На правах рукописи
ХРУПОВ АНДРЕЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ
ИССЛЕДОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ
ПРЕДВАРИТЕЛЬНО НАПРЯЖЁННЫХ ПЛАСТИН
01.02.04 - Механика деформируемого твёрдого тела.
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени
кандидата технических наук
Москва 2009
Работа выполнена в государственном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете
Научный руководитель: | доктор технических наук, профессор |
Официальные оппоненты: | доктор технических наук,
кандидат физико-математических наук, доцент |
Ведущая организация: | Центральный научно-исследовательский институт строительных конструкций им. - филиал » |
Защита состоится 20 октября 2009 г. в 17 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.12 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете г. Москва, Ярославское шоссе, ауд. № 000 УЛК.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.
Автореферат разослан “____” ___________ 2009 г.
Ученый секретарь
диссертационного совета
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.
Актуальность темы.
Многие научные, прикладные и технические проблемы современной техники и строительства связаны с исследованием колебательных процессов в деформируемых сплошных средах.
Постоянное развитие современной техники выдвигает повышенные требования к исследованию в области механики деформируемого твердого тела и строительной механики. Возникла необходимость получения более достоверных представлений о деформационных и механических свойствах материалов в различных режимах их эксплуатации, когда существенную роль играет геометрия рассматриваемого изделия и его вязкоупругие свойства. Одним из важнейших в строительстве является вопрос расчета колебаний плоских конструкций. Поэтому развитие и уточнение теории колебаний пластин является одним их актуальных разделов прикладной теории упругости и имеет несомненный практический интерес в строительной науке.
При проектировании и строительстве различных инженерных сооружений необходим расчет несущих элементов конструкций на действие различных внезапно возникших динамических нагрузок. Поэтому, изучение динамического поведения элементов инженерных сооружений с учетом свойств материала и влияния окружающей среды при динамическом воздействии (например, сейсмическая волна) представляет собой актуальную проблему.
Цель работы. Вывод общих уравнений о собственных продольных и поперечных колебаниях предварительно напряженной пластины, получение приближенных, имеющих конечные значения производных, уравнений колебаний прямоугольной пластины, сравнение полученных результатов с ранее полученными классическими результатами и решение практически важных задач.
На защиту выносятся. Вывод уравнений общих и приближенных поперечных и продольных колебаний предварительно напряженных пластин. Получение частотных уравнений и нахождение частот собственных поперечных колебаний прямоугольной в плане пластины с различными условиями закрепления.
Общие уравнения поперечных и продольных колебаний прямоугольных предварительно напряженных пластин, основанные на них приближенные уравнения поперечных колебаний предварительно напряженных прямоугольных пластин, решение конкретных прикладных задач поперечных колебаний данных пластин. Анализ и сравнение численных результатов.
Научная новизна работы состоит в следующем:
1. Описывается общая постановка задачи о колебании предварительно напряженной пластины.
2. Получено уравнение колебания предварительно напряженной
трансверсально-изотропной пластины.
3. Выводится общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.
4. Получены приближенные уравнения поперечных колебаний предварительно напряженных трансверсально-изотропных пластин.
5. Выведены приближенные уравнения продольных колебаний предварительно напряженных трансверсально-изотропных пластин.
6. Исследуются пределы применимости приближенных уравнений
предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины.
7. Получено уравнение собственных колебаний предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины, жёстко закрепленной
по контуру.
8. Выведено частотное уравнение собственных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой шарнирно оперты по контуру, а четвертый жестко закреплен. Рассматриваются два решения различными методами - методом декомпозиций и аналитическим.
9. Получено уравнение собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной (стеной).
10. Выведено частотное уравнение собственных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго соединён с вертикальной упругой пластиной.
11. Решена задача о нормальном ударе по поверхности предварительно напряженной пластины, шарнирно опертой по контуру.
