Контрольная работа № 1

Контрольная работа № 1.

№ зачетки 3422, вар. 2

Задача 1.

1.2. Решить матричное уравнение и сделать проверку:

Решение:

Пусть .

Тогда система примет вид:

Найдем обратную матрицу:

Тогда

.

Следовательно,

Проверка:

.

Ответ: .

Задача 2

2.2. Даны координаты точек А(2,1), В(1,0), С(-1,2). Найти уравнения сторон треугольника АВС. Найти уравнение одной из медиан треугольника АВС. Найти уравнение одной из высот треугольника АВС. Найти уравнение одной из биссектрис треугольника АВС. Найти площадь треугольника АВС.

Решение:

Уравнения сторон:

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид:

.

Тогда

Уравнение медианы:

Обозначим середину стороны ВС буквой М. Тогда координаты точки M найдем по формулам деления отрезка пополам.

Уравнение медианы АM найдем, используя формулу для уравнения прямой, проходящей через две заданные точки.

Уравнение высоты:

Угловой коэффициент прямой ВС равен . Тогда угловой коэффициент перпендикуляра к ней равен . Уравнение AL ищем в виде:

Уравнение биссектрисы АК:

Угол наклона АВ равен 1. Тогда . Тогда , . Биссектриса проходит через точку А с угловым коэффициентом -5,67, то есть

Площадь треугольника:

.

Задача 3

3.2. Даны координаты точек А1(-1;2;1), A2(1;0;2), А3(2;-1;3), A4(1;1;0). Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 .и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3. Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4.

Решение:

Длина ребра:

.

Уравнение прямой, проходящей через 2 точки, имеет вид:

.

Уравнение грани А1A2А3:

Уравнение высоты А4О:

Направляющий вектор данной прямой совпадает с вектором нормали грани А1A2А3, то есть .Уравнение высоты имеет вид:

.

Площадь треугольника А1A2A3:

.

Объем пирамиды А1A2А3A4:

Задача 4

4.2. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы

А =

Решение:

Характеристическое уравнение:

Собственные числа – корни характеристического уравнения

Найдем собственные векторы. Пусть  – искомый собственный вектор. Для его нахождения получим систему:

Для :

Возьмем и получим собственный вектор .

Для :

Возьмем и получим собственный вектор .

Для :

Возьмем и получим собственный вектор .

Задача 5

5.2. Решить систему методом Жорданa - Гаусса. Найти общее решение и два частных. Сделать проверку общего решения.

Решение:

Выпишем расширенную матрицу системы и приведем ее к треугольному виду:

Итак, общее решение:

Частные решения:

Проверка общего решения:

Контрольная работа № 2.

Задача 1.

Найти следующие пределы:

1.2. а) б)

Решение:

а)

б)

Задача 2.

Найти производные функций, заданных в явном и неявном виде

2.2.

Решение:

;

Задача 3.

Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и построить ее график

Решение:

1) Найдем область определения функции: .

2) Функция является нечетной.

3) Точки пересечения графика функции с осями координат: (0;0).

4) Точек разрыва нет.

5) Найдем наклонные асимптоты:

, .

Итак,  – наклонная асимптота.

6) Интервалы монотонности функции и экстремумы.

Находим критические функции:

.

		-1		1
	–	0	+	0	–
у		-0,6		0,6
		минимум		максимум

7) Интервалы вогнутости и выпуклости функции и точки перегиба.

Дальнейшее решение оформим в виде таблицы:

				0
	–	0	+	0	–	0	+
		перегиб		перегиб		перегиб

Строим график:

Задача 4.

Найти

градиент функции Z в точке М:

Решение:

Задача 5.

Вычислить неопределенные интегралы:

5.2.

Решение:

а)

б)

в)

Разложим подынтегральную функцию на простые дроби:

Задача 6.

6.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

;

Решение:

Задача 7.

7.2. а) Найти общее решение дифференциального уравнения

б) Найти решение задачи Коши ; .

в) Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

а)

Ответ: .

б)  – уравнение Бернулли.

Разделим обе части на :

.

Сделаем замену:

Получим:

Решим однородное уравнение:

Решение неоднородного уравнения ищем в виде:

;

.

Подставим в уравнение, получим:

Неизвестную постоянную найдем из начального условия.

.

Задача Коши не имеет решения.

в)

Общее решение ищем в виде суммы общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решим однородное уравнение.

.

Характеристическое уравнение:

Общее решение однородного уравнения:

.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде:

Задача 8.

8.2. а) Исследовать сходимость ряда

б) Определить область сходимости ряда

Решение:

а) По признаку Даламбера:

Тогда данный ряд сходится.

б) Применим к ряду признак сходимости Даламбера и рассмотрим предел:

.

Если , то исходный ряд сходится абсолютно, т. е. на интервале .

Если , то ряд расходится, т. е. при .

Проверим сходимость на концах интервала сходимости.

При получаем числовой ряд:

.

Это гармонический ряд, который расходится.

При получаем ряд:

,

который сходится по признаку Лейбница (очевидно, что последовательность , монотонно убывая, стремится к нулю).

Окончательный ответ: ряд сходится при .