Неопределённые уравнения в натуральных числах

Неопределённые уравнения в натуральных числах.

ГУО”Речицкий Районный Лицей”

Подготовил : .

Руководитель: .

Введение

1.Решение уравнений методом разложения на множители…………4

2.Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)…………………………………………………………………….11

3.Метод остатков.................................................................................13

4.Метод «бесконечного спуска».........................................................15

5.Метод проб…………………………………………………………...16

Заключение.........................................................................................18

Введение

Я - Слава учусь в Речицком Районном Лицее, учащийся 10 класса.

Всё начинается с идеи! Мне предложили решить уравнение с тремя неизвестными 29х+30у+31z=366. Теперь я это уравнение расцениваю как задачу – шутку, а в первый раз поломала голову. Для меня это уравнение стало своего рода неопределенным, как его решать, каким способом.

Под неопределёнными уравнениями мы должны понимаем, что это уравнения, содержащие более одного неизвестного. Обычно, люди, которые решают эти уравнения, ищут решения в целых числах.

Решение неопределённых уравнений – это очень увлекательное и познавательное занятие, способствующее формированию у учащихся сообразительности, наблюдательности, внимательности, так же развитию памяти и ориентации, умению логически мыслить, анализировать, сопоставлять и обобщать. Общей методики я пока не нашла, но об некоторых приёмах решения таких уравнений в натуральных числах сейчас я вам расскажу.

Данная тема недостаточно полно изложена в действующих учебниках математики, а задачи предлагаются на олимпиадах и на централизованном тестировании. Это меня заинтересовало и увлекло настолько, что решая разные уравнения и задачи, у меня собралась целая коллекция собственных решений, которые с учителем мы разбили по методам и способам решения. И так какая же моя цель работы?

Моя цель разобрать решения уравнений с несколькими переменными на множестве натуральных чисел.

Для начала мы рассмотрим практические задачи, а после перейдем к решению уравнений.

Какова длина сторон прямоугольника, если его периметр численно равен площади?

Р=2(х+у),

S = ху, х€N и у€N

P=S

2х+2у=ху, +=

+ =

Ответ: (4:4); (3:6); (6:3).

Найти способы уплаты 47 рублей, если для этого можно использовать только трёх и пятирублевые купюры.

Решение

5х+3у=47

х=1, у=14

х=1 – 3К, у= 14+5К, К€Z

Натуральные значения х и у соответствуют К= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Задача-шутка

Докажите, что существует решение уравнения 29х+30у+31z=336 в натуральных числах.

Доказательство

В високосном году 366 дней и один месяц – 29 дней, четыре месяца - 30 дней,

7 месяцев – 31 день.

Решением является тройка (1:4:7). Это означает, что существует решение уравнения в натуральных числах.

1. Решение уравнений методом разложения на множители

1) Решите уравнение х2-у2=91 в натуральных числах

Решение

(х-у)(х+у)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Решение 8 систем

х-у=1

х+у=91

(46:45)

х-у=91

х+у=1

(46: -45)

х-у=13

х+у=7

(10: -3)

х-у=7

х+у=13

(10:3)

х-у= -1

х+у= -91

(-46: 45)

х-у= -91

х+у= -1

(-46: -45)

х-у= -13

х+у= -7

(-10:3)

х-у= -7

х+у= -13

(-10: -3)

Ответ: (46:45):(10:3).

2) Решите уравнение х3+91 =у3 в натуральных числах

Решение

(у-х)(у2+ху+х2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Решение 8 систем

у-х=1

у2+ху+х2=91

(5:6)(-6: -5)

у-х= 91

у2+ху+х2= 1

не имеет решений в целых числах

у-х=13

у2+ху+х2=7

не имеет решений в целых числах

у-х=7

у2+ху+х2=91

( -3: 4)( -4: 3)

Остальные 4 системы не имеют решений в целых числах. Условию удовлетворяет одно решение.

Ответ: (5:6).

3) Решить уравнение ху=х+у в натуральных числах

Решение

ху-х-у+1=1

х(у-1)-(у-1)=1

(у-1)(х-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Решение 2 системы

у-1= -1

х-1= -1

(0:0)

у-1=1

х-1=1

(2:2)

Ответ: (2:2).

4) Решить уравнение 2х2+5ху-12у2=28 в натуральных числах

Решение

2х2-3ху+8ху-12у2=28

(2х-3у)(х+4у)=28

х;у – натуральные числа; (х+4у)€N

(х+4у)≥5

2х-3у=1

х+4у=28

(8:5)

2х-3у =4

х+4у= 7

нет решений в натуральных числах

2х-3у=2

х+4у=14

нет решений в натуральных числах

Ответ: (8:5).