12. Получено решение задачи о нормальном ударе по поверхности предварительно напряженной пластины, имеющей различные граничные условия.
13. Получено решение задачи о собственные колебания двух предварительно напряженных пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой.
Практическое значение приведенных в диссертации исследований связано с возможностью применения уравнений продольных и поперечных колебаний изотропной предварительно напряженной прямоугольной пластины к актуальным прикладным задачам.
Достоверность положений и выводов диссертационной работы детально обоснована. Основные представленные в ней результаты получены с применением обоснованных и многократно апробированных математических методов, сформулированных в точной трехмерной постановке теории упругости. Достоверность общих и основанных на них уточненных уравнений и решений частных задач подтверждается строгой математической постановкой, проверкой и сопоставлением с классическими теориями колебаний и другими теориями последних лет.
Апробация работы. Основные положения выполненных исследований по диссертационной работе освещены в трёх статьях.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
Работа изложена на 119 страницах, в том числе включает 9 рисунков.
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.
Во введении обосновывается актуальность темы диссертации, раскрывается содержание работы, излагаются основные положения, которые выносятся на защиту.
В настоящей работе используется новый приближенный метод, метод декомпозиций, предложенный для решения статических задач и переработанный и для динамических задач. Используется также новый аналитический метод, приводящий к трансцендентным частотным уравнениям, после анализа которых преобразуется к алгебраическим частотным уравнениям.
Первая глава посвящена выводу уравнений продольных и поперечных колебаний изотропных прямоугольных предварительно напряжённых пластин постоянной толщины методом, основанным на применении интегральных преобразований по координате и времени и использовании общих решений в преобразованных трёхмерных динамических задачах теории упругости с последующим привлечением известных, стандартных интегральных преобразований Лапласа и Фурье в степенные ряды, через которые выражаются составляющие тензора напряжений и вектора перемещений.
п.1 Общая постановка задачи.
Предположим, что материал пластинки предварительно напряжен, причем предварительное напряженное состояние однородное. Зависимости между напряжениями и деформацией линейны и, кроме того, возмущенное состояние материала, по отношению к однородному напряженному состоянию, также линейно.
Предварительно напряженную пластину будем рассматривать как вязкоупругий слой, занимающий пространство:
Пусть материал пластинки трансверсально-изотропен и предварительно напряжен таким образом, что выполняются условия
, (1.1.1)
где 
- постоянные безразмерные величины, определяющие однородное деформационное состояние.
Зависимость напряжения-деформации в этом случае принимают вид:
(1.1.2)
где 
- возмущенные перемещения.
Уравнения движения материала в перемещениях запишем в виде:
(1.1.3)
где 
, 
- плотность материала пластинки.
Граничные условия на поверхности пластины имеют вид:
(1.1.4)
Следовательно, используя равенства (1.1.2), получим:
(1.1.5)
При этом операторы 
имеют вид:
,
где 
- постоянные материала пластины.
Начальные условия будем считать нулевыми
. (1.1.6)
Тем самым, трехмерная задача о колебании предварительно напряженной трансверсально-изотропной пластины сводится к решению уравнения (1.1.3) с граничными (1.1.5) и начальными (1.1.6) условиями.
В граничных условиях (1.1.5) функции 
, определяющие внешние условия, приложены к плоскостям 
будем искать в классе функций, представленных в виде:
(1.1.7)
При этом функции 
- будем считать приближенно малыми вне области
, (1.1.8)
где 
, 
, 
- конечные величины.
Общее решение уравнения (1.1.3) будем искать также, используя преобразования Фурье и Лапласа, для функций 
, получим:
Подставим (1.1.9) в уравнение (1.1.3), для 
, получим уравнения:
(1.1.10)
где 
- преобразованные по Лапласу операторы 
.
Систему уравнений (1.1.10) преобразуем к эквивалентным, но более простым для дальнейших решений.
