Курсовая работа по системному анализу и исследованию операций

Министерство образования Российской федерации

Пермский Научно-Исследовательский Политехнический Университет

Кафедра ИТАС

КУРСОВАЯ РАБОТА

ПО СИСТЕМНОМУ АНАЛИЗУ

И ИССЛЕДОВАНИЮ ОПЕРАЦИЙ

Вариант 13.2

Выполнил: студент

Группа: АСУ-10

Принял:

Пермь, 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Постановка задачи................................................................................................................. 2

Описание модели................................................................................................................... 3

Решение задачи в LINDO..................................................................................................... 4

Решение основной задачи................................................................................................. 4

Решение дополнительной задачи 1.................................................................................. 5

Решение дополнительной задачи 2.................................................................................. 6

Решение дополнительной задачи 3.................................................................................. 7

Заключение........................................................................................................................... 10

Список литературы.............................................................................................................. 11

Постановка задачи

Совхозу установлены закупочные цены и площади посева зерновых культур:

· Пшеница – 1600 га;

· Кукуруза – 2200 га;

· Ячмень – 500 га;

· Рожь – 200 га;

· Просо – 150 га.

Совхоз располагает 4 участками, средняя урожайность культур на них определена для двух уровней затрат.

Культуры	Урожайность на участке, ц/га	Закуп. цены, руб/ц	Затраты средств, руб/га
1	2	3	4	1	2	3	4
Пшеница	35/40	25/28	20/25	15/20	6,5	50/80	40/49	40/60	40/95
Кукуруза	60/75	40/50	30/35	50/60	5,0	80/105	90/150	70/80	65/80
Ячмень	30/40	20/27	15/20	15/17	4,3	50/85	40/53	40/70	45/50
Рожь	25/30	30/37	20/23	15/20	7,0	50/60	38/57	45/55	40/57
Просо	40/50	20/28	15/20	10/13	7,2	60/98	50/60	50/90	50/66

Размеры участков: соответственно 1200, 2100, 650, 800 га.

Требуется составить оптимальный план посева зерновых культур по участкам. Показать, как изменится решение, если весь второй участок засеять пшеницей с нижним уровнем затрат; ограничена общая сумма затрат.

Описание модели

Обозначим через XijL площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для нижнего уровня затрат, а через XijH – площадь, отведённую под i-й вид культуры на j-м участке для верхнего уровня затрат. Так, выражение X23H=100 будет обозначать, что на 3-м участке отведено 100 га под кукурузу с верхним уровнем затрат.

Обозначим полный урожай i-го вида культуры через Gi.

где UijL и UijH – урожайность i-го вида культуры на j-м участке.

Тогда прибыль от продажи урожая i-го вида культуры будет составлять:

где Pi – это закупочная цена i-го вида зерна.

Затраты для i-го вида культур:

где RijL и RijH – это нижний и верхний уровень затрат для i-го вида зерновой культуры на j-м участке.

Теперь у нас есть все необходимые обозначения, чтобы определить критерий задачи: в данном случае нужно максимизировать прибыль (доход минус расход):

Далее нужно ввести ограничения модели. Ограничениями будут являться установленные площади посева и площади участков:

Решение задачи в LINDO

Решение основной задачи

Расчёты будем проводить в пакете LINDO. Для этого приведём описанные выше условия к виду, пригодному для ввода в программу:

Max 177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+133X12H+102.5X13H+35X14H+

220X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+

79X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+63.1X32H+16X33H+23.1X34H+

125X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+

228X51L+94X52L+58X53L+22X54L+262X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54H

ST

!Установленные площади посевов

X11L+X11H+X12L+X12H+X13L+X13H+X14L+X14H=1600

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500

X41L+X41H+X42L+X42H+X43L+X43H+X44L+X44H=200

X51L+X51H+X52L+X52H+X53L+X53H+X54L+X54H=150

!Ограничения по площадям участков

X11L+X11H+X21L+X21H+X31L+X31H+X41L+X41H+X51L+X51H<=1200

X12L+X12H+X22L+X22H+X32L+X32H+X42L+X42H+X52L+X52H<=2100

X13L+X13H+X23L+X23H+X33L+X33H+X43L+X43H+X53L+X53H<=650

X14L+X14H+X24L+X24H+X34L+X34H+X44L+X44H+X54L+X54H<=800

End

При этом коэффициенты при XijL и XijH подставлены в модель уже пересчитанные из начального условия для сокращения модели.

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 20

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11L 0.000

X12L 0.000

X13L 0.000

X14L 0.000

X11H 0.000

X12H 1250.000

X13H 350.000

X14H 0.000

X21L 0.000

X22L 0.000

X23L 0.000

X24L 0.000

X21H 1200.000

X22H 0.000

X23H 200.000

X24H 800.000

X31L 0.000

X32L 0.000

X33L 0.000

X34L 0.000

X31H 0.000

X32H 500.000

X33H 0.000

X34H 0.000

X41L 0.000

X42L 0.000

X43L 0.000

X44L 0.000

X41H 0.000

X42H 200.000

X43H 0.000

X44H 0.000

X51L 0.000

X52L 0.000

X53L 0.000

X54L 0.000

X51H 0.000

X52H 150.000

X53H 0.000

X54H 0.000

Представим полученное решение в виде таблицы:

Культуры	Участки	Затраты на посев	Урожай	Прибыль от продажи	Доход
1	2	3	4
Пшеница	—	1250	350	—	82250	43750	284375	374500
Кукуруза	1200	—	200	800	206000	145000	725000	439000
Ячмень	—	500	—	—	26500	13500	58050	27325
Рожь	—	200	—	—	11400	7400	51800	26500
Просо	—	150	—	—	9000	4200	30240	26200
Итого	1200	2100	550	800	335150		1149465	814315

При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат.