5) Решить уравнение 2ху= х2+2у в натуральных числах

Решение

х2-2ху+2у=0

(х2-2ху+у2)-у2+2у-1+1=0

(х-у)2-(у-1)2= -1

(х-у-у+1)(х-у+у-1)= -1

(х-2у+1)(х-1)= -1

х-2у+1= -1

х-1= 1

(2:2)

х-2у+1=1

х-1= -1

нет решений в натуральных числах

Ответ: (2:2).

6) Решить уравнение xуz-3xy-2xz+yz+6x-3y-2z= -4 в натуральных числах

Решение

ху( z-3)-2x(z-3)+y(z-3)-2z+4=0

ху( z-3)-2x(z-3)+y(z-3)-2z+6-2=0

ху(z-3)-2x(z-3)+y(z-3)-2(z-3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Решение 6 систем

z-3= 1

x+1=1

y-2 = 2

(0:4:4)

z-3= -1

x+1=-1

y-2= 2

(-2:4:2)

z-3= 1

x+1=2

y-2 =1

(1:3:4)

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0:3:5)

z-3= -1

x+1 = 2

y-2 = -1

(1:1:2)

z-3=2

x+1= -1

y-2= -1

(-2:1:5)

Ответ: (1:3:4).

Рассмотрим более сложное для меня уравнение.

7) Решить уравнение х2-4ху-5у2=1996 в натуральных числах

Решение

(х2-4ху+4у2)-9у2=1996

(х-2у)2-9у2=1996

(х-5у)(х+5у)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

х€N, у€N; (х+у)€N; (х+у)>1

х-5у=1

х+у=1996

нет решений

х-5у=499

х+у= 4

нет решений

х-5у=4

х+у=499

нет решений

х-5у=2

х+у=998

(832:166)

х-5у=988

х+у=2

нет решений

Ответ: х=832, у=166.

Сделаем вывод: при решении уравнений методом разложения на множители применяются формулы сокращенного умножения, способ группировки, метод выделения полного квадрата.

2. Решение уравнений с двумя переменными (дискриминантный метод)

1)Решить уравнение 5х2+5у2+8ху+2у-2х+2=0 в натуральных числах

Решение

5х2+(8у-2)х+5у2+2у+2=0

Д= (8у – 2)2 – 4*5*(5у2+2у+2)= 4((4у – 1)2 –5*(5у2+2у+2))

х1,2==

Д=0, =0

у=-1, х=1

Ответ: решений нет.

2) Решить уравнение 3(х2+ху+у2)=х+8у в натуральных числах

Решение

3(х2+ху+у2)=х+8у

3х2+3(у-1)х+3у2-8у=0

Д=(3у-1)2-4*3(3у2-8у)=9у2-6у+1-36у2+96у=-27у2+90у+1

Д≥0, -27у2+90у+1≥0

≤у≤

у€N, у=1, 2, 3.Перебирая эти значения, имеем (1:1).

Ответ: (1:1).

3)Решите уравнение х4-у4-20х2+28у2=107 в натуральных числах

Решение

Вводим замену : х2=а, у2=а;

а2-а2-20а+28а=107

а2-20а+28а-а2=0

а1,2=-10±+96

а2-20а+28а-а2-96=11

а1,2=10±= 10±= 10±(а-14)

а1= а-4, а2=24-а

Уравнение имеет вид:

(а-а+4)(а+а-24)=1

х2-у2+4=1

х2+у2 – 24=11

нет решений в натуральных числах;

х2 - у2+4=11

х2+у2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

х2 - у2+4= -1

х2+у2 – 24= -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

х2 - у2+4= -11

х2+у2 – 24= -1 нет решений в натуральных и целых числах Ответ: (4:3),(2:3).

3. Метод остатков

При решении уравнений методом остатков очень часто используют задачи:

А) Какие остатки могут давать при делении на 3и 4?

Всё очень просто, при делении на 3 или 4 точные квадраты могут давать два возможных остатка: 0 или 1.

Б) Какие остатки могут давать точные кубы при делении на 7 и 9?

При делении на 7 могут давать остатки: 0, 1, 6; а при делении на 9: 0, 1, 8.

1) Решить уравнение х2+у2=4z-1 в натуральных числах

Решение

х2+у2+1=4z

Рассмотрим, какие остатки могут давать при делении на 4 левая и правая части этого уравнения. При делении на 4 точные квадраты могут давать только два различных остатка 0 и 1. Тогда х2+у2+1 при делении на 4 дают остатки 1, 2, 3, а 4z делится без остатка.