где введены новые неизвестные
. (1.1.12)
Общее решение уравнений (1.1.11) имеет вид:
(1.1.13)
где 
- корни алгебраических уравнений.
Преобразуем по Фурье и Лапласу граничные условия (1.1.5) с учётом соотношений (1.1.12), получим:
(1.1.14)
Подставив значения 
в уравнения (1.1.11) и используя граничные условия (1.1.14), а затем, сделав обратные преобразования по 
, получим систему уравнений для определения перемещений .
Полученная система и будет описывать в общем случае колебание предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.
п.2 Общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.
Поперечные колебания относятся к антисимметричным колебаниям и возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:
(1.2.1)
Следовательно, постоянные интегрирования в общих решениях (1.1.13) 
.
Тогда из (1.1.13) решение для поперечных колебаний, имеют вид:
(1.2.2)
Разложим гиперболические функции в выражении (1.2.2) в степенные ряды, получим:
(1.2.3)
Для простоты решения, введём вспомогательные функции, являющиеся главной частью выражения (1.2.3.), коэффициенты при первых слагаемых:
(1.2.4)
Выразим в решении (1.2.3) искомые величины через главные части 
, и подставим их в граничные условия (1.1.14), а затем совершим обращение по 
, получим:
(1.2.5)
где 
.
Выражение (1.2.5) и есть общее уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины.
п.3 Приближённое уравнение поперечных колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной пластины.
Уравнение колебаний (1.2.5) содержит производные бесконечного порядка, что не всегда удобно при решении конкретных задач.
Приняв за основную неизвестную поперечное смещение 
точек срединной плоскости пластины, ограничимся в рядах (1.2.5) первыми двумя слагаемыми, получи приближённое уравнение четвёртого порядка:
Пусть пластина изотропна, тогда операторы представим в виде:
,
В этом случае уравнение (1.3.1) представим в виде:
(1.3.2)
В случае предварительно напряженной упругой изотропной пластины из уравнение колебания имеет вид:
где 
- продольная и поперечная скорость распространения волны.
Если положить 
, то получим уравнение поперечных колебаний пластины без предварительного напряжения.
п.4 Уравнение продольных колебаний предварительно напряжённой пластины.
Продольные колебания возникают в том случае, если функции внешних усилий удовлетворяют условиям:
(1.4.1)
Тогда в выражениях (1.1.13) произвольные постоянные 
и общее решение уравнений (1.1.11) имеет вид:
(1.4.2)
Разложим в (1.4.2) гиперболические функции в степенные ряды:
(1.4.3)
Введем вспомогательные переменные
(1.4.4)
Выразим в решении (1.4.2) искомые величины 
через 
, а потом полученные значения искомых функций подставим в граничные условия (1.1.14) и к полученным соотношениям применим операцию обращения по k, p, q, при этом для удобства вместо неизвестных 
и 
введем потенциалы 
и 
продольных и поперечных волн 
, 
, получим систему интегро-дифференциальных уравнений, которая и является общим уравнением продольных колебаний предварительно напряжённых пластин, вида:
(1.4.5)
;
где 
.
Для решения конкретных задач, получим из общих уравнений (1.4.5) приближённые уравнения произвольных конечного порядка. Ограничимся первыми членами (1.4.5) для 
и 
получим приближенные уравнения продольных колебаний:
(1.4.6)
здесь 
.
Аналогично можно получить приближенные уравнения любого конечного порядка, если взять конечное число членов в рядах (1.2.5) и (1.4.5).
Вторая глава посвящена решению задач о собственных колебаниях изотропной прямоугольной предварительно напряженной упругой пластины постоянной толщины, имеющей различные граничные условия. Для некоторых видов закрепления выведены частотные уравнения и построены графики расчёта.
При решении задач использовалось приближенное уравнение колебания пластинки четвертого порядка:
, (2.1.1)
где 
- функции прогиба, 
- оператор Лапласа.
