Моделирование управляемого раскрытия большого вращающегося солнечного паруса

УДК 629.78:351.814.3

Ракетно-космическая корпорация «Энергия» им. ёва, г. Королёв

МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРАВЛЯЕМОГО РАСКРЫТИЯ БОЛЬШОГО ВРАЩАЮЩЕГОСЯ СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА

В работе рассматривается математическая модель выпуска полотна солнечного паруса, в рамках которой полотно представляется в виде 4 тросов. Для описания режима разворачивания солнечного паруса на первоначальном этапе, с учетом центральной симметрии конструкционного расположения катушек с тросами, рассматривается модель выпуска одного из тросов в предположении, что все остальные тросы выпускаются синхронно, и система управления выпуском обеспечивает динамическую симметрию процесса. Моделирование проведено для случая, когда трос представлен в виде совокупности материальных точек - «шариков», последовательно соединенных невесомыми нерастяжимыми нитями.

Введение

При описании движения составного космического аппарата с вращающимся бескаркасным солнечным парусом и компенсирующим силовым гироскопом в подвесе Гука [1, 2, 3] одним из важных этапов является раскрытие мембранного диска из уложенного состояния. Трудность и важность данного этапа заключается в том, что при раскрытии паруса в каждый момент времени необходимо отслеживать натяжение мембранного диска (в данном приближении – троса), чтобы избежать его запутывания. Также, необходимо учитывать свойства материала мембранной плёнки паруса, так как при долгом хранении в уложенном состоянии во время его раскрытия могут образовываться складки, что тоже может привести к непредсказуемому и неуправляемому поведению мембранного диска.

Рассмотрим математическую модель выпуска полотна солнечного паруса, в рамках которой полотно представляется в виде 4 тросов. В свою очередь каждый трос представляется в виде совокупности материальных точек, последовательно соединенных невесомыми нерастяжимыми нитями. В этих точках сосредоточены и действующие на трос гравитационные силы и силы Кориолиса [4]. Такая модель описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями и позволяет учесть массу троса и действие на трос внешних сил. Силы считаются приложенными к указанным материальным точкам и определяются их массами и другими физическими характеристиками. Модели такого рода позволяют эффективно изучать движение уже развернутой системы, однако было неясно, как в рамках такой модели изучать процесс развертывания. Ниже предлагается возможный способ решения такой задачи.

Математическая модель, учитывающая массу троса

Далее будем рассматривать задачу о развертывании одного троса. В процессе развертывания трос должен быть постоянно натянут. В противном случае на нем могут образовываться петли, которые при последующем натяжении затянутся и обломятся. Самым сложным в этом отношении является начальный этап развертывания. Выпуск троса с центральной жесткой вставки паруса моделируется выпуском невесомой нерастяжимой нитью с закрепленными на ней материальными точками. Ближайшая точка к центральной жесткой вставке имеет постоянную относительно вставки скорость выпуска. После того как расстояние между ней и центральной жесткой вставкой паруса достигает определенного значения, эта точка "отпускается", и начинается выпуск новой массы. В момент отделения каждой такой точки от центральной вставки число точек модели увеличивается на единицу.

Итак, пусть - натуральное число, , , …, - материальные точки, образующие модель. Точки и соединены невесомой нерастяжимой нитью длины (= 1, 2, …, -1). В рамках этой модели точка - первый выпущенный "шарик", - "шарик" закрепленный на центральной жесткой вставке. "Шарики" с номерами 2, …, -1 свободно движутся под действием внешних сил. Введем обозначения: и - масса и геоцентрический радиус вектор точки , - сила натяжения нити между точками и . Уравнения движения точек в предположении, что все нити натянуты, можно записать в виде:

, ,

, , (1)

, ,

где = 2, …, -1,

Так как точка выпускается с постоянной скоростью относительно центральной жесткой вставки, то последнее уравнение системы (1) перепишется в виде .

Здесь символ означает производную вектора по отношению к системе координат, связанной с центральной жесткой вставкой: если в этой системе , то .

