XI Международная дистанционная олимпиада «Эрудит»
Математика
4 класс
I тур
Ануреева Диана
Задача 1
Приехал дядя Фёдор с Матроскиным в деревню.
«Деревня красивая. Кругом лес, поля и речка недалеко. Ветер дует такой тёплый, и комаров нет. И народу в деревне очень мало живёт». Оказывается, за рекой построили многоэтажный дом. Полдеревни туда и переехало.
– Дом большой, – рассказал старичок, встретившийся дяди Федору, – 
несколько подъездов, на каждой лестничной площадке 4 квартиры. Кум мой живет в квартире номер 170 на третьем этаже, а внук – на пятом этаже в квартире номер 82.
– Сколько же в доме этажей? – задумался дядя Федор.
Ответ: По условию задачи дом многоэтажный и многоподъездный, на каждом этаже по 4 квартиры.
Ближайшее число к 82, которое делится на 4, будет 80. Тогда 4 этаж, учитывая условия задачи, будет заканчиваться квартирой № 80.
Если 80 : 4 = 20 (эт.) – этажей до 82 квартиры.
Таким образом, в предыдущих подъездах 20 – 4 = 16 этажей.
Можем сделать предположение, что перед подъездом, в котором находится 82 квартира, один подъезд в 16 этажей, либо 2 подъезда по 8 этажей. Для этого проверим следующее условие, при котором квартира № 000 находится на 3 этаже.
Получаем, что ближайшее число к 170, которое также делится на 4, является число 168. Это номер последней квартиры на 2 этаже в подъезде, где живет кум. Тогда,
168 – 8 = 160 (кв.) квартир в предыдущих подъездах.
160 : 4 = 40 (эт.) этажей в предыдущих подъездах.
Учитывая, что число этажей во всех подъездах одинаково, найдем варианты количества этажей в доме. Итак,
40 : 16 = 2,5 подъезда – что не может быть
40 : 8 = 5 подъездов.
Таким образом, все условия задачи выполняются, если дом 8-этажный.
Получаем, что при соблюдении всех условий наш дом является 8-этажным.
Задача 2
Кот Матроскин и Шарик решили посадить в саду яблоню, вишню, сливу и смородину.
– Все растения будут расти вдоль одной прямой, – заявил Матроскин.
Шарик нарисовал вдоль забора прямую линию, выкопал на ней четыре ямы и посадил растения. Яблоню и вишню он посадил на расстоянии 10 м друг от друга. Смородину расположил в 1м 20 см от яблони. Между сливой и вишней оставил 3 м 50 см. Между смородиной и сливой получилось расстояние 12 м 30 см.
На каком расстоянии друг от друга растут смородина и вишня?
Ответ: По условию задачи все 4 растения растут на 1 прямой, но при этом на разных расстояниях друг от друга.
По условию задачи возможны 4 варианта посадки растений: смородина может быть посажена слева от яблони либо справа, также как и слива может быть посажена справа от вишни или слева.
Если предположить, что слива и смородина посажены максимально близко друг к другу, то расстояние будет меньше, чем между вишней и яблоней, т. е. менее 10 м. Этот вариант рассадки растений не подходит. Если на максимально удаленном расстоянии, то расстояние между ними будет
10 + 1,2 + 3,5 = 14,7 м – это противоречит условию задачи, значит наше предположение было ошибочным.
Если слива посажена между вишней и яблоней, а смородина за яблоней, тогда расстояние будет равно
10 – 3,5 + 1,2 = 7,7 м – что также не соответствует условию задачи.
Остается последний вариант, при котором смородина посажена между вишней и яблоней, а слива за вишней.
10 + 3,5 – 1,2 = 12,3 м – что соответствует условию задачи.
12,3 м 1,2 м
Таким образом, по условию задачи Шарик вот так распределил деревья при посадке:
 |
Сл – слива
В - вишня
См – смородина
Я - яблоня
Расстояние между смородиной и вишней можно получить 2 способами:
1. Из расстояния между вишней и яблоней вычесть расстояние до смородины, которая находится между этими деревьями:
10 – 1,2 = 8,8 (м) – расстояние между смородиной и вишней
2. Из расстояния между сливой и смородиной вычесть расстояние до вишни, которая находится между этими растениями:
12,3 – 3,5 = 8,8 (м) – расстояние между смородиной и вишней
Задача 3
Задумал Матроскин завести кур.
