10.5.2. Понятие о методе переменных состояния

Уравнениями состояния называют в принципе любую систему уравнений, описывающих состояние цепи, определяющих ее режим работы. В более узком смысле этот термин относят к системе дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных. Число уравнений, как и число самих переменных состояния, равно порядку цепи, который не может превышать суммарного количества индуктивностей и емкостей.

Основными переменными состояния следует считать токи в индуктивностях (или их потокосцепления) и напряжения на емкостях (или их заряды). Ведь именно эти переменные отвечают за энергетическое состояние цепи в каждый данный момент времени именно их число определяет порядок системы уравнений, именно эти переменные состояния оказываются непрерывными величинами (а их начальные условия – независимыми, которые определяются по законам коммутации).

Метод анализа цепи, основанный на составлении и решении уравнений состояния, называют методом переменных состояния. Он использует две группы формул. Одна – это собственно уравнения состояния, т. е. система дифференциальных уравнений первого порядка. В нее в качестве неизвестных входят переменные состояния , а в качестве известных – входные величины . Вторая – алгебраические уравнения, связывающие выходные величины  со входными и с переменными состояния. В матричной форме система уравнений имеет вид:

Здесь x, v, f – матрицы-столбцы соответственно переменных состояния, ЭДС и токов источников, выходных токов и напряжений; А – квадратная, В и С – прямоугольные матрицы коэффициентов, которые выражаются через параметры цепи.

Чтобы записать эти уравнения для простых цепей, достаточно бывает воспользоваться законами Кирхгофа. С применением принципа наложения легко определяются матрицы коэффициентов. В сложных случаях коэффициенты матричных уравнений определяют с помощью топологических методов. А решают их обычно численными методами [9].

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Метод переменных состояния эффективен:

♦ при расчете переходных процессов с большим количеством накопителей энергии;

♦ при сложных законах изменения , ;

♦ при анализе многих вариантов с различными параметрами;

♦ при расчете нелинейных и параметрических цепей.

Пример 32.1

Составить уравнения состояния для уже знакомой по классическому и операторному методам цепи второго порядка (рис. 10.20,а).

Решение

По второму закону Кирхгофа для левого контура и по первому закону для одного из узлов можно записать:

Отсюда легко находятся первые производные переменных состояния Полученные соотношения и представляют собой уравнения состояния:

В матричной форме

.

Для решения дифференциальных уравнений численным методом следует задать:

1) независимые начальные условия

2) расчетное время

3) шаг по времени h.

Расчет можно завершить при когда переходный процесс практически заканчивается. Строгих критериев для выбора шага нет, но для первого варианта расчета можно принять Здесь – соответственно наибольшая и наименьшая из постоянных времени отдельных ветвей.

В рассматриваемом примере – это взятые по модулю величины, обратные коэффициентам при Примем Тогда при решение уравнений состояния

методом Рунге-Кутта [9] дает значения, приведенные в табл. 10.5.

Таблица 10.5

мс

0

0,75

1,5

2,25

3

3,75

4,5

5,25

6

6,75

7,5

мА

200

398

507

548

546

520

485

451

424

405

394

В

164

143,8

119,1

96,2

78,1

65,8

58,7

55,7

55,5

56,8

58,8

Этот результат хорошо согласуется с аналитическим решением примера 10.8.