Для данной задачи напряженность гравитационного поля Земли в системе координат, связанной с центральной жесткой вставкой, можно считать пренебрежимо малой по сравнению с центробежной силой и силой Кориолиса. Поэтому из внешних воздействий на точки будем учитывать только центробежную силу и силу Кориолиса, действующие на каждую точку в процессе развертывания системы. Таким образом, величины , определяются следующим образом:

(2)

Если длины нитей постоянны, то уравнения (1) следует дополнить соотношениями

(= 1, 2, …, -1), (3)

выражающими условия нерастяжимости нитей. Эти соотношения позволяют найти силы натяжения с помощью процедуры, применяемой при исключении реакций связей в уравнениях Лагранжа первого рода. Определение сил выполняется следующим образом. Возведем каждое соотношение (3) в квадрат и продифференцируем его дважды по времени, записывая производные векторов в гринвичской системе координат. После несложных преобразований приходим к системе уравнений относительно :

(4)

Здесь

,,=1..-2

Для = -1 коэффициент выглядит следующим образом:

.

Система (4) имеет трехдиагональную матрицу. Для строк этой матрицы в силу оценок (= 2, 3, …, -1) справедливы неравенства

Неравенства выписаны в порядке следования строк и означают, что указанная матрица удовлетворяет условиям диагонального преобладания [5]. Следовательно, система (4) невырождена, и ее решение может быть найдено методом прогонки. Подставив решение системы (4) в уравнения (1), получим замкнутую систему уравнений относительно и (= 1, 2, …, ). Эта система может быть проинтегрирована численно, причем при каждом вычислении ее правой части необходимо решать систему (4). В процессе интегрирования следует проверять выполнение неравенств - описанный способ решения системы (1), (3) физически содержателен только в том случае, когда все нити натянуты.

В начале моделирования . При окончании выпуска -го шарика, порядок системы уравнений (1) увеличивается на один. Что приводит к большим вычислительным погрешностям для больших значений . Поэтому необходимо при каждом шаге интегрирования проверять точность выполнения связей (3).

Вывод стационарной формы в квазистатической постановке.

Кольцеобразное полотнище солнечного паруса будем представлять в сложенном виде как 4 весомых троса. Выпуск каждого из тросов рассматриваем независимо.

Уравнение поперечных колебаний вращающегося с постоянной скоростью троса с начальным радиусом и внешним берем в виде:

, (5)

где - сила натяжения троса,

- плотность солнечной мембраны, линейно распределенной по длине троса,

- поперечное отклонение троса в плоскости вращения.

Для нахождения квазистационарной формы троса ищем в виде функции, зависящей только от . Перепишем уравнение (5) в следующем виде:

.

Сделав замену переменной , перейдем к уравнению

. (6)

Сравнивая его с уравнением Лежандра , видим, что и решением является функция Лежандра первого рода . (Функция Лежандра второго рода не может быть решением нашего уравнения в силу краевого условия на свободном конце троса). Таким образом, - решение однородного уравнения (6).

Решение уравнения (6) будем искать методом вариации постоянной в виде .

Раскрывая скобки, приводя подобные, получим

. Для получения в левой части уравнения полного дифференциала, умножаем левую и правую часть на .

, где .

, где находится из условия избавления особенности на конце троса при . Таким образом, .

. Отсюда находим . То есть .

Константа находится из условия в закрепленном конце троса. Переходя к старым переменным, окончательно получаем квазистационарную форму троса в процессе развертывания:

. (7)

Результаты моделирования.

Ниже приведены результаты моделирования численным интегрированием полученной выше системы обыкновенных дифференциальных уравнений и сравнены с квазистационарной формой (7), полученной в предыдущем разделе. При этом рассмотрены три способа выпуска тросовой системы, поясняющие особенности данного способа моделирования. В каждом случае приводятся графики промежуточных форм выпускаемого троса (красным цветом) для различных (Всего выпускалось 20 "шариков", расстояние между которыми равно 0.5 м). На этих же графиках изображена квазистационарная форма (7), учитывающая центробежные силы, действующие на точечные массы (синим цветом), а также квазистационарная форма, не учитывающая центробежную составляющую в уравнении (5):

.

