Численные оценки распределения вероятностей на основе комплексного применения свойств известного преобразования лапласа

А. Г. ФРОЛОВ, Г. А. ФРОЛОВ

Московский инженерно-физический институт (государственный университет)

ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ НА ОСНОВЕ КОМПЛЕКСНОГО ПРИМЕНЕНИЯ СВОЙСТВ ИЗВЕСТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛАПЛАСА

В работе предлагается численная процедура оценки распределения вероятностей на основе и с учетом согласования различных характеристик, получаемых методами прямого восстановления для относительно малых t, асимптотики для больших и расчета значений моментов распределения. Предлагаемые оценки относятся как к получению гарантированных нижней и верхней границ распределения, так и получению общей оценки распределения на всей оси.

Для многих задач известны распределения в виде преобразований Лапласа - . В большинстве известных работ решаются отдельные задачи получения параметров функции оригинала, основанные на использовании отдельных характеристик преобразования:

1) Прямое восстановление. В работах [2], [3], [4] предложен ряд методов позволяющих выполнить прямое численное обращение. Общим ограничением здесь является значительный рост погрешности получаемого оригинала при росте t.

2) Получение моментов распределения. Например, в [1] предложена процедура получения любого числа моментов распределения по его преобразованию Лапласа с использованием операций над рядами.

3) Получение асимптотики «хвоста» распределений [5]. Приемлемая для практики точность здесь, как правило, обеспечивается далеко за пределами интересующих на практике значений t.

В настоящей работе ставится задача совместного использования в единой вычислительной схеме всех подобных характеристик и получение численного решения, согласованного с каждым из них в отдельности и в совокупности.

Поставим задачу оценки, например, нижней границы распределения в виде , при ограничениях:

А) Ограничение на основании известных моментов

; ;

Б) Ограничения на основе численной оценки значений оригинала в начале оси

где - численная оценка функции в точке , - оценка абсолютной погрешности

В) Ограничения на основе оценке асимптотического поведения функции при

При представлении искомой функции в виде сплайна и применении к ней формул численного интегрирования, получаем задачу линейного программирования (если число определяемых дискретов больше числа используемых ограничений и целью является получение нижней/верхней оценок) или СЛУ относительно оценок восстанавливаемого распределения (если, например, положить в ограничении типа Б) и обеспечить равное число ограничений и искомых дискретов).

Проведенные вычислительные эксперименты для ряда эталонных функций подтверждают возможность получения предложенным способом требуемых оценок с точностью, достаточной для практических применений, как путем определения верхней и нижней границы распределения, так и путем решения задачи численного обращения. Наибольшее влияние на точность оказывают: число используемых моментов (желательно – не менее 10-15) и число дискретов в распределении (десятки и сотни).

С вычислительной точки зрения данная задача является плохо обусловленной, поэтому для ее решения при числе используемых моментов более 6-7 уже необходимо применение арифметики с задаваемой длиной мантиссы.

Список литературы

1. , “Проектирование систем распределения информации. – Марковские и немарковские модели” М.: Радио и связь 1991 ISBN -7

2. M. Y. Kitaev G. A. Frolov “Impr. of Accuracy in Numerical Methods for Inverting Laplace Transforms Based on the Post-Widder Formula”. Computers Math Applic. Vol. 36 pp. 23-34, 1998

3. M. Y. Kitaev G. A. Frolov “A problem of Numerical Inversion of Implicity defined Laplace Transforms”. Computers Math Applic. Vol. 36 pp. 35-44, 1998

4. J. Abate, W. Whitt “The Fourier-series method for inverting transforms of probability distributions” Queueing Systems 10(1992)5-88

5. Malinovskii V. K. “Approximations and upper bounds on probabilities of large deviations in the problem of ruin within finite time”. Scand. Actuarial J., 1994, 161-174