний, включая зависимость от искомого параметра коэффициента при порождающем шуме. Последнее обстоятельство не позволяет воспользоваться поученным ранее алгоритмом вычисления нижней границы точности. Предложен другой ФФ, использование которого приводит к задаче, в которой нелинейность присутствует только в уравнениях для измерений. Для этого варианта получены рекуррентные соотношения для нижней границы, определяющие зависимость от числа измерений, величины интервала корреляции и дисперсии процесса, а также уровня ошибок измерений.

Представлен пример расчета нижней границы точности.

В дальнейшем планируется провести сопоставление нижней границы и потенциальной точности, достигаемой с использованием оптимального алгоритма.

Литература

1. Дмитриев А. И. Оценка сдвига частоты в доплеровском измерителе скорости путем идентификации модели принятого сигнала // Гироскопия и навигация. – СПб.: ГНЦ РФ – ЦНИИ «Электроприбор», №1, 2006.

2. Соколов, А. И., Метод многоальтернативной фильтрации эхосигнала при оценивании скорости в доплеровском лаге //диссертация– СПб,2009;

3. Степанов, О. А. Основы теории оценивания с приложениями к задачам обработки навигационной информации. Часть 1. Введение в теорию оценивания / СПб: ГНЦ РФ - ЦНИИ «Электроприбор», 2009.

4. Степанов, О. А. Рекуррентный метод вычисления нижней границы точности оценивания в задаче с нелинейными измерениями//Изв. вузов. Приборостроение.-1986.-N2.- С.11-14.

5. Кошаев, Д. А., Степанов, О. А. Применение неравенства Рао-Крамера в задачах нелинейного оценивания. – СПб.: Известия академии наук. Теория и системы управления 1997, № 2, с. 65-72.

Научный руководитель д. т.н., начальник отдела, .

*Работа проводится при поддержке гранта РФФИ -a.