– Польза от них огромная. Будут нам яйца нести! – рассуждал Матроскин.
– И огород копать, – сказал Шарик. – Очень уж они любят червячков искать, вот весь огород и перероют!
– Нет, – задумался Матроскин, – в огород их пускать нельзя. Вот ты, Шарик, и отгородишь для кур площадку.
Вышли они во двор, начертили на земле большой квадрат. Шарик принес доски, гвозди, инструмент и за 2 часа построил крепкий забор вокруг намеченного квадратного участка.
Матроскину забор понравился, и он решил отгородить участок и для коровы Мурки. В конце огорода Матроскин нарисовал квадрат, площадь которого в 9 раз больше, чем площадь квадрата, отведенного для кур.
Сколько времени потребуется Шарику, чтобы построить забор на новом участке, если он всегда работает с одинаковой производительностью?
Ответ: По условию задачи участок для коровы Мурки является квадратом и его площадь в 9 раз больше, чем площадь квадратного участка для кур, а производительность труда у Шарика одинаковая. Но загвоздка заключается в том, что установка забора требует нахождения периметра, а не площади. Если предположить, что площадь участка для кур со стороной акур равна
Sкур = акур * акур, то площадь участка для коровы равна Sкор = 9*акур* акур, а соответственно сторона участка для коровы равна акор = 3 акур, ,т. к. 9 = 3*3
акор = 3акур, таким образом, получаем, что сторона большого квадрата больше стороны маленького квадрата в 3 раза. Значит, периметр квадратного участка для кур будет равен Ркур = акур*4, а периметр квадратного участка для коров Ркор = 3акур*4, т. е. значение окажется в 3 раза больше, чем участок для кур. Отвечая на вопрос задачи, можно сказать, что Шарику потребуется в 3 раза больше времени на установку забора для коровы:
2 * 3 = 6 часов на постройку забора для коровы Мурки.
Задача 4
Прохладным вечером на лавочке собрались дядя Фёдор, Матроскин, Шарик и почтальон Печкин. У каждого на шее был повязан шарф. Все шарфы были разного цвета: красный, синий, зелёный и жёлтый. Шарф почтальона Печкина не синий и не красный. Между Матроскиным и обладателем жёлтого шарфа сидит персонаж в зелёном шарфе. Шарик не в зелёном и не в синем шарфе. Дядя Федор сидит около Шарика и персонажа в красном шарфе.
Какого цвета шарф у дяди Фёдора, Матроскина, Шарика и почтальона Печкина?
Ответ: Наше решение будет строиться на предположениях. Так, если у почтальона Печкина шарф не синий и не красный, предположим, что цвет его шарфа – желтый. Тогда по условию задачи рядом с ним сидит персонаж в зеленом шарфе, а за ним Матроскин. Раз у Шарика не может быть шарф зеленого, синего цвета (по условию) и желтого (по нашему предположению), значит, у него красный шарф, а между почтальоном Печкиным и Матроскиным сидит дядя Федор в зеленом шарфе. Все это противоречит условию задачи, т. к. дядя Федор должен сидеть около Шарика. Наше первоначальное предположение оказалось неверным.
Теперь предположим, что у почтальона Печкина не желтый, а зеленый шарф. Тогда рядом с ним сидит Матроскин и персонаж в желтом шарфе. Шарик не в зеленом и не в синем, значит, на нем может быть либо желтый, либо красный шарф. Если у Шарика желтый шарф, и сидит он рядом с почтальоном Печкиным, то не будет выполнено условие, при котором дядя Федор сидит около Шарика и персонажа с красным шарфом. Тогда предположим, что обладателем желтого шарфа является дядя Федор, у Матроскина синий шарф, а у Шарика красный. Условия размещения персонажей у нас соблюдены.
Задача 5
Купил Матроскин витамины для цыплят, а в рецепте написано: «Давать по 1 капле на 20 граммов веса». Достал Матроскин весы. Но вот беда, весы показывают точный вес только после 300 грамм, а каждый цыпленок весит гораздо меньше. Оказалось, что весы начинают показывать вес, если на них посадить трёх цыплят одновременно.