Кроме этого для каждого случая представлены графики движения свободного конца троса от времени и квазистационарная форма на свободном конце от времени.

Скорость выпуска V=0.01 м/с с единичными массами, распределенными по всему тросу.

В данном способе выпуск каждой точечной массы производится строго в радиальном направлении (от центральной жесткой вставки). При достижении расстояния м, "шарик" отпускается и начинается выпуск следующего шарика. При этом возникает возмущение на выпускаемом конце троса, которые возбуждают поперечные колебания троса. Данный эффект является особенностью данного способа выпуска.

Рис. 1. Выпуск весомого троса: момент выпуска 15-ой точечной массы.

Рис. 2. Выпуск весомого троса: момент выпуска 20-ой точечной массы.

Рис. 3. Выпуск весомого троса: движение свободного конца троса.

Скорость выпуска V=0.01 м/с с единичными массами, распределенными по всему тросу под углом квазистационарной формы.

В данном способе выпуск каждой точечной массы производится в направлении квазистационарной формы. При этом в отличие от выпуска троса в радиальном направлении (предыдущий способ) возникают возмущения на выпускаемом конце троса, имеющие малый порядок. Поэтому следует обращать внимание на правильный способ выпуска при развертывании больших парусных конструкций.

Рис. 4. Выпуск весомого троса под углом квазистационарной формы: момент выпуска 15-ой точечной массы.

Рис. 5. Выпуск весомого троса под углом квазистационарной формы: момент выпуска 20-ой точечной массы.

Рис. 6. Выпуск весомого троса под углом квазистационарной формы: движение свободного конца троса.

Скорость выпуска V=0.01 м/с с массивным правым концом троса.

В данном способе выпуск каждой точечной массы () производится в направлении квазистационарной формы. При этом в отличие от выпуска троса предыдущим способом к свободному концу троса прикрепляется большая масса (). При этом также возникают возмущения на выпускаемом конце троса, имеющие малый порядок.

Рис. 7. Выпуск весомого троса с массивным правым концом под углом квазистационарной формы: момент выпуска 15-ой точечной массы.

Рис. 8. Выпуск весомого троса с массивным правым концом под углом квазистационарной формы: момент выпуска 20-ой точечной массы.

Рис. 9. Выпуск весомого троса с массивным правым концом под углом квазистационарной формы: движение свободного конца троса.

Рис. 10. Выпуск весомого троса с массивным правым концом под углом квазистационарной формы: разность движения свободного конца троса и квазистационарной формой на свободном конце от времени.

Заключение

Моделирование, проведенное в программном пакете MATLAB Simulink, подтвердило правильность выбранной концепции выпуска троса под углом квазистационарной формы, учитывающей центробежную составляющую, а также выбора основных параметров базовой конструкции платформы и разработанных алгоритмов управления выпуска. Полученные результаты исследований могут быть использованы при создании нового класса космических платформ (составных аппаратов с двойным вращением) различного назначения, не требующих расхода рабочего тела на коррекцию орбиты, угловые маневры и разгрузку накопленного кинетического момента [1, 2].

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ -а.

ЛИТЕРАТУРА

1. , , Об устойчивости стационарной формы вращающейся кольцеобразной мембраны с регулярно прецессирующей центральной жесткой вставкой. //Труды МФТИ, Том 3 №2, 2011, С. 73–78.

2. Райкунов Г. Г., , Центробежные бескаркасные крупногабаритные космические конструкции. — М.: Физматлит, 2009.

3. Les Johnson, Roy Young, Edward Montgomery and Dean Alhorn "Status of Solar Sail Technology Within NASA", Second International Symposium on Solar Sailing (ISSS 2010), Brooklyn, New York, 2010

4. , Разработка алгоритмов управления и исследование динамического поведения спутника с большим вращающимся солнечным парусом. //Труды МАИ, Выпуск № 45, 2011.

5. Kamke E. Differentialgleichungen: Lösungsmethoden und Lösungen. Bd 1: Gewöhnliche Differentialgleichungen. Leipzig: Akad. Verlag., 1944. = Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971. 576 с.