,
Дифференциальные уравнения:
Учебное пособие. 2-е изд.
ISBN -0
Год выпуска 2006
Тираж 1500 экз.
Формат 12,8 ´ 20 см
Переплет: твердый
Страниц 288
Предлагаемая читателям книга состоит их двух частей: в ее первой части рассматриваются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, во второй — дифференциальные уравнения с частными производными.
Книга рассчитана на студентов технических вузов. Написанная простым и ясным языком, она представляется полезной также лицам, занимающимся математикой самостоятельно.
От издательства
Предлагаемая читателям книга состоит из двух частей: в ее первой части рассматриваются основы теории обыкновенных дифференциальных уравнений, во второй — дифференциальные уравнения с частными производными.
Материал первой части представляет собой курс лекций, читанный на протяжении ряда лет в Военной Артиллерийской инженерной академии имени (ныне Военной академии ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого). Его содержание соответствует изложению за один семестр (15-17 двухчасовых лекций) раздела «обыкновенные дифференциальные уравнения» втузовского курса высшей математики.
Первая часть книги состоит из четырех глав. В 1-ой главе даются общие понятия теории обыкновенных дифференциальных уравнений. В главе 2 излагаются сведения об уравнениях первого порядка, причем кроме детального разбора интегрируемых случаев, в ней затрагиваются элементы общей теории дифференциальных уравнений (особые точки, особые решения и др.). Глава 3 посвящена подробному исследованию уравнений второго порядка. В 4-ой главе рассматриваются уравнения высших порядков.
Вторая часть книги написана на основе курса лекций, прочитанного студентам химического факультета Московского Государственного университета имени . Ее материал соответствует изложению, также в течение одного семестра (2 часа лекций в неделю), раздела «дифференциальные уравнения с частными производными» из курса высшей математики для втузов.
Вторая часть книги содержит пять глав. В 1-ой главе даются сведения об уравнениях в частных производных первого порядка. Глава 2 посвящена изложению необходимой далее теории рядов Фурье. В 3-ей главе подробно изучается классификация линейных уравнений с частными производными второго порядка. В главе 4-ой анализируются основные уравнения математической физики. Наконец, в 5-ой главе, имеющей прикладной характер, приводится метод наименьших квадратов для аппроксимации функций.
Оглавление
Часть I. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава I. Общие понятия.......... 5
§ 1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.......... 5
§2. Основные определения.......... 8
Глава II. Дифференциальные уравнения первого порядка.......... 13
§ 1. Различные формы дифференциального уравнения первого порядка .......... 13
§2. Поле направлений.......... 14
§3. Полигоны Эйлера.......... 15
§4. Теорема существования и единственности.......... 17
§5. Уравнения с разделяющимися переменными.......... 18
§ 6. Однородные уравнения.......... 20
§ 7. Линейные уравнения.......... 23
§ 8. Уравнение Бернулли.......... 30
§9. Уравнения в полных дифференциалах.......... 32
§10. Понятие об интегрирующем множителе.......... 35
§11. Интегрирующий множитель линейного уравнения.......... 36
§ 12. Уравнение первого порядка, не разрешенные относительно производной.......... 37
§13. Параметрический способ решения.......... 38
§ 14. Уравнение Лагранжа.......... 43
§ 15. Уравнение Клеро.......... 46
§ 16. Особые точки.......... 48
§ 17. Особые решения.......... 50
§ 18. Составление дифференциальных уравнений.......... 55
§19. Задачи геометрического характера.......... 56
§ 20. Задачи физического характера.......... 60
Глава III. Дифференциальные уравнения второго порядка.......... 65
§ 1. Общие понятия.......... 65
§ 2. Механический смысл дифференциального уравнения второго порядка .......... 66
§3. Интегрируемые случаи.......... 67
§4. Случай понижения порядка.......... 71
§ 5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами .......... 75
§ 6. Физическая интерпретация линейного однородного уравнения второго порядка.......... 81
§ 7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами .......... 85
§ 8. Физическая интерпретация линейного неоднородного уравнения второго порядка.......... 85
§ 9. Нахождение частных решений неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов.......... 86
§ 10. О краевых задачах для уравнений второго порядка.......... 91
Глава IV. Дифференциальные уравнения высших порядков.......... 95
§ 1. Теорема существования и единственности решений.......... 95
§ 2. Уравнения, допускающие понижение порядка.......... 97
§ 3. Однородные линейные дифференциальные уравнения.......
§ 4. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения.......
§5. Метод вариации произвольных постоянных.......
§ 6. Однородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами.......
§ 7. Неоднородные линейные уравнения с постоянными коэффициентами .......
§8. Уравнение Эйлера.......
§9. Системы дифференциальных уравнений.......
§10. Об общих краевых задачах.......
Часть II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
Глава I. Уравнения первого порядка.......
§1. Линейные однородные уравнения.......
§2. Задача Коши для линейного однородного уравнения.......
§3. Квазилинейные уравнения.......
Глава II. Ряды Фурье.......
§1. Ортогональные системы функций и обобщенные ряды Фурье.......
§2. Тригонометрические ряды Фурье.......
Глава III. Классификация уравнений второго порядка.......
§1. Основные определения.......
§2. Приведение к каноническому виду линейных относительно старших производных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными .......
§3. Задачи с начальными данными.......
Глава IV. Основные уравнения математической физики.......
§ 1. Уравнение колебаний струны.......
§2. Уравнение теплопроводности.......
§ 3. Уравнение Лапласа.......
Глава V. Метод наименьших квадратов.......
§ 1. Аппроксимация функций.......
§ 2. Обработка результатов наблюдений методом наименьших квадратов .......