Используя уравнение (2.1.1) для различных граничных условий, получены следующие результаты.
п.1 Собственные поперечные колебания изотропной прямоугольной предварительно напряженной упругой пластины, шарнирно закрепленной по контуру.
Граничные условия для данной задачи имеют вид: 
(2.1.2)
Решение задачи (2.1.1) будем искать в следующем виде:
(2.1.3)
Здесь 
- безразмерная частота собственных колебаний пластинки.
Получим частотное уравнение вида:
(2.1.4)
где 
п.2 Собственные колебания пластины, жёстко закрепленной по контуру.
Граничные условия для данной задачи представим в виде:
, при 
; 
, при 
. (2.2.1)
Уравнение колебаний имеет вид (2.1.1).
Решение уравнения (2.1.1) будем искать в виде
. (2.2.2)
Тогда уравнение (2.1.1) для 
примет вид:
, (2.2.3)
где 
Введем новые безразмерные координаты и функцию прогиба
. (2.2.4)
В новых координатах уравнение (2.2.3) представим в виде:
(2.2.5)
где 
Для решения уравнения (2.2.5) воспользуемся приближенным методом декомпозиции, в соответствии с которым сформулируем три вспомогательные задачи:
1) 
; при 
; 
(2.2.6)
2) 
; при 
; 
; (2.2.7)
3) 
. (2.2.8)
Следуя методу, будем приближенно полагать:
(2.2.9)
в заданных точках пластины.
Здесь 
- произвольные функции 
, (2.2.10)
где 
- произвольные постоянные.
Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде:
(2.2.11)
(2.2.12)
где 
и 
- произвольные функции 
.
Подставим общее решение (2.2.11) в граничное условие (2.2.6), определим функции 
, получим:
(2.2.13)
Аналогично, подставим (2.2.12) в (2.2.7), получим:
(2.2.14)
Используя полученные значения искомых функций (2.2.13) и (2.2.14), а также равенство (2.2.8) и условия (2.2.9), считая, что 
, получим частотное уравнение:
(2.2.15)
где 
.
Используя коэффициенты уравнения Кирхгофа, значение частоты имеет вид:
(2.2.16)
Если использовать коэффициенты уравнения (2.2.1) значения частоты имеют вид:
, (2.2.17)
где 
п.3 Собственные колебания пластины, три края которой шарнирно оперты, а четвертый жестко закреплен.
Граничные условия для данной задачи представим в виде:
(2.3.1)
при 
(2.3.2)
Как и прежде уравнение колебания (2.1.1).
Задачу о выводе частотного уравнения будем решать, используя два метода.
I. Метод декомпозиции.
В этом случае для , частотное уравнение имеет вид:
II. Аналитический метод.
Так как края пластины 
шарнирно оперты, то решение уравнения (2.1.1) можно искать в виде:
. (2.3.4)
Подставим (2.3.4) в уравнение (2.1.1), получим обыкновенное дифференциальное уравнение
, (2.3.5)
где 
Общее решение уравнения (2.3.5) запишем в виде:
(2.3.6)
где 
- постоянные интегрирования, 
- корни характеристического уравнения:
. (2.3.7)
Корни которого имеют вид:
. (2.3.8)
Целые числа 
выбираются при удовлетворении граничных условий (2.3.1) при 
, а другие граничные условия при 
приводят к трансцендентному уравнению для определения собственных частот колебания пластины.
Для данной задачи получаем, что 
, а используя второе граничное условие, находим уравнение:
. (2.3.9)
Разложим тригонометрические функции в сходящиеся ряды, получим:
(2.3.10)
где 
.
Возьмем первые три слагаемых в рядах (2.3.10):
(2.3.11)
Пусть 
, т. к. 
, то 
, имеем
. (2.3.12)
Если 
, то 
(2.3.13)
Если в (2.3.11) положить нулю сумму первых слагаемых, то
, (2.3.14)
То получим соответствующее уравнение:
(2.3.15)
п.4 Собственные поперечные колебания пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других упруго закреплены с вертикальной пластиной.