Взял Матроскин четырёх цыплят, трёх из них пометил разными способами: одному бантик повязал, другому – слюнявчик, третьему кепку надел, и стал взвешивать.
Получилось, что первый, второй и третий цыплёнок вместе весят 320 грамм; второй, третий и четвёртый цыплёнок вместе весят 360 грамм; первый, второй и четвёртый цыплёнок вместе весят 300 грамм; первый, третий и четвёртый цыплёнок вместе весят 340 грамм.
– Сколько весит каждый цыплёнок? – задумался Матроскин. – Сколько каждому капель давать?
Ответ: Итак, из условия задачи следует, что
1-ый цыпленок < 2 цыпленка на 20 г (1+3+4 = 340; 2+3+4 = 360, значит 1 меньше 2 на 20 г)
1-ый цыпленок < 3 цыпленка на 60 г (1+2+4 = 300; 2+3+4 = 360, значит 1 меньше 3 на 60 г)
1-ый цыпленок < 4 цыпленка на 40 г (1+2+3 = 320; 2+3+4 = 360, значит 1 меньше 4 на 40 г)
Тогда вес 1-ого цыпленка можно выразить через Х, остальные веса распределяться так:
2 цыпленок – Х + 20
3 цыпленок – Х + 60
4 цыпленок – Х + 40
Подставляя в имеющиеся утверждения, мы можем посчитать вес каждого цыпленка. Например, если при условии, что 1,2 и 3 цыплята весят 320 г, то мы можем это выразить математически так:
Х + (Х + 20) + (Х + 60) = 320
Х + Х + 20 + Х + 60 = 320
3Х = 320 – 80
Х = 240 / 3
Х = 80 г (весит 1-ый цыпленок).
Тогда соответственно 2 цыпленок весит 100 г, 3 цыпленок весит 140, а четвертый – 120 г.
Проверим вес нескольких цыплят по условию задачи.
1. 1, 2 и 3 цыплята вместе весят 320 г : 80 + 100 + 140 = 320 г - соответствует
2. 2, 3 и 4 цыплята вместе весят 360 г : 100 + 140 + 120 = 360 г - соответствует
3. 1, 2 и 4 цыплята вместе весят 300 г : 80 + 100 + 120 = 300 г - соответствует
4. 1, 3 и 4 цыплята вместе весят 340 г : 80 + 140 + 120 = 340 г – соответствует,
Таким образом, цыплятам необходимо давать витамины в следующих количествах:
- 1 цыпленку 80 / 20 = 4 капли
- 2 цыпленку 100 / 20 = 5 капель
- 3 цыпленку 140 / 20 = 7 капель
- 4 цыпленку 120 / 20 = 6 капель.
Задача 6
 |
Вечерами, чтобы не скучать, дядя Фёдор придумывал для своих друзей разные загадки и головоломки. Однажды он показал им таблицу.
– В каждой строчке таблицы – пример, – сказал дядя Фёдор. – Одинаковые зверята закрывают одинаковые цифры. Разные зверята – разные цифры. Какую цифру закрывает бабочка?
Ответ: Учитывая тот факт, что цифры - это ряд от 0 до 9, а остальные показатели – это числа, то при решении этой задачи мы можем использовать только однозначные «числа». Таким образом, белочки закрывают цифру «1», зайчики – цифру «2» или наоборот.
Решая представленные примеры, получаем, что ёжик – это цифра «3», мышка – цифра «6», а бабочка закрывает цифру «9».
1 (белочка) + 1 + 1 = 3 (ёжик)
2 (зайчик) + 2 + 2 = 6 (мышка)
3 (ёжик) + 6 (мышка) = 9 (бабочка)
Дорогие ребята!
Вам предстоит решить 6 забавных задач по математике. Максимальное количество баллов за каждую задачу – 5. Их можно получить, если задача решена правильно, приведено полное подробное решение. Если решения задачи нет, а дан только правильный ответ, то, задача будет оценена в 1 балл. Ждем ваших решений.
Желаем успехов!
Уважаемые ребята, родители и координаторы!
Мы будем очень благодарны Вам за оставленный отзыв об олимпиаде.
Нам очень важно знать ваше мнение о заданиях I тура олимпиады. Какие задания показались легкими? А какие самыми сложными? Что вам не понравилось?
|
