Задание

10 класс

10.1 Ненулевые числа a, b,c таковы, что при любом x. Докажите, что

при любом x.

Решение. По условию P(x) = ax2 + (b-c)x + c > 0 при любом x , поэтому дискриминант трехчлена P(x) отрицателен: D = (b-c)2 – 4ac = b2 + c2 – 2bc – 4ac < 0. Кроме того c = P(0) > 0. Значит у трехчлена Q(x) = cx2 – (b+c)x + (a+b) положителен старший коэффициент, а его дискриминант D1 = (b+c)2 – 4c(a+b) = b2 +c2 +2bc – 4ac -4bc =D < 0, т. е. Q(x) > 0 при всех x.

10.2 Каждая клетка доски окрашена в один из четырех цветов: синий, красный, белый, зеленый. Причем в любом квадрате встречаются все четыре цвета. Докажите, что угловые клетки доски окрашены в разные цвета.

Решение. Имеем доску размером , где n=15. Применим метод математической индукции. Обозначим клетки разного цвета цифрами 1,2,3,4 соответственно. Если n=1, то имеем угловые клетки разного цвета. Если n = 2, то имеем доску размером где верхний левый квадрат помечен цифрами 1,2,3,4. Чтобы выполнялось условие задачи, оставшиеся клетки можно закрашивать прямоугольниками | 1 | 2 | и | 3 | 4 | , либо прямоугольниками Если правая верхняя угловая клетка 4, то нижняя правая угловая клетка 2, нижняя левая угловая клетка 3. Предположим, что квадрат размером закрашен указанным в задаче образом. Закрашивая пустые клетки указанными прямоугольниками, мы получим квадрат, угловые клетки которого окрашены в разные цвета.

10.3 Решите в натуральных числах уравнение

Ответ: (6;18), (8;8), (10;6), (20;4).

Решение. Если уравнение записать в виде x(y-3) = 5y, то получим Запишем уравнение в виде Отсюда следует, что x>5. Если предположить, что то имеем Таким образом Далее перебором находим

решения.

10.4 Треугольник ABC вписан в окружность. Точка D – середина дуги AC,точки K и L выбраны на сторонах AB и CB соответственно так, что KL параллельна AC. Пусть K1, L1 –точки пересечения прямых DK и DL соответственно с окружностью. Докажите, что вокруг четырехугольника KK1L1L можно описать окружность.

Решение. Рассмотрим касательную NM в точке D. Имеем KL | | AC | | NM. Отсюда следует, что Углы (равны половине дуги К1D) . Отсюда , а это и означает, что вокруг четырехугольника KK1L1L можно описать окружность.

10.5 Можно ли разбить числа 1,2,3,…,100 на три группы так, чтобы в первой группе сумма чисел делилась на 102, во второй на 203, а в третьей на 304?

Ответ: Нельзя.

Решение. Сумма чисел от 1 до 100 равна 5050. По условию задачи должно выполняться равенство:102x +203y + 304z = 5050 или 51x + 203y/2 +152z = 2525. Числа x, y/2, z должны быть натуральными. Имеем 51n +203m +152k = 2525 или 51(n+m) + 152(m+k) = 2525. Число 2525 делится на 5 . Поэтому, левая часть выражения

51p + 152q =2525 где q <17, должна делится на 5. Это невозможно.