Как и ранее уравнение колебаний имеет вид (2.1.1), а граничные условия запишем в виде:
при 
(2.4.1)
Здесь параметры горизонтальной пластины обозначены индексом “1”, а вертикальной пластины индексом ”2”.
При 
, 
. (2.4.2)
Задачу будем решать, используя метод декомпозиций, получим частотное уравнение:
, (2.4.3)
где 
- функции, зависящие от геометрических параметров и коэффициентов материала.
п.5 Собственные колебания пластины, три края которой свободны от закрепления, а четвертый упруго соединен с вертикальной упругой пластиной.
При решении будем пользоваться приближенным уравнением (2.1.1), а граничные условия представим в виде:
при 
; 
; (2.5.1)
при 
, граничные условия такие же, как в (2.4.1);
Здесь индекс “1” относится к параметрам горизонтальной пластины, а индекс “2” - к вертикальной.
при 
(2.5.2)
Используя метод декомпозиции, получим частотное уравнение вида:
. (2.5.3)
Третья глава Некоторые задачи вынужденных колебаний предварительно напряжённых пластин.
п.1 Нормальный удар по поверхности пластины, шарнирно опёртой по контуру.
Рассмотрим задачу о вынужденных колебаниях предварительно напряжённой прямоугольной упругой пластины, шарнирно опёртой по контуру.
При решении задачи будем пользоваться приближённым уравнением вида:
, (3.1.1)
где 
; 
;
; 
Общее решение уравнения (3.1.1) представится в виде 
, здесь 
- общее решение однородного уравнения, - частное решение неоднородного уравнения.
Общее решение однородного уравнения при заданных граничных условиях можно представить в виде:
(3.1.2)
где 
- произвольные постоянные, 
- частоты собственных колебаний.
Частное решение будем искать в виде:
. (3.1.3)
Правую часть уравнения (3.1.1) разложим по собственным функциям:
. (3.1.4)
Подставим (3.1.4) в (3.1.1.), получим:
, (3.1.5)
решение которого представим в виде:
. (3.1.6)
Для определения Cj, - воспользуемся методом вариаций.
Общее решение уравнения (3.1.1) будет иметь вид:
(3.1.8)
п.2 Нормальный удар по поверхности прямоугольной пластины, имеющей различные граничные условия.
Вынужденные колебания пластины описываются уравнением вида:
, (3.2.1)
где 
- коэффициенты, обозначенные в главе 1.
Решение (3.2.1) будем искать в виде:
. (3.2.2)
Будем считать, что граничные условия при 
– шарнирное закрепление, а при 
- произвольное.
Тогда считаем, что правую часть уравнения (3.2.1) можно представить в виде:
. (3.2.3)
Получим для 
обыкновенное дифференциальное уравнение:
(3.2.4)
Решение однородного уравнения (3.2.4) известно:
. (3.2.5)
Для определения частного решения уравнения (3.2.4) используем метод вариации произвольных постоянных.
Следовательно, общее решение уравнения (3.2.4) имеет вид:
(3.2.6)
Произвольные постоянные 
- определяются из граничных и начальных условий.
п.3 Собственные колебания двух пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой.
Задачу определения возмущенного поля в упругом наполнителе сводится к определению потенциала 
удовлетворяющего волновому уравнению:
, (3.3.1)
и следующим граничным и начальным условиям:
при z = 1; 
при z = 0; 
при 
, (3.3.2)
где 
и 
- безразмерные величины прогиба верхней и нижней пластины.
Решение уравнения (3.3.1) будем искать в форме Даламбера
. (3.3.3)
Используя закон Гука и соотношения (3.3.2), выразим нормальное напряжение через функции прогиба:
(3.3.4)
Для определения величин прогиба 
и соответственно, имеем уравнения:
, (3.3.5)
, (3.3.6)
где Aj1 и Aj2 - коэффициенты, равные (2.1.1), индекс «1» принадлежит верхней пластине, а «2» - нижней пластине, 
- оператор, зависящий от x.