Решение дополнительной задачи 1

Вводится дополнительное условие: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. В обозначениях данной модели это будет выглядеть так:

X31L=0.

X32L=0.

X31H=0.

X32H=0.

После добавления этого выражения в условие и решения модели получим следующий ответ (нулевые значения опущены):

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X12H 1600.000

X22L 150.000

X21H 1200.000

X23H 50.000

X24H 800.000

X33L 500.000

X42H 200.000

X52H 150.000

Представим полученное решение в виде таблицы:

Культуры	Участки	Затраты на посев	Урожай	Прибыль от продажи	Доход
1	2	3	4
Пшеница		1600			78400	44800	291200	212800
Кукуруза	1200	150	50	800	207500	145750	728750	521250
Ячмень			500		20000	7500	32250	12250
Рожь		200			11400	7400	51800	40400
Просо		150			9000	4200	30240	21240
Итого	1200	2100	550	800	326300		1134240	807940

При этом кукурузу на втором участке, а также ячмень на третьем следует сеять при нижнем уровне затрат. В этом решении суммарные затраты на посев меньше, но также меньше прибыль и чистый доход.

Решение дополнительной задачи 2

В этой задаче предполагается сократить площадь под кукурузу до 1800 га, а под ячмень увеличивается до 800 га. Тогда поменяется в модели условия:

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=2200

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=500

На

X21L+X21H+X22L+X22H+X23L+X23H+X24L+X24H=1800

X31L+X31H+X32L+X32H+X33L+X33H+X34L+X34H=800

Получается:

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 19

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X11H 50.000

X12H 1100.000

X13H 450.000

X21H 1000.000

X24H 800.000

X32H 800.000

X42H 200.000

X51H 150.000

Культуры	Участки	Затраты на посев	Урожай	Прибыль от продажи	Доход
1	2	3	4
Пшеница	50	1100	450		84900	44050	286325	201425
Кукуруза	1000			800	169000	123000	615000	446000
Ячмень		800			42400	21600	92880	50480
Рожь		200			11400	7400	51800	40400
Просо	150				14700	7500	54000	39300
Итого	1200	2100	450	800	322400		1100005	777605

При посеве во всех случаях используется верхний уровень затрат

Решение дополнительной задачи 3

Изменены одновременно затраты под пшеницу с 49 до 55, под ячмень с 53 до 62 и под просо с 98 до 80:

Культуры	Урожайность на участке, ц/га	Закуп. цены, руб/ц	Затраты средств, руб/га
1	2	3	4	1	2	3	4
Пшеница	35/40	25/28	20/25	15/20	6,5	50/80	40/55	40/60	40/95
Кукуруза	60/75	40/50	30/35	50/60	5,0	80/105	90/150	70/80	65/80
Ячмень	30/40	20/27	15/20	15/17	4,3	50/85	40/62	40/70	45/50
Рожь	25/30	30/37	20/23	15/20	7,0	50/60	38/57	45/55	40/57
Просо	40/50	20/28	15/20	10/13	7,2	60/80	50/60	50/90	50/66

Критерий получится:

177.5X11L+122.5X12L+90X13L+57.5X14L+180X11H+127X12H+102.5X13H+35X14H+

220X21L+110X22L+80X23L+185X24L+270X21H+100X22H+95X23H+220X24H+

79X31L+46X32L+24.5X33L+19.5X34L+87X31H+54.1X32H+16X33H+23.1X34H+

125X41L+172X42L+95X43L+65X44L+150X41H+202X42H+106X43H+83X44H+

228X51L+94X52L+58X53L+22X54L+280X51H+141.6X52H+54X53H+27.6X54H

LP OPTIMUM FOUND AT STEP 20

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X12H 1250.000

X13H 350.000

X21H 1200.000

X23H 200.000

X24H 800.000

X32H 500.000

X42H 200.000

X52H 150.000

Культуры	Участки	Затраты на посев	Урожай	Прибыль от продажи	Доход
1	2	3	4
Пшеница		1250	350		89750	43750	284375	194625
Кукуруза	1200		200	800	206000	145000	725000	519000
Ячмень		500			31000	13500	58050	27050
Рожь		200			11400	7400	51800	40400
Просо		150	0	0	9000	4200	30240	21240
Итого	1200	2100	550	800	347150		1149465	802315

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы была составлена модель и получено решение поставленной задачи. Составленная модель относится к классу задач линейного программирования, так как критерий и все ограничения линейны. Для решения таких задач разработано несколько методик. В данном случае из-за большой размерности задача решалась на ЭВМ в пакете LINDO.

При решении основной задачи было получено распределение посевов по участкам и вычислено значение критерия: 814315 руб.

При решении первой доп. задачи вводится ограничение: Ячмень можно сеять только на 3-м и на 4-м участках. Затраты на посев уменьшились, но и доход тоже.

Во второй доп. задачи предполагается сократить площадь под кукурузу до 1800 га, а под ячмень увеличивается до 800 га, при этом затраты на посев уменьшились, но и доход тоже.

При решении третей доп. задачи были изменены одновременно затраты под пшеницу с 49 до 55, под ячмень с 53 до 62 и под просо с 98 до 80. В итоге так же затраты будут меньше, как и прибыль.

Список литературы

1. , Исследование операций, Киев, изд-во «Высшая школа», 1975.

2. Линейное и нелинейное программирование. Под ред. , Киев: Вища школа, 1975 – 372 с.

3. Учебное пособие “Оптимизация в LINDO”. .