Следовательно, данное уравнение не имеет решений.

2) Решите уравнение 1!+2!+3!+ …+х!= у2в натуральных числах

Решение

a) Х=1, 1!=1, тогда у2=1, у=±1 (1:1)

b) х=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, то есть у2= 9, у=±3 (3:3)

c) х=2, 1!+2!= 1+2= 3, у2=3, то есть у=±

d) х=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, х=4 (нет), у2=33

e) х≥5, 5!+6!+…+х!, представим 10n, n €N

1!+2!+3!+5!+…+х!=33+10n

Число, оканчивающееся цифрой 3, означает, что оно не может быть квадратом целого числа. Следовательно, х≥5, не имеет решений в натуральных числах.

Ответ: (3:3) и (1:1).

3) Доказать, что нет решений в натуральных числах

х2-у3=7

z2 – 2у2=1

Доказательство

Предположим, что система разрешима z2=2у2+1, z2 – нечётное число

z=2m+1

y2+2m2+2m, у2 – чётное число, у = 2n, n€N

х2=8n3+7, то есть х2 – нечётное число и х нечётное, х = 2r+1, n€N

Подставим х и у в первое уравнение,

2(r2+r-2n3)=3

Не возможно, так как левая часть уравнения делится на два, а правая не делится, значит, наше предположение не верно, то есть система не имеет решений в натуральных числах.

4. Метод бесконечного спуска

Решаем по следующей схеме:

Предположим, что уравнение имеет решение, мы строим некий бесконечный процесс, в то время как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чётном шаге закончиться.

1)Докажите, что уравнение 8х4+4у4+2z4=t4 не имеет решений в натуральных числах

Доказательство

Допустим, что уравнение имеет решение в целых числах, тогда следует, что

t4 – чётное число, тогда t – тоже чётное

t=2t1 , t1€Z

8х4+4у4+2z4= 16t14

4х4+2у4+z4= 8t14

z4=8t14 - 4х4 - 2у4

z4 – чётное, тогда z=2z1, z1€Z

Подставим

4х4+2у4+16z4=8t14

у4= 4t14 – 2х4 - 8z14

х – чётное, то есть х=2х, х1€Z , тогда

16х14 – 2t14 – 4z14+8y14=0

8х14+4у14+2z14=t14

И так х, у, z, t – чётные числа, тогда х1, у1, z1, t1 – чётные. Тогда х, у, z, t и х1, у1, z1, t1 делятся на 2, то есть , , , и , , , .

Итак, оказалось, что число, удовлетворяет уравнение; кратны 2, и сколько раз мы не делили бы их на 2, всегда будем получать числа, кратные 2. Единственное число, удовлетворяет этому условию – нуль. Но нуль не принадлежит множеству натуральных чисел.

5. Метод проб

1) Найти решения уравнения +=

Решение

=

р(х+у)=ху

ху=рх+ру

ху-рх-ру=0

ху-рх-ру+р2=р2

х(у-р)-р(у-р)=р2

(у-р)(х-р)=р2

р2= ±р= ±1= ±р2

Решение 6 систем

у-р= р

х-р= р

у=2р, х=2р

у-р= - р

х-р= - р

у=0, х=0

у-р=1

х-р=1

у=1+р, х=1+р

у-р= -1

х-р= -1

у=р-1, х=р-1

у-р= р2

х-р= р2

у=р2+р, х= р2+р

у-р= - р2

х-р= - р2

у=р-р2, х=р-р2

Ответ: (2р:2р), (1+р:1+р), (р-1:р-1), (р2+р:р2+р), (р-р2:р-р2).

Заключение

Обычно решения неопределённых уравнений ищут в целых числах. Уравнения, в которых ищут только целочисленные решения, называют диафантовыми.

Я разобрал решения уравнений с числом неизвестных больше одного, на множестве натуральных чисел. Такие уравнения настолько разнообразны, что вряд ли существует какой-либо способ, алгоритм их решения. Решение таких уравнений требует изобретательность и способствует приобретению навыков самостоятельной работы в математики.

Я решал примеры простейшими приёмами. Простейшим приём решений таких уравнений в том, чтобы выразить одну переменную через остальные, и получится выражение, которое мы будем исследовать, с целью нахождения этих переменных, при которых оно является натуральным (целым).

При этом, используется понятия и факты, связанные делимостью, - такие, как простые и составные числа, признаки делимости, взаимно простые числа и др.

Особенно часто применяются:

1) Если произведение делится на простое число р, то хотя бы один из его сомножителей делится на р.

2) Если произведение делится на некоторое число с и один из сомножителей взаимно простое с числом с, то второй множитель делится на с.