После проведения необходимых преобразований, получим
; (3.3.7)
; (3.3.8)
где 
; 
; (3.3.9)
(3.3.10)
; 
. (3.3.11)
Зная аналитические выражения для 
и 
из (3.3.9), и взяв интегралы (3.3.10) – (3.3.11), получим точные выражения для 
и 
Тем самым задача о вынужденных колебаниях двух упругих пластин, пространство между которыми заполнено упругой средой, аналитически полностью решена.
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
1. На основе математического подхода к задаче о колебаниях упругих и вязкоупругих ограниченных средах плоских элементов (типа пластин) поставлена задача о выводе общих уравнений колебаний предварительно напряжённой трансверсально-изотропной однородной пластины.
2. Получены общие уравнения поперечных колебаний ограниченных пластин, и затем получены приближенные уравнения поперечных колебаний конечного порядка.
3. Получены общие уравнения продольных колебаний ограниченных пластин и сформулированы приближенные уравнения конечного порядка.
4. Определена сходимость функциональных рядов, входящих в уравнения колебания, найден ряд сходимости.
5. Из анализа выполненных в диссертационной работе теоретических и прикладных задач и их решений выявлены новые механические эффекты. В частности, можно сделать выводы:
- используя при решении задачи о собственных колебаниях пластин приближённое уравнение четвертого порядка относительно производной по времени, получаем две частоты, зависящие от коэффициента Пуассона; в отличие от уравнения колебаний Кирхгофа, при этом всегда, при любых граничных условиях, значения частот, полученных из уравнения Кирхгофа всегда больше первых частот, определяемых вновь полученными уравнениями;
- величина численного значения частот, в первую очередь, зависит от граничных условий, так численное значение частоты для пластины жёстко закреплённой по контуру всегда выше частот, определяемых другими граничными условиями;
- используя новые представления граничных условий для свободного края, или края закреплённого упруго, значительно отличается количеством частот, если эти граничные условия записаны в классическом виде; так, например, при выводе частотного уравнения колебания пластины, три края которой свободны, а четвёртый упруго закреплён, для классических граничных условий получаем частотное уравнение четвёртого порядка, а для новых граничных условий двенадцатого;
- при решении эквивалентных задач о собственных колебаниях всегда значения частот выше, если пластина предварительно напряжена по отношению к не напряжённой пластине.
6. Получены аналитические решения задач о вынужденных колебания пластины.
7. Выведенные формулы для определения значений частот свободных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины постоянной толщины для различных видов закреплений, удобны для практического использования и могут быть применены для расчета строительных и других инженерных конструкций.
ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
ОПУБЛИКОВАНО В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:
1. Вывод частотного уравнения поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины. Журнал ПГС № 5, 2009 г.
2. Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряжённой пластины, жёстко закреплённой по контуру. Научно-технический журнал "Вестник МГСУ", №2, издательство АСВ, 2009 г.
3. , , Собственные поперечные колебания упругой предварительно напряженной пластины, два края которой шарнирно оперты, а два других упруго закреплены. Сборник докладов XVII словацко-российско-польского семинара "Теоретические основы строительства", 2009 г.
4. , , Вывод частотного уравнения собственных поперечных колебаний предварительно напряженной пластины, три края которой шарнирно оперты по контуру, а четвертый жестко закреплен. Сборник докладов шестой научно-практической и учебно-методической конференции «Фундаментальные науки в современном строительстве» ИФО МГСУ, Москва, 2008 г.
5. , , Нормальный удар по поверхности трехслойной упругой пластины. Сборник трудов международной научно-практической конференции «Теория и практика расчета сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы», 2008 г.
